具有兩種不同阻尼模型的非黏滯阻尼系統(tǒng)的狀態(tài)空間方法

修國眾，時(shí) 寶，王麗英

（海軍航空大學(xué)航空基礎(chǔ)學(xué)院，山東煙臺(tái)264001）

0 引 言

黏性阻尼模型是最常用的振動(dòng)阻尼模型，因具有簡單性和便利性的特點(diǎn)，黏滯阻尼模型被廣泛應(yīng)用，即使真正的阻尼特性被認(rèn)為是非黏性的.耗散力依賴于瞬時(shí)廣義速度以外的任何量的阻尼模型稱為非黏滯阻尼模型，相應(yīng)的振子稱為非黏滯阻尼振子.在許多非黏滯阻尼模型中，卷積型非黏滯阻尼模型可能是線性分析范圍內(nèi)最一般的模型［1］.

考慮卷積型非黏滯阻尼模型是阻尼與質(zhì)點(diǎn)速度的歷史相關(guān)，假設(shè)阻尼可以表示為核函數(shù)與質(zhì)點(diǎn)的速度的卷積，即

其中，G(t)是核函數(shù)；x?(t)是質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)速度.

在文獻(xiàn)［2-4］中，作者提出許多卷積型非黏滯阻尼模型來精確描述黏彈性材料的耗散機(jī)理.阻尼模型有幾種物理上真實(shí)的數(shù)學(xué)形式，如Biot模型［5］在拉普拉斯域可表示為：

一些作者將流變學(xué)理論應(yīng)用于線性黏彈性模型，如廣義麥克斯韋模型［6］：

在許多阻尼模型中，指數(shù)阻尼模型［7］在物理上最有意義，也是應(yīng)用最為普遍的，在拉普拉斯域表示為：

在動(dòng)力設(shè)計(jì)中經(jīng)常會(huì)遇到具有兩個(gè)或兩個(gè)以上不同耗能水平的機(jī)械工程系統(tǒng)，因此這些阻尼系統(tǒng)往往涉及多個(gè)不同的阻尼模型.然而，在文獻(xiàn)［8-9］中，作者只討論單一的指數(shù)阻尼系統(tǒng)；ADHIKARI［10］提出了指數(shù)型阻尼線性系統(tǒng)的精確狀態(tài)空間方法；WAGNER 等［11］提出了一種基于運(yùn)動(dòng)方程擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)空間的表示方法，該方法除了利用位移和速度作為狀態(tài)向量外，還利用了一組內(nèi)部變量，本文作者在本研究中也使用了該方法；LI 等［12］提出了用有理多項(xiàng)式的分式（廣義阻尼模型）來描述多個(gè)阻尼模型的想法，試圖用統(tǒng)一的阻尼形式來表示不同的阻尼模型，為本文作者求解具有兩種不同阻尼模型的非黏滯阻尼系統(tǒng)提供了思路和方法.

本研究的目的是創(chuàng)建具有兩種不同的阻尼模型的非黏滯阻尼系統(tǒng)的狀態(tài)空間公式.在第一節(jié)中，將給出具有兩種不同阻尼模型的三自由度非黏滯阻尼系統(tǒng)的拉普拉斯域運(yùn)動(dòng)方程，根據(jù)最小實(shí)現(xiàn)理論，將兩種不同阻尼模型構(gòu)造為矩陣相乘的形式，通過使用Kronecker 積將系統(tǒng)方程寫成簡化形式；在第二節(jié)中，通過引入內(nèi)部變量變換，得到了時(shí)間域上的一階線性系統(tǒng).作為一個(gè)特殊例子，考慮了指數(shù)阻尼系統(tǒng)，得到了類似于文獻(xiàn)［11］的指數(shù)阻尼系統(tǒng)的狀態(tài)空間方法，驗(yàn)證了該方法的有效性.

1 具有兩種不同阻尼模型的非黏滯阻尼系統(tǒng)的一般形式

圖1為三自由度非黏滯阻尼系統(tǒng)的力學(xué)模型圖.該系統(tǒng)有3個(gè)質(zhì)量塊，每個(gè)質(zhì)量塊為m，并由剛度系數(shù)為k 的彈簧連接.系統(tǒng)的非穩(wěn)態(tài)阻尼模型由兩種不同的阻尼模型組成，如圖1 陰影部分所示.其中，G1(t)是Biot阻尼模型，G2(t)是指數(shù)阻尼模型.

圖1 具有兩種不同阻尼模型的三自由度系統(tǒng)

具有兩種阻尼模型的三自由度非黏滯阻尼系統(tǒng)的拉普拉斯域運(yùn)動(dòng)方程可以表示為：

其中，M(M ∈R3×3)和K(K ∈R3×3)分別是系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；C1'C2(C1'C2∈R3×3)是頻變阻尼系數(shù)矩陣；G1(s)，G2(s)是頻變阻尼函數(shù)；F(s)是外力向量；X(s)表示響應(yīng)向量.假設(shè)：

不大于分母的階數(shù)qk，即pk≤qk，并且qk≥1，則根據(jù)最小實(shí)現(xiàn)理論，有理多項(xiàng)式可以表示為：

其中，矩陣Ak'Bk∈Rqk×qk；向量vk'uk∈Rqk×1.一般假設(shè)分母最高次階項(xiàng)的系數(shù)為1，即dqk=1，則可將上述矩陣和向量構(gòu)建為：

假設(shè)系統(tǒng)的兩種阻尼模型：一種是兩個(gè)系列的Biot阻尼模型；一種是兩個(gè)系列的指數(shù)阻尼模型.將這兩種不同的阻尼模型根據(jù)引理可表示為有理多項(xiàng)式的形式：

因?yàn)榉肿雍头帜笡]有公因子，則可以根據(jù)引理寫成形式：

其中，矩陣A1'B1∈R2×2，A2'B2∈R2×2；向量v1'u1∈R2×1，v2'u2∈R2×1.矩陣和向量可表示為：

通常，阻尼材料只是整個(gè)系統(tǒng)的小部分，這意味著頻變阻尼系數(shù)矩陣C1，C2∈?3×3不是一個(gè)全秩矩陣.假設(shè)矩陣Ck的秩是rk，則有：

因此，系數(shù)矩陣Ck可分解為：

由上述假設(shè)，則有：

其中，Irk表示秩為rk的單位矩陣.

定義Kronecker 積是兩個(gè)矩陣間的運(yùn)算.Kronecker 積是張量積的特殊形式，以德國數(shù)學(xué)家利奧波德克羅內(nèi)克命名，用符號(hào)?表示.假定A 是一個(gè)m×n 的矩陣，B 是一個(gè)p×q 的矩陣，Kronecker 積A?B則是一個(gè)mp×nq的分塊矩陣：

由Kronecker積定義，可以將式（13）替換為：

令：

可得：

則式（13）可以簡化為：

將式（19）代入式（5），則式（5）可以簡化為：

2 具有兩種不同阻尼模型的三自由度非黏滯阻尼系統(tǒng)的狀態(tài)空間方法

為了建立該系統(tǒng)的狀態(tài)空間公式，引入內(nèi)部變量：

式（21）兩邊同乘以(A-sB)-1，可得：

為了獲得內(nèi)變量的時(shí)變行為，通過拉普拉斯逆變換得以下形式：

其中，x(t)=?-1[X(s)]，y(t)=?-1[Y(s)].將式（21）代入式（20），再利用拉普拉斯逆變換，得到一個(gè)增廣耦合系統(tǒng)：

假設(shè)質(zhì)量矩陣M是非奇異的，引入黏滯阻尼系統(tǒng)的常用狀態(tài)向量：

由式（23）～（25）可以構(gòu)建線性系統(tǒng)：

假設(shè)矩陣A是非奇異的，則式（23）可化為：

將式（27）代入式（24），則得：

由式（25），（27）和（28）可構(gòu)建線性系統(tǒng)：

定理具有兩種不同阻尼模型的三自由度非黏滯阻尼系統(tǒng)的拉普拉斯域運(yùn)動(dòng)方程為

系統(tǒng)的兩種阻尼模型，一種是Biot 阻尼模型如式（7），另一種是指數(shù)阻尼模型如式（8），則可得到該系統(tǒng)時(shí)間域上的狀態(tài)空間公式如式（29），并且

由這些系統(tǒng)矩陣，用模態(tài)疊加法可得到系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng).

為了驗(yàn)證該方法的有效性，假設(shè)系統(tǒng)只有指數(shù)阻尼模型，Biot阻尼模型為0，則指數(shù)阻尼系統(tǒng)的拉普拉斯域運(yùn)動(dòng)方程可以表示為：

根據(jù)引理，指數(shù)阻尼模型可表示為：

由定理可得系統(tǒng)矩陣：

這一結(jié)論類似于文獻(xiàn)［11］指數(shù)阻尼系統(tǒng)的狀態(tài)空間方法.如果式（32）的系統(tǒng)矩陣是對(duì)稱的，可得Lk=Rk，則系統(tǒng)（33）也是對(duì)稱線性的.

3 結(jié) 論

在動(dòng)力設(shè)計(jì)中，經(jīng)常遇到兩個(gè)或兩個(gè)以上耗能水平顯著不同的機(jī)械工程系統(tǒng)，這些系統(tǒng)往往涉及多種阻尼模型.本文作者對(duì)具有兩種不同阻尼模型的三自由度非黏滯阻尼系統(tǒng)進(jìn)行分析，運(yùn)用Kronecker積將拉普拉斯域的系統(tǒng)方程化簡為一般系統(tǒng)的形式，再引入內(nèi)部變量變換創(chuàng)建了一種基于常狀態(tài)向量的非黏滯阻尼系統(tǒng)狀態(tài)空間公式.并以指數(shù)阻尼系統(tǒng)為例，驗(yàn)證了狀態(tài)空間公式的有效性.狀態(tài)空間公式可以簡化為常見的黏滯阻尼系統(tǒng)和指數(shù)阻尼系統(tǒng)的形式，這種拓展的狀態(tài)空間公式可應(yīng)用于具有多種阻尼模型的非黏滯阻尼系統(tǒng)的分析.