例談各類距離模型的妙用

浙江省杭州高級中學 (310021) 張 睿

距離模型是中學階段常見的模型之一,包括絕對值幾何意義、兩點間距離、點到線的距離及向量中的模長等問題.本文結合具體實例談談根據各類距離模型的特征，通過換元法、配方法等方法將最值問題轉化為相應的距離模型，進而利用圖像解決.在解決問題的過程中滲透函數思想、數形結合思想、轉化與化歸思想；同時也發展了數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算核心素養.

模型一：數軸上a,b兩點的距離|a-b|

絕對值是指一個數在數軸上所對應點到原點的距離，用“||”來表示.|a-b|的幾何意義是數軸上表示a的點和表示b的點的距離.這里的a,b即可以看成常數，也可以理解為與其他變量相關的函數.

圖1

分析：本題涉及絕對值差的形式，將|f(t+2)-f(t)|=|2a(3t2+6t+4)-2|，通過換元法，令m=3t2+6t+4，則|2am-2|轉化為數軸上兩點的距離問題.

圖2

模型二：P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點間的距離

圖3

圖4

(Ⅰ)求直線AP斜率的取值范圍；

(Ⅱ)求|PA|·|PQ|的最大值

把兩點看成向量的起點與終點，那么向量的模長就兩點間的距離.而向量的加、減、數乘運算可以得到新的向量，得到新向量的模長，因此距離問題又可以和向量運算緊密結合，滲透化歸思想，數形結合思想等數學思想.

圖5

圖6

點到直線的距離模型中出現關于x0,y0的二元一次式套絕對值形式；另外設Q是直線l上任意一點，則點P0到l的距離可以理解為|P0Q|的最小值.

圖7

圖8

數學模型是數學抽象的表現形式，通過對具體數量關系與空間形式的分析形成反映數學本質特征的模型.由上可知，若能熟悉各類距離模型的本質特征及它的變化特點，可以將函數中的絕對值問題、解析幾何中的長度問題、向量模長問題轉化距離問題形象直觀的解決，從而實現化繁為簡的目的.