基于馬爾可夫隨機場和模糊C-均值聚類的DTI圖像分割算法

陳 康，張相芬，馬 燕，袁非牛，李傳江

（上海師范大學信息與機電工程學院，上海201418）

0 引 言

彌散張量成像（DTI）是基于彌散加權技術發展起來的新型成像模態，可以提供其他成像方式不能提供的信息，且具有很多獨特的優點，例如非侵入性和不需要造影劑等［1］.DTI也是無創辨識活體腦白質微細結構的唯一技術，可以在分子水平上對腦組織進行病變檢測，并配合臨床診斷，可以在某些疾病（腦缺血、中風、老年癡呆及精神分裂等）的發病早期進行水分子擴散異常檢測，而常規核磁共振成像（MRI）等設備難以檢測到這種變化［2］.

圖像分割是圖像分析與理解的關鍵環節之一，也是圖像處理領域的研究熱點和難點問題［3］.醫學圖像分割的本質是將所需要的目標從比較復雜的背景中提取出來，為后續臨床治療和診斷分析提供參考［4］.醫學圖像的模糊性和不確定性會導致圖像之間存在部分混疊，很難在醫學圖像中不同個體組織之間找到清楚的邊界，不能很好地分割圖像.模糊理論可以很好地處理邊界模糊問題，模糊聚類算法已成為一種有效的醫學圖像分割方法.

模糊C-均值聚類（FCM）算法是現代應用最為廣泛的模糊聚類算法，具有簡單、無監督、穩健性好等特點［5］.FCM 算法通過迭代操作尋找聚類中心和隸屬度函數，使得目標函數達到最小，從而實現圖像的優化分割.當圖像中存在不穩定因素時，FCM 算法能充分體現出性能優勢［6］.傳統的FCM 聚類算法僅僅利用了圖像灰度之間的相關性，忽略了圖像的空間信息，無法達到令人滿意的分割準確度.尤其在信噪比較低的情況下，分割結果可能產生較大偏差［7］.ALI等［8］利用FCM 算法對人腦圖像進行分割，利用形態學金字塔將預處理的多分辨圖像和原始圖像進行融合，通過FCM 算法對人腦圖像進行分割，提高了實驗的準確率.周曉明等［9］提出了子圖分割再合并的FCM 方法，相比傳統FCM 方法，該方法取得了更好的圖像分割效果，但其忽略了鄰域對于圖像分割的影響.

基于馬爾可夫隨機場（MRF）對圖像進行分割操作，可以充分利用圖像的空間相關信息［10］，運用Gibbs 場和最大后驗概率（MAP）實現圖像分割，可以有效地提高抗噪性，但其缺點在于易出現過分割現象［11］.

LIU等［12］結合FCM 和MRF，潘偉等［13］結合Gibbs隨機場和加權FCM 對人腦MRI圖像進行分割處理，這兩種融合算法的權值都是固定的，未能充分發揮FCM 與MRF 的優勢.CHATZIS 等［14］結合隱馬爾可夫隨機場（HMRF）和FCM，廖亮等［15］結合FCM 和Gibbs 場對圖像進行分割，這些算法一定程度上提高了圖像分割的效果，但在圖像信噪比低的情況下，分割效果依然不是很理想.

圖像中的像素點大致分為噪聲點、邊緣點和區域內部像素點［16］.根據圖像鄰域像素的相關性，結合基于鄰域密度的離散點檢測，本文作者提出一種新型的FCM 和MRF 融合算法，可以更加充分地發揮FCM和MRF算法的優點，提高分割準確性和抗噪性.

1 傳統FCM算法

傳統FCM 聚類算法是將具有N 個元素的有限集X 劃分為C 個模糊類，有限集X 表示為X={xi|i=1'2'…'N}，通過不斷更新像素隸屬度和聚類中心V={vc|c=1'2'…'C}，使得目標函數達到最小，從而完成聚類.其目標函數為：

其中，d(xi'vc)表示第i個元素與第c個聚類中心的歐式距離；m為模糊加權指數，且m∈[1'∞]；uic為隸屬度函數，是描述集合X 中任一元素xi屬于類別c 的程度，uic的取值范圍是［0，1］.隸屬度函數需滿足以下約束條件：

結合目標函數和隸屬度性質，引入拉格朗日算子λi，i=1，2，…，N，對式（1）的目標函數更新如下：

根據拉格朗日乘子法，可以求得當目標函數取得最小值時，隸屬度和聚類中心的求解公式分別為：

將每次迭代得到的各個類聚類中心和每個元素對每個類的隸屬度值，代入式（3），通過不斷迭代求得目標函數的最小值，從而完成最終聚類，得到模糊聚類的結果.

2 模糊MRF算法

模糊MRF 算法描述為：假設一個大小為L=M×N 的DTI 圖像，其馬爾可夫隨機場為Y={Y(i'j)=yij'(i'j)∈L}（其中，L={(i'j)|i ∈[1'M]'j ∈[1'N]}），yij是離散的隨機變量且有yij=k'k ∈{1，2，…，K}，K 為分類數目，表示圖像中在(i'j)處的像素點歸于第k 類.由Hammersley-Clifford 定理可知，馬爾可夫隨機場可以等價描述為Gibbs分布.因此，Y的聯合概率分布（Gibbs分布）表示為：

其中，β為耦合系數，表示鄰域內相鄰像素的懲罰程度；s，r表示圖像中的任意兩個不相同的像素.

圖像中每個像素的分類只會受該像素的鄰域像素類別屬性影響，和其鄰域外的像素類別無關，即：

其中，ηij代表原圖像中位置為(i'j)的點yij的鄰域，ηij={t1，t2，…，tn}；n 表示yij的鄰域范圍包含的像素數量；tij代表yij所屬的類別.由式（6）～（8）可得：

最后得到MRF空間約束場公式為：

3 結合MRF的自適應加權FCM改進算法

基于像素局部密度信息判定該像素在其窗口鄰域內的離散型，從而確定每個像素在其窗口鄰域范圍內屬于離群點還是內部點，進而確定加權函數F，即當像素點t 在其窗口鄰域范圍內是一個孤立的噪聲點時，F(t)趨近于0；當像素點t是其鄰域內部的點時，F(t)趨近于1.

根據像素窗口鄰域密度的離群度進行局部離散點檢測［17］.窗口鄰域用于確定像素點的密度特征比較范圍.Nk-?(t)表示在窗口長度為ε 的情況下，與像素點t 的歐氏距離最近的k 個像素點的集合.根據像素t與其K-近鄰內像素點o之間的歐氏距離d(t'o)，可以得到其在ε窗口鄰域內的密度ρt，即：

其中，K代表離像素t距離最近的像素數目.

令D(t'o)為像素點t到ε窗口鄰域內像素點o的可到達距離，則：

對于像素點t來說，其ε窗口鄰域密度εk(t)反映了像素點t與整個ε窗口鄰域內其他像素點的歐式距離關系，可達密度越小，該點是離群點的可能性越大.

根據像素點t的窗口鄰域密度，定義其離群因子系數

由式（14）可知，如果像素點t的離群因子系數接近1，說明該像素點與窗口鄰域ε內像素點同屬一個類別.如果該像素點離群因子系數小于1，說明像素點t 的密度高于ε 內其他像素點密度，屬于ε 的密集點；反之，則t可能是異常點.

根據像素在窗口鄰域范圍內的離散因子判別系數來判斷當前像素的所屬類別.令F(t)為關于像素點t的離群因子判別系數，

F（t）越接近0，則該像素為奇異點可能性越大；F（t）越接近1，則該像素為區域內部點的可能性越大.

通過在均勻區域內增加MRF先驗概率的權值，實現噪聲平滑，在邊界離散附近，增加FCM隸屬度場的權重，可以最大程度地保留邊界細節.

在每次算法迭代過程中，首先計算每個像素的MRF 先驗概率和FCM 隸屬度矩陣，然后根據式（15）得到像素的加權函數F（t），最后確定像素的改進隸屬度值

4 實驗結果

4.1 實驗數據

采用明尼蘇達大學生物醫學功能成像與神經工程實驗室提供的58 層DTI 數據進行圖像分割實驗.該DTI 數據由德國西門子的3Tesla Trio 核磁共振儀采集，采集軸向為58 層的DTI 數據，體元大小為2 mm×2 mm×2 mm，回波時間TE=95 ms，重復時間TR=8.7 s.所采用的DTI數據集具有完備、清晰的人腦組織信息，是DTI 研究常用的數據集.

這里以腦組織區域較為明顯的第26 層DTI 圖像數據為例進行對比實驗結果分析.實驗中，對第26層圖像數據手動疊加噪聲干擾驗證算法的抗噪性，其中噪聲為高斯噪聲，其標準差為噪聲強度百分比與組織強度的乘積.圖1（a）～1（f）分別為疊加了0，3%，5%，10%，15%，20%噪聲級別的第26 層人腦DTI 圖像.實驗主機配置為2.60 GHz CPU，8 GB 內存的Intel（R）Core（TM）i7 處理器，Windows10 操作系統.在Matlab R2014a仿真平臺上進行編程實現.

為了定量地評價算法的聚類結果，采用分割系數Vc和分割熵Ve兩個評價指標：

4.2 實驗結果分析

為驗證本算法的分割效果，對圖1 所示的人腦第26 層DTI 圖像，分別使用傳統FCM、自適應灰度加權的穩健模糊C-均值圖像分割（AGWRFCM）［18］、FCM-MRF［19］以及本算法進行分割實驗對比.噪聲級別分別為0，20%時，人腦第26 層DTI 圖像的分割結果如圖2，3 所示.其中，圖2（a）～2（c）為FCM 算法分割未施加噪聲的DTI 數據的類別結果，圖2（d）～2（f）為FCM-MRF 算法分割未施加噪聲的DTI 數據的類別結果，圖2（g）～2（i）為AGWRFCM 算法分割未施加噪聲的DTI數據的類別結果，圖2（j）～2（l）為本算法分割未施加噪聲的DTI 數據的類別結果；圖3（a）～3（c）為FCM 算法分割添加了噪聲級別為20%的DTI 數據的類別結果，圖3（d）～3（f）為FCM-MRF 算法分割添加了噪聲級別為20%的DTI 數據的類別結果，圖3（g）～3（i）為AGWRFCM 算法分割添加了噪聲級別為20%的DTI 數據的類別結果，圖3（j）～3（l）為本算法分割添加了噪聲級別為20%的DTI數據的類別結果.

圖2 在噪聲級別為0時不同算法的DTI圖像分割結果

圖3 在噪聲級別為20%時不同算法的DTI圖像分割結果

由實驗結果來看，在DTI 圖像存在噪聲的情況下，FCM 算法的抗噪能力較差，分割結果出現了些許噪聲點；相比FCM 算法，FCM-MRF 算法抗噪能力較強，但是圖像的邊界和像素劃分不夠清晰，且胼胝體區域分割粗糙，存在許多雜質；AGWRFCM 算法抵抗噪聲干擾效果顯著，但在分割胼胝體部分時邊緣劃分不夠清晰，留有部分雜質.本文作者采用離散加權方式結合FCM與MRF算法，既較好地清除了噪聲的干擾，又較為準確地劃分了聚類，得到比較清晰的目標區域.

通過計算迭加了不同噪聲級別的第26層腦部DTI圖像的分割系數Vc和分割熵Ve，定量分析評價分割算法的效果，如表1，2所示.

表1 分割系數比較

表2 分割熵比較

由表1可知，本算法的分割系數高于其他3種分割算法，且在噪聲強度增強的情況下，也基本保持穩定；由表2 可知，本算法的分割熵略低于其他分割算法，且隨著噪聲強度增強，保持了較好的穩定性.由綜合評定指標及DTI圖像分割結果可知，本算法在分割精度方面優于FCM及其改進算法，并且具有較強的抗噪性能.

5 結 論

基于離群點類型提出一種自適應權值的FCM 和MRF 融合算法，并將其應用于DTI 圖像分割中.通過遍歷DTI圖像得到每一個像素的自適應權值，將加權函數用于調節隸屬度和MRF 空間約束場在改進隸屬度方程中的比例.對DTI圖像進行分割實驗，并對實驗結果進行了定量分析，結果表明，本算法改進了FCM 算法圖像抗噪性能差的缺點，在聚類劃分指標上均優于其他算法，且具有較強的抗噪性能，是一種切實可行的DTI圖像分割算法.