極大Smith符號(hào)圖的Smith群和臨界群

，

（湖南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)系，湖南 長(zhǎng)沙 410081）

1 研究背景

隨著臨界群在物理、經(jīng)濟(jì)等不同領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，近些年來，越來越多的學(xué)者開始對(duì)連通圖的臨界群和Smith群進(jìn)行研究，并發(fā)現(xiàn)臨界群和Smith群是連通圖的精細(xì)不變量。目前，對(duì)于連通圖的臨界群和Smith群已有較多研究成果，比如莫比烏斯階梯圖Mn[1]、Peisert圖[2]、迭代錐[3]、Kneser圖[4]、門檻圖[5]、Dihedral圖[6]、圈的平方[7]、等多種類型圖的臨界群。除此之外，對(duì)于臨界群上的代數(shù)性質(zhì)也有相關(guān)研究，比如臨界群的秩[10]。

一個(gè)圖G的點(diǎn)集和邊集分別由V(G)和E(G)表示，一個(gè)符號(hào)圖Г=(G,σ)由一個(gè)無符號(hào)圖G=(V,E)和一個(gè)符號(hào)函數(shù)σ:E(G)→{+1,-1}組成，如果σ(e)=+1，那么邊e是正的，如果σ(e)=-1，那么邊e是負(fù)的。

設(shè)連通符號(hào)圖Г有n個(gè)頂點(diǎn)，那么圖Г的鄰接矩陣是n×n階的對(duì)稱矩陣A(Г)，其中aii=0，i∈{1,2,…,n}；aij=+1，i,j∈{1,2,…,n}，當(dāng)且僅當(dāng)頂點(diǎn)vi和頂點(diǎn)vj之間連正邊；aij=-1，i,j∈{1,2,…,n}，當(dāng)且僅當(dāng)頂點(diǎn)vi和頂點(diǎn)vj之間連負(fù)邊。連通符號(hào)圖Г的Laplacian矩陣定義如下：L(Г)=D(Г)-A(Г)，其中D(Г)=diag(d1,d2,…,dn)是連通符號(hào)圖Г的度矩陣。

將連通符號(hào)圖Г的鄰接矩陣A(Г)看作Zn→Zn的群同態(tài)，余核cokerA(Г)=Zn/(A(Г)Zn)稱為Г的Smith群。類似地，將連通符號(hào)圖Г的Laplacian矩陣L(T)看作Zn→Zn的群同態(tài)，它的余核cokerL(Г)=Zn/(L(Г)Zn)是Г的臨界群。

根據(jù)連通符號(hào)圖的Smith群和臨界群的定義可知，對(duì)其鄰接矩陣和Laplacian矩陣分別作行列整變換，可以得到其Smith群和臨界群的代數(shù)結(jié)構(gòu)。除此之外，課題組還可以通過找Smith群和臨界群的生成元及其階數(shù)的方法來得到其代數(shù)結(jié)構(gòu)。

特征值在[-2,2]的符號(hào)圖叫做Smith符號(hào)圖[11]，由T2n、S14和S16的子圖構(gòu)成。在本文中課題組完全確定了極大Smith符號(hào)圖T2n的臨界群和Smith群的代數(shù)結(jié)構(gòu)。其中符號(hào)圖T2n、S14和S16分別與圖1a，1b和1c所示的符號(hào)圖轉(zhuǎn)換等價(jià)圖，圖1b和圖1c中的實(shí)線和虛線分別表示兩個(gè)頂點(diǎn)之間連正邊和負(fù)邊。

圖1 符號(hào)圖的轉(zhuǎn)換等價(jià)圖Fig.1 Transformation equivalence graph of signed graph

S14和S16是有限連通符號(hào)圖，它們的Smith群和臨界群較易得到。S14的Smith群和臨界群分別是和；S16的Smith群和臨界群為和。

2 T2n的Smith群和臨界群

由圖1可以寫出T2n的鄰接矩陣，其中A(Cn)是圈Cn的鄰接矩陣，。

因?yàn)锳(T2n)2=4I，所以T2n的Smith群的初等因子是4的素因數(shù)的冪，故可設(shè)又因?yàn)椋杂?/p>

其中rank2(A(T2n))是A(T2n)在二元域中的秩。

定理 1

證明1）當(dāng)n≡1 mod 2時(shí)，

①當(dāng)n≡1 mod 4時(shí)，令

②當(dāng)n≡3 mod 4時(shí)，令

2）當(dāng)n≡0 mod 2時(shí)，

①當(dāng)n≡2 mod 4時(shí)，令

②當(dāng)n≡0 mod 4時(shí)，令

綜上所述有

定理2

證明令，則，

即

定理3T2n的Smith群的代數(shù)結(jié)構(gòu)為

證明1）n≡1 mod 2時(shí)，rank2(A(T2n))=n-1，則

2）n≡0 mod 2時(shí)，rank2(A(T2n))=n-2，則

綜上所述，T2n的Smith群的代數(shù)結(jié)構(gòu)為

T2n的Laplacian矩陣為

定理 4T2k的臨界群的代數(shù)結(jié)構(gòu)為

證明因?yàn)锳(T2n)2=4I，所以A(T2n)的特征值只可能為±2，且A(T2n)的跡為0，所以特征值+2和-2的重?cái)?shù)均為n。又因?yàn)長(zhǎng)(T2n)=4I-A(T2n)，所以L(T2n)的特征值為2和6，其重?cái)?shù)均為n，所以有detL(T2n)= 2n×6n=12n=4n×3n。由A(T2n)2=4I可以得知(L(T2n)-8I)L(T2n)=12I。從而T2n的臨界群的初等因子為2,22,3，且可設(shè)，其中

由定理2可知

當(dāng)n≡1 mod 2時(shí)，可得

從而有

當(dāng)n≡0 mod 2時(shí)，可得從而有

3 結(jié)語

本文從臨界群和Smith群的角度，運(yùn)用初等變換分別得到了T2n的Smith群和臨界群。如果將T2n推廣到一般符號(hào)圖，則暫時(shí)無法用矩陣的初等變換解決。因此，得到任意一個(gè)符號(hào)圖的臨界群和Smith群結(jié)構(gòu)是一個(gè)十分吸引人和值得深入研究的課題。