基于邊界元法的高精度交流機械臂伺服動力特性分析

藍雄

柳州職業技術學院 機電工程學院，廣西 柳州 545006

隨著近年來科技的高速發展，越來越多的科技產品廣泛應用于人類生活與生產中，機械臂就是隨之誕生的高科技產物[1]。機械臂可應用于工業生產、航天產品以及農業種植等眾多具有高精度要求的行業中，其因高精度和智能化等優勢有效提升生產以及產品精度[2]。在目前高速發展的社會情形下，傳統機械臂已漸漸無法符合越來越高的未來發展需求，設計具有高精度高伺服性能的機械臂具有重要意義[3]。

目前對復雜機械的動力特性研究較多，但是針對高精度交流機械臂伺服動力特性研究相對缺乏，因機電耦合問題極易造成機械臂控制精度低，可靠性差，運行穩定性較差等問題[4]。研究基于邊界元法的高精度交流機械臂伺服動力特性，建立具有高精度高伺服性能的交流六自由度柔性機械臂模型，基于邊界元法對該模型的動力特性有效分析，對于機械臂的伺服性能以及機械臂的高精度運行提供理論依據。

1 高精度交流機械臂伺服動力特性分析

1.1 機械臂伺服傳動系統

圖1 矢量控制子系統原理圖Fig.1 Principle of the vector control subsystem

柔性機械臂中應用的永磁同步電動機具有時變、強耦合以及非線性多變量特性[5]，選取轉子磁鏈定向矢量控制子系統應用于機械臂伺服傳動系統中，伺服控制系統原理如圖1 所示。

圖1 為針對6 軸關節機械臂設計的機械臂伺服傳動系統中的矢量控制子系統，選取齒輪傳動系統控制機械臂傳動，分別選取RV 減速機與諧波減速機控制機械臂的1、2、3 關節與4、5、6 關節，因齒輪傳動機構較大[6]，利用質量-彈簧-阻尼器建立傳動系統。傳動系統輸入和輸出分別為電動機驅動力矩Ti驅動軸轉角θi以及機械臂關節運動角度θL與關節力矩TL，力的平衡微分方程可通過輸入軸與輸出軸獲取[7]，力的平衡微分方程如下：

以上公式中：Bi與Bo分別表示電動機軸系的粘滯阻尼系數以及機械臂軸系的粘滯阻尼系數；Ji與Jo分別表示驅動軸系的等效慣量以及負載軸系的等效慣量；T表示作用于齒輪副上的等效轉矩以及；i表示齒輪以及齒輪速比。

利用公式（1）和公式（2）獲取輸入與輸出角度關系公式如下：

其中，Be表示等效阻尼系數，Je表示折算至負載端的總轉動慣量。

選擇三環控制子系統控制機械臂的穩定運行，并有效提升機械臂的運行精度[8]，三環控制子系統中最外環為位置環，中間環為速度換，最內環為電流環，依據公式（4）（5）（6）獲取機械臂關節的伺服控制系統，機械臂關節的伺服控制系統中電流環傳遞函數如下：

機械臂關節的伺服控制系統中轉速環傳遞函數如下：

機械臂關節的伺服控制系統中位置環傳遞函數如下：

三環控制子系統的傳遞函數用位置環的傳遞函數表示，以上公式中，Ks表示PWM 變換器的放大系數；Ts表示PWM 變換器的延遲時間；Toi表示電流調節器的濾波時間常數；Ton表示轉速調節器的濾波時間常數；α表示電流環的反饋系數；β表示轉速環的反饋系數；Cm表示即刻勵磁下電動機轉矩系數，Tm表示電力拖動系統機電時間常數，其中Tm=GD2R/375CeCm。

1.2 高精度交流機械臂伺服邊界元法動力特性分析

圖2 梁元件合成圖Fig.2 Composite view of beam components

上文建立了機械臂伺服傳動系統，選取邊界元法分析利用機械臂伺服傳動系統控制的6 自由度柔性機械臂動力特性[9]，依據獲取的動力學方程檢測機械臂的高精度交流伺服性能。

機械臂中包括若干元件，由不同元件結合連接組成機械臂。選取邊界元法建立機械臂中各元件的邊界方程[10]，選取由兩個梁元件合成的機械臂中一部分介紹機械臂整體的邊界元建模解析過程[11]。機械臂中梁元件合成圖如圖2 所示。

針對圖2 通過機械臂的梁元件的單元邊界方程獲取整體機械臂的動力特性分析。機械臂中的梁元件各端均具有自由度方向為6°，梁元件中其中一個方向的長度與另兩個方向長度相比差別較大[12]，機械臂受到激振力會形成彎曲、扭轉與縱向的聯合震動[13]。選取機械臂中梁元件的彎曲震動的動態基本解獲取機械臂中梁單元邊界控制方程如下：

以上公式中，V表示機械臂梁元件彎曲震動時撓度；T表示機械臂梁元件彎曲震動時撓角；M表示機械臂梁元件彎曲震動時彎矩；Q表示機械臂梁元件彎曲震動時剪力；V*表示機械臂梁元件彎曲震動時撓度的動態基本解函數；T*表示機械臂梁元件彎曲震動時撓角動態基本解函數；M*表示機械臂梁元件彎曲震動時彎矩動態基本解函數；Q*表示機械臂梁元件彎曲震動時剪力動態基本解函數；L與xp分別表示梁元件的長度與激振力P作用點坐標；ρ表示材料密度；A表示材料面積；ω表示材料頻率；E表示材料彈性模量；I表示材料的慣性矩。

公式（9）中矩陣內各元素分別為：

通過以上過程可獲取機械臂梁單元于縱向和扭轉方向的邊界方程[14]，將不同方向的邊界方程組合依據機械臂中梁元件各方向的震動特點獲取機械臂中梁元件的動力學方程如下：

以上公式中，H與U均表示位移，G與F分別表示力系數陣與力列陣。

變換、整理公式（21）后，可獲取圖1 中機械臂中兩個梁元件的動力學方程如下：

以上公式中，W表示完成變換的系數矩陣。

建立相應的邊界結合關系式與機械臂的結合邊界中，依據作用力與反作用力條件可得圖1 中a處邊界上力的約束關系公式如下：

公式（26）中，S表示坐標變換矩陣。

設Ka與Ca分別為a處結合部的剛度陣與阻尼陣，可得如下關系式：

在a處Fi+1、Fj力與位移約束關系可利用圖1 中a處兩端力坐標系變換關系獲取，公式如下：

依據公式（26）、公式（28）和公式（29）將公式（24）、（25）結合獲取機械臂中兩個梁元件合成方程式如下：

公式（30）中，表示復剛度陣，=Ka+iωCa；P表示與P1、P2關聯的列陣。

依據以上兩個梁的步驟依次合成，獲取由多個元件組成的機械臂整體結構，可知機械臂的動力學方程如下：

通過公式（31）即可獲取機械臂結構的固有頻率特性，同時可獲取機械臂結構各階頻率所對應的陣型[15]，依據固有頻率特性和各階頻率分析由機械臂伺服傳動系統控制的高精度交流機械臂伺服動力特性。

2 實驗分析

采用本文方法建立機械臂伺服傳動系統，并將該系統應用于六自由度柔性機械臂中，獲取的實驗裝置圖如圖3 所示，并采用本文方法分析機械臂的動力特性。

圖3 六自由度機械臂實驗裝置圖Fig.3 Six-degree-of-freedom mechanical arm experimental device diagram

設置六自由度柔性機械臂實驗裝置負載重量與重力加速度分別為1.0 kg 以及10.0 m/s2。柔性機械臂參數見表1。

表1 機械臂參數Table 1 Mechanical arm parameters

通過本文方法將柔性機械臂關節速度轉換至電機速度，跟蹤機械臂在空載、150 Nm 負載、300 Nm負載情況下的運行情況，速度跟蹤結果如圖4 所示。

圖4 機械臂速度跟蹤結果Fig.4 Robot arm speed tracking results

分析圖4 柔性機械臂在不同負載情況下的速度跟蹤結果可知，機械臂的關節電機可跟蹤電機輸入速度效果較好，且負載大小與速度波動呈反比，負載越大情況下，速度波動越小，驗證了本文方法的伺服性能。

不同負載情況下柔性機械臂的關節位置估計跟蹤結果如圖5 所示。

圖5 機械臂位置跟蹤結果Fig.5 Robot arm position tracking results

通過圖5 實驗結果可以看出，該機械臂的關節實際位置與期望位置基本吻合，驗證了本文機械臂的跟蹤高精度，說明本文機械臂響應關節期望位置速度較快；在實驗中機械臂關節結束運動時位置波動極小，波動范圍與穩態誤差小于18"以及1.5′，并且機械臂在負載變大情況下，仍保持快速的影響速度，波動范圍以及穩態誤差沒有收到影響，再次驗證了機械臂的高精度以及伺服穩定特性。

采用本文方法獲取實驗裝置六自由度柔性機械臂的動力學方程，通過動力學方程建立六自由度機械臂合成單元的數據文件，獲取前6 階固有頻率結果如表2 所示。

表2 計算值與實驗值對比Table 2 Comparison of calculated and experimental values

通過表2 實驗結果可以看出，采用本文方法分析高精度交流機械臂伺服動力特性結果較為精準，相對誤差均在0.05%以內，驗證了本文方法分析高精度交流機械臂伺服動力特性的準確性。

3 結論

機械臂是目前廣泛應用于各種行業的高科技產物。選取轉子磁鏈定向矢量控制系統應用于機械臂伺服傳動系統，并將三環控制系統應用于機械臂伺服傳動系統中，有效提升高精度交流機械臂伺服特性，并利用邊界元法建立高精度交流機械臂動力學方程，通過動力學方程有效分析機械臂的動力特性。實驗結果表明，通過該方法獲取的機械臂伺服傳動系統應用于六自由度柔性機械臂中，具有較好的高精度伺服特性，且通過固有頻率結果驗證了該方法的動力特性分析結果。