含混合型簡數根函數的兩個數論函數方程的解

張明麗，高 麗，鄭 璐

(延安大學數學與計算機科學學院，陜西延安716000)

1 相關引理

引理1[3，4]由簡數定理知，

引理2[8]當n≥2時，有φ(n)

引理3[10]對于素數p與k≥1，有

φ(pk)=pk-pk-1。

引理4[10]對任意素數p≥3，Z(p)=p-1。

引理5[10]對任意素數p≥3及k∈N+，Z(pk)=pk-1。當p=2時，則有Z(2k)=2k+1-1。

引理6[10]Z(n)非加性函數，即Z(n+m)不恒等于Z(n)+Z(m)，且Z(n)也非積性函數，即Z(nm)不恒等于Z(n)Z(m)。

2 主要結論及其證明

定理1 對于任意的正整數n，k>1時，混合函數方程：

Z(nk)=sim(φ(n2))

僅有正整數解n=1。

證明對于混合函數方程

Z(nk)=sim(φ(n2))

(1)

由引理2，主要分以下兩種情形討論：

情形一：當0

情形二：當n2>3時，φ(n2)為偶數，由引理1知，此時

sim(φ(n2))=

1.當φ(n2)≡0(mod9)時，令φ(n2)=18l(l∈N+)，此時sim(φ(n2))=sim(18l)=9，即Z(nk)=9。

1.1 當n為奇數時，由引理3—引理7，我們分為以下幾種情況進行討論：

i)n=p，且p≥3為素數，Z(pk)=pk-1=9，即pk=10與其為素數矛盾，故此時(1)無解。

ii)n=ps，p≥3為素數且s>1，k≥2時，Z(pks)=pks-1=9，即pks=10(不存在)，故此時(1)無解。

iii)n=p1s1p2s2…ptst，(其中p1s1，p2s2，…，ptst均大于等于3，si≥1，0≤i≤t，t≥2)，如果Z(nk)=9，根據Z(n)的定義，既滿足定義又滿足nk|45的情況只有k=1，n=45。

當k=1，n=45，sim(φ(45))=sim(24)=6，與前提條件矛盾，故此時(1)無解。

1.2 當n為偶數時，Z(nk)=9，根據Z(n)的定義，即nk|45，顯然不存在這樣的n，使得其同時滿足n為偶數且nk|45，故此時式(1)無解。

2.當φ(n2)≡r(mod9)且0

2.1 當l為奇數時，k>1，由于r=1，即Z(nk)=1時，即n=1，歸類于情形一，下面依次討論r=3，5，7的情況。

當r=3，Z(nk)=3時，即nk=2，6，又k>1，顯然不存在這樣的n，故此時式(1)無解。

當r=5，Z(nk)=5時，即nk=15，又k>1，顯然不存在這樣的n，故此時式(1)無解。

當r=7，Z(nk)=7時，即nk=4，14，28，，又k>1，可能的取值為k=2，n=2，帶入(1)式驗證不符合，故此時式(1)無解。

2.2 當l為偶數時，k>1，下面依次對r=2，4，6，8進行討論。

當r=2，Z(nk)=2時，即nk=3，又k>1，顯然不存在這樣的n，故此時式(1)無解。

當r=4，Z(nk)=4時，即nk=5，10，又k>1，顯然不存在這樣的n，故此時式(1)無解。

當r=6，Z(nk)=6時，即nk=7，21，又k>1，顯然不存在這樣的n，故此時式(1)無解。

當r=8，Z(nk)=8時，即nk=9，12，18，36，又k>1，可能的取值為k=2，n=3或者k=2，n=6，帶入(1)式驗證均不符合，故此時式(1)無解。

定理2 對于任意的正整數n，x≥2，y>2時，混合函數方程：

Z(nx)=sim(φ(ny))

僅有正整數解n=1。

證明對于混合函數方程

Z(nx)=sim(φ(ny))

(2)

由引理2，主要分以下兩種情形討論：

情形一：當n=1時，φ(ny)=1，此時sim(φ(ny))=

sim(1)=1，而Z(nx)=Z(1x)=1，故此時式(2)有解為n=1。

情形二：當n≥2時，φ(ny)為偶數，由引理1知，此時

sim(φ(ny))=

1.當φ(ny)≡0(mod9)時，令φ(ny)=18l(l∈N+)，此時sim(φ(ny))=sim(18l)=9，即Z(nx)=9。

1.1 當n為奇數時，由引理3—引理7，我們分為以下幾種情況進行討論：

i)n=p，且p≥3為素數，Z(px)=px-1=9，即px=10與其為素數矛盾，故此時式(2)無解。

ii)n=ps，p≥3為素數且s>1，Z(psx)=psx-1=9，即psx=10(不存在)，故此時式(2)無解。

iii)n=p1s1p2s2…ptst(其中p1s1，p2s2，…，ptst均大于等于3，si≥1，0≤i≤t，t≥2)，如果Z(nx)=9，根據Z(n)的定義，既滿足定義又滿足nx|45，經檢驗故此時式(2)無解。

1.2 當n為偶數時，Z(nk)=9，根據Z(n)的定義，即nk|45，顯然不存在這樣的n，使得其同時滿足n為偶數且nk|45，故此時式(2)無解。

2.當φ(ny)≡r(mod9)且0

2.1 當l為奇數時，x≥2，由于r=1，即Z(nx)=1時，即n=1，歸類于情形一，下面依次討論r=3,5,7的情況。

當r=3，Z(nx)=3時，即nx=2,6，又x>1，顯然不存在這樣的n，故此時式(2)無解。

當r=5，Z(nx)=5時，即nx=15，又x>1，顯然不存在這樣的n，故此時式(2)無解。

當r=7，Z(nx)=7時，即nx=4，14，28，又x>1，

可能的取值為x=2，n=2，即求sim(φ(2y))=Z(22)=7，而sim(φ(2y))=sim(2y-1)=2，4，8，故此時式(2)無解。

2.2 當l為偶數時，x>1，下面依次對r=2，4，6，8進行討論。

當r=2，Z(nx)=2時，即nx=3，又x>1，顯然不存在這樣的n，故此時式(2)無解。

當r=4，Z(nx)=4時，即nx=5，10，又x>1，顯然不存在這樣的n，故此時式(2)無解。

當r=6，Z(nx)=6時，即nx=7，21，又x>1，顯然不存在這樣的n，故此時式(2)無解。

當r=8，Z(nx)=8時，即nx=9，12，18，36，又x>1，可能的取值為x=2，n=3或者x=2，n=6，下面對這兩種情況分類討論：

當x=2，n=3時，即sim(φ(3y))=Z(32)=7。而當y=1,2時，sim(φ(3y))=sim(2×3y-1)=2,6；當y≥3時，sim(φ(3y))=sim(2×3y-1)=9(與前提條件矛盾)，故此時式(2)無解。

當x=2，n=6時，即sim(φ(6y))=Z(62)=7。而當y=1,2時，sim(φ(2y3y))=sim(2y×3y-1)=2,4；當y≥3時，sim(φ(2y3y))=sim(2y×3y-1)=9(與前提條件矛盾)，故此時式(2)無解。