基于加權稀疏約束的穩健Capon波束成形性能比較

林 振，李 莉，魏 爽，梁 燕

（上海師范大學信息與機電工程學院，上海201418）

0 引 言

自適應天線陣列可以根據信號環境實時地調整天線陣列的加權因子，使天線陣列的輻射方向圖在期望信號方向上達到一定的增益，并抑制其他方向上的干擾，通常稱這一過程為自適應波束成形（ABF）.自適應波束成形技術廣泛應用于雷達、聲吶、麥克風陣列語音處理、醫學成像、無線通信和天文學及地震學等領域［1］.

傳統的自適應波束成形算法大多假設訓練數據中不包含期望信號，但是在許多實際的應用場景中，訓練數據時常包含期望信號［2］.因此，當期望信號的導向矢量失配時，采用傳統的自適應波束成形算法所設計的波束成形器，其性能將會急劇下降.同時，即使期望信號的導向矢量不失配，較小的訓練樣本也會引起波束成形器性能下降.

標準的Capon波束成形器是一種最小方差無失真響應（MVDR）自適應波束成形器［3］，其原理是保證在期望信號無失真的情況下，最小化干擾和噪聲的功率.當采樣數較少或是導向矢量失配時，標準的Capon波束成形器可能將真正的期望信號誤認為干擾信號進行處理，穩健性較差.為了克服導向矢量失配帶來的問題，出現了許多自適應波束成形器，例如：對角加載（DL）算法［4］、特征空間波束成形器（ESB）［5］、協方差矩陣銳化（CMT）方法［6］.但是，DL 算法的缺點是無法根據失配量選擇最優的加載因子；ESB 算法必須首先獲得子空間及其維數的先驗信息，較大地限制了算法的實際應用；CMT 算法雖然能提高干擾零陷的改善程能力，但是旁瓣控制能力有一定程度的下降.程青青等［7］利用粒子群算法和其改進算法求解波束成形問題，得到的結果具有一定的穩健性，但是得到的干擾零陷和旁瓣并沒有很明顯的下降.

近年來，信號的稀疏表示在信號處理方面得到了許多應用［8］，ZHANG 等［9］在標準Capon 波束成形的基礎上，利用信號的稀疏性，提出了基于稀疏的Capon 波束成形（SCCB）算法；在此基礎上，ANDRADE等［10］提出利用l1范數解決波束成形旁瓣過高、干擾零陷不深的問題.杜永興等［11］和劉振等［12］在標準Capon 算法的優化問題上做了改進，提出了加權稀疏約束Capon 波束成形（WSCCB）算法，得到了比較低的旁瓣和較深的干擾零陷.

本文作者主要對上述文獻提出的方法進行性能的對比，定量仿真分析幾種算法各自的優劣，明確未來在自適應波束成形方面的主要問題.

1 系統模型

考慮由N 個陣元組成的均勻線性陣列，陣元之間的間隔為d，存在J 個干擾信號，有J+1 個遠場窄帶不相關信號入射到均勻線性陣列上，如圖1所示.

圖1 N元線性陣列接收模型

此時，N元線性陣列接收信號的N×1維時間采樣序列

其中，k為采樣時間序號；K為每條樣本序列的總數；s0（k）表示k時刻的期望信號；sj（k）（j=1，2，…，J）表示k時刻第j個干擾信號.s0（k）和sj（k）的功率可以分別表示為：

θ0表示期望信號的實際來波方向；θj（j=1，2，…，J）表示第j個干擾信號的實際來波方向；a（θ0）表示期望信號的導向矢量；a（θj）（j=1，2，…，J）表示第j個干擾信號的導向矢量；n（k）表示k時刻，方差為的加性高斯白噪聲向量.信噪比可以表示為，第j個干擾信號的干噪比可以表示為根據圖1可以得到：

其中，d 是相鄰陣元之間的間隔；λ 是窄帶信號的波長，一般d=λ/2.為了更準確地得到期望信號，對陣列接收到的信號進行加權求和，k時刻的自適應波束成形器的輸出記為：

其中，H為矩陣的共軛轉置運算符；w=［w1，w2，…，wN］T為波束成形器對N個陣元接收信號的復加權向量，而最優的復加權向量w 能保證輸出y（k）在無失真得到期望信號的前提下，將干擾信號和噪聲信號的功率降到最低.

2 標準Capon波束成形

將問題轉化為求解優化問題：

是干擾和噪聲的協方差矩陣.但實際的采樣中一般包含期望信號s0（k），很難完全分離出干擾信號和噪聲信號，Ri+n可以用采樣信號x（k）的協方差矩陣Rx來近似代替.將式（4）的優化問題轉化為：

其中，

采用拉格朗日乘數法求解式（6），構造拉格朗日函數為：

從式（9）可以看出最優權值是由Rx和共同決定的.當采樣數K 較少時，天線陣列輻射方向圖的旁瓣會升高，標準Capon波束成形的穩健性較差，當期望信號的DOA估計值發生偏差或者陣元位置發生偏差時，均會造成信號的導向矢量失配，進而導致標準Capon波束成形器的性能下降.

3 加權稀疏約束的Capon波束成形

針對式（9）中標準Capon 波束成形算法結果對采樣數K 敏感，以及穩健性較差的問題，考慮到理想的天線陣列輻射方向圖主瓣區域的天線陣列增益wHa（θ）應該近似為1，大部分旁瓣區域的天線陣列增益應該近似為0，主瓣區域遠小于旁瓣區域，使得天線陣列增益在角度區域上近似滿足稀疏分布，即大部分角度區域的天線陣列增益為0 或近似為0.ZHANG 等［9］將信號的稀疏性應用到Capon 波束成形器中，提出了SCCB算法，具體的優化模型如下：

杜永興等［11］用旁瓣的陣列導向矢量的集合A?的共軛轉置與采樣信號的協方差矩陣相乘，得到旁瓣上的信息矩陣，再取矩陣每一行的平均值（角度上信息的平均值），得到的值即為每個角度的加權值，在天線陣列輻射旁瓣所對應的干擾和噪聲方向上施加了一個抑制天線陣列增益的權值.加權后的最優化模型為：

其中，γ2是稀疏項加權稀疏（γ2＞0）；Q是L×L（L為旁瓣區域內的角度總數）維的抑制旁瓣區域天線陣列增益加權矩陣；AI為干擾信號導向矢量的集合.Q是對的每一行取2范數構成的對角陣，設

其中，di是1×N的向量.令

則

劉振等［12］主要利用噪聲子空間與信號子空間之間的正交性構造加權矩陣G，優化模型為：

對采樣信號的協方差矩陣進行特征值分解，得到信號子空間US和噪聲子空間UN，因為信號和噪聲是相互獨立的，所以US和UN相互正交，而入射信號（包括期望信號和干擾信號）的導向矢量集合A=［a（θ0），a（θ1），…，a（θJ）］張成的子空間與信號子空間是同一個空間，所以A 與UN正交，即AHUN=0.AI?A，所以AIHUN=0.AI?A?，用A?的共軛轉置乘以噪聲子空間可以得到：

其中，AIC是A?中除去AI，其余導向矢量的集合；E1是干擾信號導向矢量與噪聲子空間的內積，在實際操作中，由于采樣數有限，E1部分近似為0；E2為旁瓣區域中去除AI，其余導向矢量的集合與噪聲子空間的內積.對E的每一行取2范數得到向量

對e中的每一個元素取倒數得到向量g，最終加權矩陣

在實際中，e1為非常接近于0 的數，g 為相當大的數，因其對應于干擾方向，相當于在干擾部位進行加權，使得干擾零陷更低.

4 仿真對比

考慮圖1 所示的N 元線性天線陣列系統模型，實際應用中，對于接收端而言，期望信號和干擾信號的具體來波方向是未知的，所以要先進行DOA 估計，得到窄帶信號的來波方向，設計波束成形的權值.天線陣列一旦制作完成，天線的位置發生偏移的概率不大，所以主要考慮由于期望信號的角度與估計值的誤差而引起的導向矢量失配情況.

使信噪比小于干噪比，即期望信號的功率小于干擾信號的功率，采樣信號的協方差矩陣Rx更接近干擾和噪聲的協方差矩陣，仿真參數如表1所示.

旁瓣區域內采樣間隔為1o，仿真中信號的采樣數K 為100，為消除仿真實驗的隨機性，蒙特卡羅仿真次數為100 次，主要對比了傳統Capon波束成形［5］、用l1范數約束的SCCB算法［10］和2種WSCCB算法［11-12］的性能.

4.1 無導向矢量失配的情況

假設采樣數足夠多，J+1個完全不相關的遠場窄帶信號入射到均勻線性陣列，使用DOA 估計算法得到的期望信號方向與真實的期望信號方向θ0的誤差可以忽略，則期望信號的導向矢量近似等于真實的期望信號的導向矢量α（θ0）.圖2 是無導向矢量失配時的天線陣列輻射方向圖.從圖2 來看，天線陣列增益低于于-20 dB的角度區域遠大于天線陣列增益高于-20 dB的角度區域，天線陣列增益滿足稀疏分布.相比標準Capon波束成形算法，其他幾種改進的算法旁瓣和干擾零陷均較低，文獻［11-12］算法存在干擾零陷不準的現象.圖3 是輸出的信干噪比隨著采樣數的變化圖.可以看出當采樣數K 增加時，幾種算法的輸出信干噪比均在增加，標準Capon波束成形算法信干噪比總體較小，文獻［11-12］算法的輸出信干噪比大致相同.

表1 仿真參數表

圖2 無導向矢量失配的天線陣列輻射方向圖

圖3 輸出信干噪比隨采樣數K的變化圖

4.2 導向矢量失配時

假設DOA 估計算法由于采樣數過少而導致估計的期望信號方向與真實的期望信號方向θ0存在一定的誤差，造成失配問題.圖4是當導向矢量存在3o失配時，4種算法的天線陣列輻射方向圖對比，可以看出標準Capon 波束成形算法和文獻［12］算法均把真實的0o方向的期望信號當作干擾處理，在0o處形成零陷，而文獻［12］算法出現了主瓣的搬移，相比之下，文獻［11］中的算法表現了較強的穩健性.圖5給出了文獻［12］的天線陣列輻射方向圖隨導向失配程度的變化圖，可以看出當失配角度越大時，在真實期望信號來波方向形成的干擾零陷就越低.

圖4 導向矢量存在3o失配時天線陣列輻射方向圖

圖5 天線陣列輻射方向圖隨導向失配程度的變化圖

5 結 論

將幾種加權稀疏約束的Capon 波束成形算法進行比較，仿真結果表明：相對于SCCB 算法和標準Capon 波束成形算法，兩種WSCCB 算法得到的N 元線性天線陣列輻射方向圖的旁瓣和干擾零陷都有一定程度的降低，但是兩種WSCCB算法均存在干擾零陷，不能準確指向設定的干擾方向.如何使天線陣列輻射方向圖的干擾零陷更加精準，以及進一步降低旁瓣是將來的主要研究內容.當導向矢量存在失配時，WSCCB 算法表現出了較差的穩健性，而且隨著失配角度的增大，其對真實期望方向的抑制增強，所以在降低干擾零陷和旁瓣的同時，算法的穩健性也是需要考慮的問題.