基于余弦相似度(CS)和最小生成樹(MST)的基金市場復雜網絡研究

閆新國 謝赤 朱玉國 楊敏佳

摘?要：以中國基金市場中123家基金公司持有的投資組合為樣本，綜合運用余弦相似度（CS）和最小生成樹（MST）方法，考量基金市場復雜網絡。結果顯示：各家基金公司持有股票組合的相似程度比持有債券組合的相似程度更高，表明他們持有的債券組合較之股票組合更加多元化，基金公司持有的股票相對集中于市值大、成長性高的公司。同時，全部資產投資組合、股票投資組合和債券投資組合等三類基金MST網絡的節點度均服從冪律分布，表明大多數基金公司以少數強影響力基金公司為中心聚集起來，彼此之間具有較強的業務關聯。此種網絡結構特征可能導致市場風險向基金聚集團體集中，其抵御系統性風險的能力偏弱，也不利于滿足投資者的理財多元化需求。

關鍵詞：?基金市場;復雜網絡;最小生成樹;余弦相似度

中圖分類號：F832.5;O231.5?文獻標識碼：?A文章編號：1003-7217（2020）02-0055-07

一、引?言

隨著中國金融市場的不斷發展，基金業務規模快速擴張，基金市場目前已經成為金融市場的重要組成部分，基金公司在市場中投資主體的地位逐步凸顯。截至2018年底，基金市場存續的各類基金達到5382只，總規模突破13萬億元。

隨著基金業務的擴張，越來越多的基金公司通過資產相互持有，或者共同持有等方式更加緊密地聯系在一起。同時，基金本身又作為通道業務和投資渠道被其它機構和個體投資者共同持有。于是，金融市場的各個主體環環相連，構成一個復雜的金融市場網絡。美國次貸危機以后，業界與學界提出：金融市場不僅“太大而不能倒”（too?big?to?fail），而且“聯系太緊密而不能倒”（too?interconnected?to?fail）[1，?2]。由于體量巨大，那些“太大而不能倒”的銀行、保險、證券等金融機構在市場中發揮著關鍵作用，成為不能“垮掉”的重要主體。不僅如此，一些具有復雜資金往來和大量業務關聯的金融機構在市場網絡中扮演著“關鍵節點”（或稱“系統性重要機構”）的角色。當單個此類機構出現風險事件或受到負面沖擊時，極有可能將危機在整個市場中擴散，引爆更大范圍的市場動蕩。

日趨復雜的金融市場關聯結構，給金融監管當局防范系統性風險、維護穩健運行，提出了更嚴峻的挑戰，也給市場各類主體的風險管理能力提出了更高的要求。囿于傳統金融工程方法在解決金融系統復雜關聯性問題上的不足，近年來，越來越多的學者開始利用復雜網絡方法來探討金融市場復雜性及風險防控問題[3]。

二、文獻綜述與研究思路

金融市場復雜網絡中的節點對應金融系統中的參與主體，而節點之間的連邊則代表主體之間的相互作用與聯系[4，5]。常用的復雜網絡構建算法包括最小生成樹法（Minimum?Spanning?Tree，?MST）、平面最大限度濾波圖法（Planar?Maximally?Filtered?Graph，?PMFG）、閾值法（Threshold?Method，?TM）、向量自回歸法（Vector?Autoregression，?VAR）等。1999年，Mantegna提出采用最小生成樹（MST）法構建金融市場復雜網絡，并尋找最優的投資組合策略[6]。隨后MST方法被廣泛應用于金融市場的網絡結構、拓撲性質、風險管理等方面的研究。例如，Ortega和Matesanz發現，國際外匯市場

MST網絡具有明顯的地域相似性，可依此對國際外匯網絡進行劃分[7]。Naylor、Rose和Moyle等使用美元和新西蘭幣作為基準貨幣構建外匯市場MST網絡，證實亞洲國家的貨幣在東南亞金融危機爆發后呈現出強有力的聚集特征[8]。同時，Bonanno、Vandewalle和Mantegna等運用全球51個證券市場數據開展研究發現，全球證券市場存在基于地理位置的團簇聚集現象[9]。Zhuang、Hu和Ye運用滬深300指數成分股數據構建中國股票市場MST網絡，并對金融市場復雜網絡結構的物理相關和市場中交易股票的經濟學分類進行了解釋[10]。Brida、Matesanz和Seijas研究表明，金融危機時期的歐元區證券市場網絡變得更加緊密[11]。

金融市場復雜網絡中個體（機構）之間的關聯一般可以通過資產價格時間序列之間的相關性，或者金融機構之間實際發生的業務關聯來加以量化。Pearson相關系數（Pearson?Correlation?Coefficient，?PCC）是最常用的計算資產價格之間相關系數的方法，將PCC轉化為歐氏距離后通過相關算法就可以得到金融市場的復雜網絡。Gan和Djauhari為克服PCC只能使用收盤價格的缺陷，提出用向量相關系數替代PCC構建金融市場MST網絡[12]。Lyócsa、Vyrost和Baumhl提出運用動態條件相關（Dynamic?Conditional?Correlations，?DCC）方法構建金融市場MST網絡，發現DCC方法可以更好地反映金融市場的動態變化[13]。為構建有向、加權金融市場網絡，更加科學地描述金融市場中波動傳遞的方向和程度，一些學者采用Granger因果檢驗方法[14-16]。Tu通過閾值法（TM）和平面最大限度濾波圖法（PMFG）法對Granger因果檢驗的p值進行過濾，得到有向、加權、非對稱的金融市場因果網絡，并對該網絡的度中心性、聚集系數、K-核等特征進行分析[17]。Song等建立韓國金融系統時變因果網絡，通過研究發現因果網絡中的關聯受到金融事件的影響，網絡具有無標度特征，其出度服從冪律分布特征[18]。

運用機構之間的業務關聯構建金融市場復雜網絡的相關研究主要集中在商業銀行領域。Boss等提出，將銀行同業拆借市場看作一個復雜網絡，每個節點代表一家銀行，每一條連邊代表銀行之間的借貸關系，發現銀行同業拆借市場網絡的節點度服從冪律分布[19]。Boss、Summer和Thurner進而探討拆借市場網絡的特征對金融風險傳染的影響，證實銀行的介數（Betweenness）與風險傳染能力存在正相關關系[20]。Kanno提出運用修正的SIR（Susceptible?Infected?Removable）模型來考察系統性風險[21]。Bluhm和Krahnen以銀行的資產負債表為基礎建立網絡，并結合SVaR（System-wide?Value?at?Risk）模型對銀行的系統性風險暴露進行分析，提出金融風險管理的建議[22]。歐陽紅兵、劉曉東通過復雜網絡方法構建和分析金融市場網絡，認為MST方法可以直觀而全面地發現和識別系統性風險的傳導機理，從而為宏觀審慎監管提供直觀有效的手段[23]。

近年來，以復雜網絡方法為工具，在金融市場系統性研究與風險管理方面涌現出大量成果。但是，現有文獻在選擇實證對象時多以市場為劃分標準，主要集中在外匯市場、貨幣市場、證券市場等。對于基金公司在金融市場中作用涉及較少，其中一個重要的限制因素就是國內大多數基金公司沒有上市，無法將其納入復雜網絡中，不能充分發揮復雜網絡方法在分析金融市場復雜性方面的優勢。同時，運用基金公司股票價格時間序列計算他們之間的相關性并不能真實反映其業務關聯，難以刻畫金融風險的真實傳播路徑。為克服以上兩點不足，最大限度地保留基金市場復雜系統的完整性，并且準確描述基金公司之間的真實關聯，提出以基金公司持有資產的組合為樣本，運用基金公司之間投資組合的余弦相似度（Cosine?Similarity，?CS）來計算基金公司之間的相關性，從機構資產持倉角度探討中國基金公司之間的復雜關系。余弦相似度是一種較為簡便的聚類算法，多用于文本空間索引、語義相似度計算等方面，如運用以余弦相似度為基礎的聚類算法對文本信息空間進行檢索[24]。余弦相似度也越來越多地被應用于金融研究領域中，如基于余弦相似度改進的時間相似性度量方法預測股票價格趨勢等[25，26]。構建金融市場復雜網絡的方法中，MST方法應用最為廣泛。常用算法包括Kruskal算法和Prim算法，基本思想是從包含N（N-1）/2條連邊的網絡中濾出N-1條連邊（N為網絡中節點的數量），得到一個總距離最小的網絡。MST方法能夠有效地過濾網絡中的噪聲，保留網絡中最有效的信息。因此，本文采用MST方法構建基金公司復雜網絡。

三、研究方法與數據處理

（一）余弦相似度

兩個n維樣本點X（x11，?x12，?…，?x1n）和Y（y21，?y22，?…，?y2n）的夾角余弦定義為：

cos?（θ）=∑ni=1（xi×yi）∑ni=1（x）2×∑ni=1（y）2?????????????????（1）

夾角余弦的取值范圍為[-1，?1]。當兩個向量的方向重合時夾角余弦取最大值1，當兩個向量的方向完全相反時夾角余弦取最小值-1。夾角余弦值越大，表示兩個向量的相似度越高;夾角余弦值越小，表示兩個向量的相似度越低。在本文的實證研究中，X和Y表示不同的基金公司，（x11，?x12，?…，?x1n）和（y21，?y22，?…，?y2n）分別表示X和Y所投資的資產種類及其在基金中所占的權重。當兩個投資組合完全相反時，即在存在賣空機制的條件下，X和Y持有相同組合及權重，其中一個買入，一個賣空，此種情況下X和Y的相似度為-1;當X與Y的投資組合完全不相同時，X與Y的相似度為0;當X與Y的投資組合及權重完全相同時，X與Y的相似度為1。

（二）最小生成樹（MST）

在圖論中，連通且無回路的無向的圖稱為樹。最小生成樹就是圖的連邊權重總和最小的樹。通過MST方法構建金融市場網絡需要完成以下步驟：

（1）?計算節點之間的相關系數ρij，并得到一個N×N（N表示節點個數）的相關系數矩陣C。

（2）?計算節點之間的距離：

dij=2（1-ρij）?????????????????（2）

便可得到相應的距離矩陣D。

（3）?通過相應的算法，獲得金融市場的MST。本文構建的所有MST均由Kruskal算法生成。

（三）冪律分布

網絡節點的度分布表示從網絡中隨機抽取到度為k的節點的概率P（k）。冪律分布可以用以下公式表示：

P（k）∝k-α????????????????????（3）

冪指數在2<α<3的取值范圍內時，絕大多數的節點的度都很低，只有少部分節點的度很高。僅在很少的情況下才會出現所有的k都遵守冪律分布，通常只有在k大于一些最小的kmin的時候才會遵守冪律分布。在一些特定條件下，使用冪律分布的累積分布形式對數據進行統計會更加有效。該累積分布可以表示為：

P（K≥k）=kkmin?-α+1，k≥kmin????????????????（4）

其中，P（K≥k）是節點的度大于k的概率，α是冪律分布的冪指數。通過K-S統計法可以計算出樣本服從冪律分布的可能性p值。p值接近1，說明樣本服從冪律分布的可能性很大;相反，p值接近0，說明樣本服從冪律分布的可能性很低。

（四）數據來源及處理

基金公司及其管理的基金根據監管要求，會定期公布季報和年報。相對季報，年報披露數據更加全面。因此，為最大限度地構建完整的基金市場復雜網絡，本文選取中國基金公司2018年報數據中資產組合持有的全部股票和債券品種數據作為樣本。截至2018年，基金市場共有142家基金公司，由于部分公司是當年新增的，或還沒有開展基金管理工作，暫無數據可以提供，因此剔除這部分樣本，最終保留123家基金公司。全部數據均來源于Wind數據庫。

四、實證研究

（一）余弦相似度計算

由于中國的公募基金一般不使用做空方式獲得投資收益，因此本文研究樣本包含的123家基金公司間的余弦相似度均不小于0，統計結果如表1。

從表1的結果可以觀察到，基金公司持有資產組合的余弦相似度分布不服從正態分布。其中，股票投資組合的余弦相似度平均值為0.2185，最大值為0.8953;持有債券投資組合的平均余弦相似度為0.0632，最大值為0.5617;全部投資組合的平均余弦相似度為0.0912，最大值為0.6772。通過對比可以發現，基金公司對于股票的投資相似度較高，投資風格更加相近。對于債券的投資，不同基金公司之間的相似度相對較低，投資差異性更大。基金公司全部投資組合的相似度統計結果與債券組合的統計結果更相近，表明債券投資在基金的資產配置中較股票的作用更大。

從余弦相似度的分布也可以看出（如圖1所示），基金公司之間持有所有資產的余弦相似度與持有債券的相似度更相似，這兩種情況下的余弦相似度值主要分布在0～0.3區間內。持有股票投資組合的余弦相似度在0.24附近出現分布的最大值。股票組合和債券組合的余弦相似度分布存在明顯的差異，股票組合余弦相似度較多分布在0.1～0.4之間，債券組合的余弦相似度總體相對較低，并隨著相似度的增加分布逐漸遞減。這主要是由于相對于股票而言，債券的投資風險較低，獲利方式以到期利息為主，基金公司有足夠的投資選擇空間來實現預期收益，同時債券的流通范圍較小，持有機構數量沒有股票多，因此基金公司對于債券的投資相對分散化。股票價格差是股票投資主要的獲利方式，基金公司持股一般集中在市值規模大、營收能力強、成長性好的公司，從而造成在股票市場的投資相對集中的現象。

（二）基金MST網絡的構建與結構分析

圖2、圖3和圖4分別為基金公司間全部投資組合、股票組合和債券組合的最小生成樹（MST）網絡。每個MST網絡中包含123個節點和122條連邊，節點代表基金公司，連邊代表基金公司間投資組合的余弦相似度。可以看出，位于網絡中心的少數基金公司具有非常大的節點度（節點度表示與某一個基金公司相聯接的其它基金公司的數量），而大量的處在網絡邊緣的基金公司只擁有較小的節點度。

如表2所示，全部組合、股票組合、債券組合的基金MST網絡的中心節點各不相同。代表全部資產組合的基金MST網絡中，華泰博瑞（k=18）具有最大的節點度，隨后兩位依次為易方達（k=9）和長盛基金（k=9）。代表股票組合的基金MST網絡中，平安基金（k=27）、華夏基金（k=8）、華潤元大（k=7）、南方基金（k=7）是最具影響力的4家公司。在基金債券組合的MST網絡中，長盛基金（k=12）、泰信基金（k=7）和諾安基金（k=6）是最重要的三家公司。

從以上統計結果可以發現，基金公司投資風格相似度具有較強的聚集特征，即數量眾多的基金公司聚集在少量的中心節點基金公司的周圍，只有少數中心節點基金的節點度較大。以“重要性機構或公司”為中心聚集在一起的基金公司之間投資組合具有較高的余弦相似度，這些公司推出的基金或者理財計劃的底層資產配置相似程度較高，具有較強的相互替代性。對于基金市場而言，過度相似的資產配置會集中市場風險，一旦出現風險事件，就會造成大范圍的風險溢出。對于投資者而言，持有投資風格過于相近的基金很難達到分散風險的目的，將加大理財難度。

（三）基金公司MST網絡節點度分布

為考察基金MST網絡的節點度分布情況，本文按照公式（4）進行計算，結果如圖5、圖6和圖7所示。全部組合、股票組合和債券組合的基金MST網絡的K-S統計的p值分別為0.88、0.92和0.10，說明全部接受MST網絡的節點度服從冪律分布的假設，冪指數分別為3.03、2.87和2.84。以上結果表明，基金MST網絡中節點度分布是十分不均勻的，少數公司節點度非常大，對市場具有強大的影響力;而絕大多數公司的節點度相當小，只有少量的鄰接節點。對比3個MST網絡的冪指數可以發現，債券組合MST網絡的冪指數小于股票組合MST網絡的冪指數。這是由于基金公司對股票的投資相對集中，導致他們之間的股票組合余弦相似度相對較高。基金公司全部資產組合的MST網絡冪指數最大，是由于該網絡包含的統計信息最為豐富，充分挖掘了投資組合之間的相關性信息。

基金公司節點度服從冪率分布，表明大量基金公司的投資組合之間的相似度較高，他們的投資風格具有強烈的“同質化”特征。一方面是由于中國基金市場相對還不夠成熟，基金公司業務開展相對較晚，業務覆蓋范圍相對較窄。他們更加關注熱門行業與熱門板塊，對那些具有長期增長潛力的企業挖掘不足，還沒有形成足夠差異化的產品體系。另一方面，雖然中國經濟改革開放40年培育了大批的優秀企業，但是相對于龐大的資本市場供給側，基金公司可選擇投資范圍仍然有限。由于資本逐利，風險小、收益高的投資項目受到各方資金的追捧，從而增加了各家基金公司之間的業務相關性。

五、結?論

本文將中國基金市場看作一個復雜系統，從復雜網絡的視角研究了中國基金公司之間的關聯。首先運用MST方法對其進行建模，從而得到了基金公司復雜網絡，然后進一步討論了基金復雜網絡的結構特征。實證結果表明：一方面基金公司持有股票與持有債券的相似程度分布具有一定的差別。持有債券較股票更加多元化，相似度主要分布在0～0.3區間內，并且隨著相似度的增大，分布概率逐漸遞減。對股票的投資相對集中，相似度主要分布在0.1～0.4之間，且在0.24附近出現最大值。另一方面代表全部資產組合、股票組合和債券組合的MST網絡節點度分布是非常不均勻的，網絡節點服從冪率分布。表明大量基金公司以影響力最強的基金公司為中心，聚集形成中心團體。普通基金公司缺乏足夠影響力，只能圍繞在中心公司的周圍或者分布在網絡的邊緣。基金公司過度相似的資產配置會集中市場風險，難以抵御風險的傳染，同時也不利于市場多元化，不能滿足不同投資者的需求。

基金公司關聯的冪率關系導致市場風險主要集中在重要公司之間，一旦這些機構發生風險事件，對整個市場將產生較大的影響。對于金融監管而言，可以通過運用本文提供的量化方法，重點監測市場中的重要基金公司，適時對其業務進行指導，減小他們對市場的影響，預防、化解潛在的風險。對于市場的參與主體，如銀行資管、券商、保險等基金類金融產品的重要機構買方，在產品準入過程中不僅要嚴格限制單一基金公司及其產品的最大投資比例，也應該考慮不同基金公司之間的業務相關性。對于有較大相關性的基金公司和基金，應該嚴格設置共同投資上限，保證整體風險不超出監管要求。

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（責任編輯：鐘?瑤）

The?Study?of?Fund?Market?Complex?Network?Based?on

Cosine?Similarity?and?MST?Method

YAN?Xinguo1，2，?XIE?Chi1，?ZHU?Yuguo2，?YANG?Minjia2

（1.?Business?School，Hunan?University，Changsha?410082，?China;

2.Bank?of?Changsha，Changsha?410023，China）

Abstract：In?this?paper，?we?construct?the?complex?network?of?fund?companies?by?using?cosine?similarity?and?minimum?spanning?tree?（MST）.?We?choose?the?portfolio?data?of?123?fund?companies?as?dataset.?Through?the?empirical?analysis?we?find?that?the?portfolio?of?stocks?is?more?similarity?than?portfolios?of?bonds?held?by?fund?companies，?which?implies?that?fund?companies?have?a?diversified?portfolio?of?bonds?and?the?portfolios?are?less?similar?to?each?other.?The?fund?companies?hold?the?stocks?of?the?companies?which?have?large?market?value?and?good?potential?for?growth.?The?nodes'?degree?of?MSTs?of?all?asset?portfolios，?stock?portfolios，?and?bond?portfolios?obey?power?law?distribution，?which?implies?that?a?few?fund?companies?with?strong?influence?are?centralized?by?a?large?number?of?fund?companies?forming?a?central?group.?Such?network?structure?may?contribute?market?risks?and?reduce?the?ability?of?financial?markets?to?resist?systemic?risk，?which?is?not?conducive?to?meeting?diversified?financial?needs?of?investors.

Key?words：fund?market;?complex?network;?minimum?spanning?tree;?cosine?similarity