拉床構件的有限元分析及拓撲優化設計

何玉輝，關健鵬，謝欣彤

中南大學機電工程學院，湖南 長沙 410083

當前制造業面臨著產業升級和轉型，在這個背景下相關企業對所生產的產品要求更合理的結構與更優良的性能。有限元分析是隨著當前計算機性能的不斷發展而得到愈加廣泛和深入應用的一種工程問題研究方法，為工程師設計新產品和改進已有設計提供了新的分析途徑，能夠降低生產成本，縮短設計周期。結構拓撲優化通過改變結構原有的拓撲構型，使得結構上的所有材料都發揮作用，避免冗余結構的出現[1]。結合有限元分析技術、拓撲優化理論和傳統力學分析的結構優化流程在結構設計領域被用戶廣泛采用[2-4]。

段明德[5]等以機床床鞍為研究對象，約束靜態剛度和固有頻率，對床鞍進行輕量化設計。戴護民[6]通過對成型機軸承座進行拓撲優化，使軸承座的動態響應特性得到改善，Y、Z 兩個方向的一階固有頻率和動剛度都有所提高。尹輝俊[7]等利用變密度法的拓撲優化技術對乘用車的副車架進行了正向重新設計，有限元分析結果顯示各種工況下的應力水平都低于原設計。傳統的結構設計過程中通常很難確定改進后結構的動態特性，上述的研究工作通過有限元分析和拓撲優化過程避免了這個問題，并在此基礎上進行了輕量化設計和結構優化，但在研究過程中缺少實驗驗證，無法確定所建立的有限元模型是否準確描述了結構的實際工況。

此外，拉床的墻板作為拉削加工過程中直接與夾具接觸的部件，其動靜態特性對拉床加工過程中的穩定性和工件加工后的質量具有決定性的影響，但現在少有對墻板結構性能分析和優化的研究。

本文在通過有限元仿真軟件，對拉床墻板進行靜力和模態分析，并通過對墻板模態試驗檢驗有限元分析的準確性，之后利用拓撲優化的方法對墻板結構進行優化設計，以改善其動靜態特性。

1 拉床墻板的有限元仿真分析

1.1 拉床結構分析

拉床由于有著極高的生產效率和加工精度，在現代制造業的大批量生產中得到廣泛的應用，尤其適用于汽車、航空航天以及燃氣輪機等行業中具有復雜幾何形狀的槽和內孔的加工，為企業降低加工成本發揮巨大作用。本文研究對象為型號YYLC6110 臥式內拉床的墻板，該拉床的主體結構如圖1 所示。機床允許的最大拉力為100 kN，最大行程為1100 mm。

墻板為加工過程中的主要受力位置，其上要安裝夾具及工件，內側由導柱支承，導柱末端有螺紋，通過螺母將墻板壓在導柱上，墻板下部由螺栓固定在機架上。墻板的靜、動態特性將直接影響機床的加工質量。

圖2 有限元前處理結果Fig.2 Results from Finite element preprocessing

圖1 臥式內拉床主體結構Fig.1 The main structure of horizontal internal broacher

1.2 有限元前處理

墻板主要外形尺寸為425 mm×200 mm×55 mm，材料為Q235。墻板正中位置為拉削孔，拉削孔兩側的沉孔為導柱安裝孔。因其結構比較簡單，直接在hypermesh 軟件中建立墻板的幾何特征，忽略對結構強度影響不大的細孔等其它特征，并進行網格劃分。為提高計算效率和計算精度，采用六面體單元對實體進行離散化，共生成43572 個節點和37267 個六面體單元，結果如圖2 所示。三個孔處的圓環是為了方便后續進行結構優化，將優化區域和非優化區域進行了分離。

1.3 有限元靜力分析和模態分析

在有限元軟件中建立兩個工況來分別進行靜力分析和模態分析，以獲取墻板在載荷作用下的應力應變情況以及動態特性。兩個工況的約束均為固定兩個沉孔的中心以及墻板下部螺栓位置，進行靜態分析時，在拉削孔的中心施加一個大小為100 kN 的集中力，方向沿-Z 方向，然后在OptiStruct模塊中進行求解。

靜力分析結果如圖3 所示，從應力應變的分析結果中可以看到，最大應力位置在墻板內側導柱安裝孔的靠近中心處，最大應力為182.9 MPa。墻板材料的屈服強度為235 MPa，可知當承受許用的最大載荷時，安全系數僅為1.28 左右，因此可以在優化設計時降低最大應力，從而提高安全系數。墻板變形的最大應變位置在墻板外側拉削孔的圓周上，最大變形量為0.032 mm。

圖3 墻板有限元靜力分析結果Fig.3 Finite element analytical results on wallboard

模態分析結果的前四階固有頻率及振型如圖4 所示。一階模態為上下部繞X 軸的前后扭轉，二階模態為四角處繞Y 軸扭轉，三階模態為左右部的前后擺動，四階模態為中部的前后擺動。拉削過程中的激勵頻率為f=(v×1000)/(p×60)，v為額定拉削速度3 m/min，p為拉刀刀齒間的距離，拉床配套的寬刀體鍵槽拉刀齒距為8 mm，由此可得激勵頻率為6.25 Hz，與墻板的一階固有頻率538 Hz 相距較遠，難以引起共振，因此墻板的動態特性符合使用要求。

圖4 墻板前四階模態分析結果Fig.4 Analytical results of wallboard in the first four modes

2 墻板模態的試驗測量與分析

2.1 模態測量方案

模態測量時，使用力錘敲擊墻板結構產生激勵，然后通過加速度傳感器將各測點的加速度信號轉化為電信號，并由數據采集前端完成數據的收集，最后前端將數據傳輸到上位機，進行數據的分析處理。試驗所采用的試驗設備如表1 所示，試驗現場的圖片如圖5 所示。

表1 模態測量試驗設備Table 1 Equipment measuring modes in test

在布置加速度傳感器的測點時，首先要求不能將所有傳感器放置在所關心模態的節點位置，否則將無法獲得模態振型。其次需要有足夠多的測點數量，以便區分和描述各階模態的振型[8]。但是如果布置太多的測點又對設備的通道數目提出更高要求，同時也會加大測試的工作量，所以要合理地安排測點數量和布置測點位置。根據有限元模態分析的結果，對墻板模態測試的測點布置安排如圖6 所示。在墻板的長度方向(X 方向)布置4 個測點，在高度方向(Y 方向)布置3 個測點，在厚度方向(Z 方向)布置2 個測點。與圖4 中的前四階模態的振型進行對比，可以看出這樣的測點安排能夠合理區分和描述各階模態的振型。為減小干擾對結果的影響，每個測點進行8 次測量，取平均結果得到各個測點的頻率響應函數。

圖5 模態測量試驗現場Fig.5 Testing scene measuring modal shapes

圖6 測點布置安排Fig.6 Layout of testing points

圖7 模態分析結果曲線Fig.7 analytical curve of mode shape

2.2 模態測量結果與對比分析

利用Test.lab 的模態分析模塊，在模態測試數據選擇中選取所有測得的頻率響應函數作為要分析的數據，設定分析帶寬為0～1200 Hz，應用軟件內置的PolyMAX 方法對帶寬范圍內的穩定模態進行識別，PolyMAX 方法能夠對各階穩定模態的頻率和振型進行高精度的識別，并且有極高的計算效率[9]。穩定模態的分析結果如圖7 所示。

表2 墻板模態試驗結果與有限元結果的對比Table 2 Comparison of wallboard mode results and finite element results

Test.lab 軟件會給出各個極點的穩定狀態，其中s表示該處的頻率、阻尼和向量的穩定情況都滿足公差范圍要求，據此可以選擇各階穩定模態，并計算各階模態的振型。在設定的帶寬范圍內各階穩定模態的頻率、阻尼比以及與有限元分析結果的對比見表2，其中ζ表示阻尼比，fT 為各階固有頻率的試驗結果，fFE 為各階固有頻率的有限元分析結果，ε為相對誤差。試驗模態的一階固有頻率為255 Hz，在有限元分析結果中難以找到與其相匹配的結果。這可能是由于墻板的試驗模態是墻板裝配于整機上的狀態下進行測量的，因此可認為試驗結果的一階固有頻率屬于整機的其它部件，去除該頻率后與有限元結果進行對比，誤差在可接受范圍內，說明了有限元分析過程的可靠性。去除第一階結果的試驗模態振型如圖8 所示，從振型上來看，也基本與有限元結果相近。

圖8 試驗模態的各階振型Fig.8 Mode shape on each order

3 墻板結構的優化設計

3.1 拓撲優化理論基礎

對結構進行拓撲優化的目的是為設計區域內的結構材料指定新的拓撲構型，從而達到最優設計目標，并且使結構在指定的邊界約束和載荷響應等條件下，滿足實際工況的需求[10]。在優化過程中為了避免出現難以求解的情況，要根據有限元模型建立一個顯式近似模型，這樣也可以減小計算的工作量。變密度法（SIMP）由于易于程序化實現且擁有較高的運算效率，被廣泛選用為拓撲優化計算的數值模型[11]。本文在拓撲優化設計中使用的Optistruct 軟件使用的就是變密度法中的插值模型。

3.2 墻板的拓撲優化設計

優化設計的目標函數設為最小化墻板結構上的最大單元應力，在優化過程中約束一階固有頻率大于初始值，同時要求優化后的體積不大于優化前的80%，以達到既改善墻板的靜、動態特性又實現輕量化的設計目的。對墻板優化設計時，除了裝配需要的安裝位置，其它部分均定義為設計區域。

應用SIMP 法對墻板進行拓撲優化的數學模型可以描述為：

式中，xi為單元密度，即優化設計過程中的設計變量；strs表示單元應力；Vf為整體體積分數；K為墻板結構的剛度矩陣；U為節點位移矢量組成的矩陣；F為施加在墻板上的外載荷；fr1為一階固有頻率；xmin為最小單元密度，一般取其為0.001 以避免優化過程中出現奇異值。

將上述優化問題在Optistruct 中進行求解計算，優化結果在11 次迭代后收斂。在hyperview 中打開優化完成的結果，并約束可見的單元密度閾值為0.3，只顯示需要保留的結構，其結果如圖9 所示。

圖9 墻板結構拓撲優化Fig.9 Topological optimization for wallboard structure

圖10 墻板二次優化設計Fig.10 Second optimization design for wallboard

從圖9 可以看出，墻板的中部位置作為主要變形區，大部分結構得以保留，兩個導柱的安裝孔周圍也保留了較多的材料。墻板的四角處基本不承受載荷，在優化結果中此區域大多被去除。利用OSSmooth 模塊將優化后的結果導出IGES 格式的文件，在三維建模軟件CREO 中打開，以便根據優化的結果進行模型的修改和重新設計。二次設計后的墻板結構如圖10 所示。

3.3 二次設計后的墻板性能分析與對比

將二次設計后的墻板結構導入到有限元軟件中，在前處理完成后進行靜力分析和模態分析，其中應力應變的分析結果如圖11 所示。

圖11 二次設計后的應力應變分析結果Fig.11 Stress-strain analysis after second design

優化后與優化前的結構質量M，最大單元應力σmax，最大變形量Dmax以及一階固有頻率f1的對比數據可見表3。優化后墻板的質量減輕30.4%；最大應力減小為161.7 MPa，減小了11.6%，安全系數由1.28 提升到1.45；最大變形量改變不大，但也略有減小，減小了1.86%；一階固有頻率由原來的538 Hz 提升到了712 Hz，更難發生共振。經過對比可知，基于拓撲優化和有限元分析的墻板結構優化設計方法有效改善了其靜、動態特性。

表3 優化前后墻板性能對比Table 3 Comparison of wallboard performances before and after optimization

4 結語

本文對拉床墻板進行有限元分析并對分析結果進行了驗證，在此基礎上對墻板結構進行了拓撲優化設計，以改善其靜、動態特性。通過對優化后重新設計的結構進行分析對比，發現墻板質量減輕了30.4%，最大應力減小了11.6%，最大變形量減小了1.86%，一階固有頻率由538 Hz 提升到了712 Hz，實現了在輕量化的基礎上提高結構剛度，改善動態特性的設計目標。

本文所使用的有限元分析和拓撲優化的設計方法，相較傳統的設計方法更加清晰可靠，易于實現，并且通過實際測試驗證了計算方法的準確性，為結構設計和改進提供了一種可借鑒的方法。