豎向非均質飽和地基中埋置扭轉荷載的動力響應

鄒新軍 賀瓊 覃玉蘭

摘 ? 要：為探討豎向非均質飽和地基中埋置簡諧扭轉荷載的動力響應，考慮地基為飽和半空間，并假定土體剪切模量隨深度呈指數函數非線性分布，基于Biot固結理論與彈性動力學原理，建立飽和地基扭轉振動的動力微分方程，引入邊界條件并利用Hankel變換方法求解獲得變換域內的剪應力、切向位移表達式，進而通過Hankel逆變換求得飽和地基內部的剪應力、切向位移解答，據此基于Mathematica編制出相應計算程序，并通過參數分析發現：地基土剪應力、切向位移沿徑向呈現出明顯的波動規律，曲線波動頻率隨荷載頻率增大而增大;荷載作用面土體切向位移最大，剪應力發生突變，主要影響范圍是荷載作用面上、下各兩倍荷載作用半徑（2a）區域;土體最大切向位移隨荷載埋深h增大而減小，h = 2a時最大切向位移下降90%，h > 4a時，最大切向位移近似為零.

關鍵詞：飽和地基;埋置扭轉荷載;動力響應;剪切模量;Hankel變換

中圖分類號：TU471.4 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?文獻標志碼：A

Dynamic Response of Buried Torsional Load in Vertically

Non-Homogeneous Saturated Soil

ZOU Xinjun？覮，HE Qiong，QIN Yulan

（College of Civil Engineering，Hunan University，Changsha 410082，China）

Abstract：To discuss the dynamic response of buried harmonic torsional load in vertically non-homogeneous saturated soil，the soil shear modulus was assumed as a nonlinear distribution with the depth defined as an exponential function，and the dynamic differential equations of half space were established by using the Biot's consolidation theory and elastic-dynamic theory. The expressions of stress and tangential displacement in the Hankel transform domain were then acquired by solving the dynamic differential equations using the method of Hankel transform，and the true stress and tangential displacement can be obtained by Hankel inverse transformation as well. The corresponding calculation program by Mathematica was compiled based on the obtained solutions. A detailed parameter analysis completed by the program indicates that，the stress and tangential displacement of the soil show obvious fluctuations with the change of radius，and the frequency of fluctuant curves increases with the loading frequency. In addition，the maximum tangential displacement of soil occurs and there is a sharp change of stress on the loading surface. The influence range of the buried harmonic torsional load is about two times the action radius to the loading surface. Furthermore，the largest tangential displacement of the soil is negatively correlated with the depth of buried load，and it is reduced by 90% when the depth of buried load is 2 times the action radius. When the depth of buried load is greater than 4 times the action radius，the largest tangential displacement is approximately equal to zero.

Key words：saturated soil;buried torsional load;dynamic response;shear modulus;Hankel transform

彈性半空間的動力響應問題在巖土工程中具有舉足輕重的地位，該問題在土-結構物的動力相互作用、地震工程、基礎振動等領域均引起了國內外學者的關注.隨著我國經濟發展，近海工程建設如火如荼，如跨海大橋、海上風力發電機以及海上平臺等，這些結構物受力較復雜，不僅要承受自然環境產生的風力、波浪力以及地震荷載，還要承受使用過程中的運轉荷載，其不可避免地會受到扭轉荷載的影響. 同時，實際工程中基礎大多具有一定埋深，基礎承受扭轉動荷載時，周圍土體亦會承受基礎所傳遞的埋置扭轉動荷載，因此研究彈性半空間中埋置扭轉荷載的動力響應問題，有助于進一步掌握地基基礎的承載變形特性.

Lamb[1]最先對彈性半空間的動力學問題進行研究，其分別考慮了半空間表面作用和內部埋置的法向線荷載與點荷載等四種典型荷載. Chao[2]研究了彈性半空間表面受水平、豎向荷載時的動力響應問題.王貽蓀[3]研究了豎向集中簡諧荷載作用于彈性半空間表面的問題，采用拉普拉斯變換方法獲得了特定條件下半空間表面位移的精確解. Reissner和Sagoci[4]首次研究了彈性半空間表面基礎受扭轉荷載作用下的響應問題. Rahman[5]在Reissner的理論基礎上進一步對彈性半空間內部埋置剛性板的扭轉振動問題進行了研究. 自Biot[6] 提出飽和多孔介質波的傳播理論，并推導出土體的多維固結方程以來，不少學者開始在此理論基礎上研究飽和半空間的動力學問題. Philippacopoulos[7]考慮多孔彈性半空間中埋置點源荷載，利用傅立葉變換與漢克爾變換方法求解地基土的位移. 陳勝立等[8]對飽和地基中埋置簡諧豎向集中荷載下的動力響應問題進行研究，分析了飽和地基土表面豎向位移的變化規律. Chen等[9]研究飽和地基中埋置任意荷載的三維動力響應問題，求解了彈性半空間中的應力、位移分量. 張智卿等[10]研究了均質非飽和滯回阻尼土層中彈性支撐樁的扭轉振動. 陳剛等[11]對半空間飽和土體中埋置扭轉簡諧荷載的穩態響應問題進行研究，分析了土體參數對響應的影響規律.

以上研究均視地基為各向同性彈性半空間，但實際上地基土在沉積過程中會受到各個方向有效應力的影響，具有一定的各向異性，主要有徑向非均質性和豎向非均質性兩種情況. Naggar[12]研究了徑向非均勻地基中土體的豎向、扭轉動力響應. Zhang等[13]考慮地基土的徑向非均勻性（將樁周土沿徑向分為n圈層，每個圈層為剪切模量不同的均質各向同性彈性體），研究彈性半空間中單樁的扭轉振動響應問題. Awojobi等[14]考慮彈性半空間的豎向非均質性，假定土體剪切模量隨深度線性變化，對半空間的平面應變與軸對稱問題進行了研究. 鄒新軍等[15]基于樁側土雙折線模型，探討了地基土分層時單樁的受扭性狀. 王國才等[16]對層狀地基中單樁的扭轉振動問題進行研究，采用積分變換及Muki 虛擬樁的方法求解并分析了樁土參數對動力響應的影響. Wroth[17]等認為土壤沉積時的地質環境和荷載歷史隨著時間而發生變化，故假定土體剪切模量隨深度呈非線性分布更符合實際. Rajapakse[18]假定土體剪切模量隨深度分別呈冪函數與指數函數非線性分布，采用經典變分定理的方法來分析荷載傳遞問題. 鄒新軍等[19]考慮地基土的剪切模量隨深度非線性分布，對單樁靜力受扭問題進行了彈塑性分析，但相應的動力扭轉分析仍屬鮮見.

天然地基土通常在豎向呈現非均勻性，其剪切模量、滲透系數及孔隙率等均隨深度發生變化，為簡化問題，本文主要考慮剪切模量隨深度的非線性變化，即假定地基土的剪切模量隨深度呈指數函數非線性分布，基于Biot固結理論與彈性動力學原理，建立飽和地基土中作用簡諧扭轉荷載下的動力微分方程，引入邊界條件并利用Hankel變換與逆變換求解獲得飽和地基土中的剪應力與切向位移解答，據此基于Mathematica編制出相應的計算程序，進一步進行參數分析并討論土體參數對地基土中埋置簡諧扭轉荷載動力響應的影響規律.

1 ? 基本扭轉動力微分方程的建立

彈性半空間中埋置簡諧扭轉荷載問題可在柱坐標系下建立簡化分析計算模型，如圖1所示，其中：彈性半空間地基內部z = h處作用埋置簡諧扭矩T0eiωt （ω為頻率，i = （-1）1/2），荷載作用范圍是半徑為a的圓形區域.

許多學者在研究扭轉問題時，為進一步簡化問題均做出一定假定，如張智卿[10]、Naggar[12]、Rajapakse[18]等，為建立問題的基本方程，本文參照已有文獻特做出如下假定：

3） 地基土的扭轉振動為小變形，只考慮土骨架切向位移uθ（r，z，t）eiωt和孔隙水相對于土骨架的切向位移wθ（r，z，t）eiωt，為書寫方便下文省略簡諧因子eiωt.

4） 假定簡諧扭轉荷載作用范圍內，扭轉剪應力F（r）與半徑成正比例關系，則荷載作用面處扭轉剪應力分布函數為：

2 ? 基本扭轉動力微分方程的求解

為求解剪切模量呈指數函數非線性分布的地基土扭轉動力響應，將剪切模量分布式（1）代入飽和地基土的基本扭轉動力微分方程式（9）中并化簡：

3 ? 邊界條件與待定系數求解

為了求解所得解答式（16）與式（17）中的待定系數A、B，首先需要確定相應的邊界條件. 由圖1所示彈性半空間中埋置簡諧扭轉荷載的簡化計算分析模型可知，荷載作用面將半空間分為區域（1）與區域（2）兩部分，根據基本扭轉動力微分方程的解式（16）以及土體的剪應力分布式（17）可得區域（1）、（2）的切向位移、剪應力表達式分別為：

將待定系數表達式（24）代入到飽和地基土的切向位移式（18）與剪應力式（19）中可獲得Hankel變化域內的剪應力、切向位移解答，并將該解答進行Hanke逆變換即可得到飽和地基土的應力位移.

根據上述獲得的地基土應力位移解答，采用Mathematica編制出Hankel逆變換的數值積分程序，用以計算埋置簡諧扭轉荷載作用下豎向非均質飽和地基中的最終剪應力與切向位移.

4 ? 結果驗證與參數分析

4.1 ? 結果驗證

為驗證本文推導結果的正確性，令α→0，則土體剪切模量Gs不隨深度z變化，此時問題退化為均質飽和半空間中埋置扭轉荷載作用的動力響應問題，與陳剛等[11]的理論解進行對比（如圖2），計算參數為：地表處剪切模量μ = 9.4 × 106 Pa，孔隙率n = 0.4，土顆粒密度ρs = 2 650 kg/m3，水的密度ρw = 1 000 kg/m3，土體動力滲透系數kd = 10-7 m/s，扭轉荷載頻率f = 1、埋深 h = 8，計算深度 z = 8.8.

從圖2可看出，本文退化結果與已有理論解吻合較好，從而驗證了本文解的正確性.

4.2 ? 參數分析

為了分析影響飽和地基扭轉動力響應的主要參數及其規律，下面分別探討簡諧扭轉荷載的頻率與埋深、土體剪切模量非均勻系數及地基土的動力滲透系數等參數對地基扭轉動力響應的影響.

以飽和黏性土地基為例[11]，其物理力學參數為：地表處剪切模量μ = 9.4 × 106 Pa，孔隙率n = 0.4，土顆粒密度ρs = 2 650 kg/m3，水的密度ρw = 1 000 kg/m3. 算例中計算得到的應力、位移皆取幅值并除以k即

4.2.1 ? 簡諧扭轉荷載無量綱頻率 f的影響

為探討簡諧扭轉荷載無量綱頻率f的影響，分別取f為1.00、1.25、1.50、1.75、2.00、2.25、2.50及2.75，荷載作用半徑a = 1 m，埋深 h = 1，土體剪切模量非均勻系數α = 1，土體動力滲透系數kd = 10-7 m/s，根據編制的計算程序分別計算深度z1 = 0.5與 z2 = 1.5處土體的剪應力以及切向位移，獲得如圖3、圖4所示的土體切向位移、剪應力隨無量綱半徑的變化曲線.

由圖3、圖4可看出：飽和地基土的剪應力與切向位移沿徑向呈現出明顯的波動變化規律，隨著簡諧扭轉荷載無量綱頻率f的增大，曲線波動頻率逐漸增大.地基土的切向位移幅值隨荷載頻率的增大先增后減，即存在某一臨界荷載頻率，使得切向位移幅值最大，與共振理論相一致.總體趨勢上，地基土的應力幅值隨荷載頻率的增大而增大.在同一深度處，當r > a時，地基土的應力、位移幅值隨著到荷載中心距離的增大而減小，與地基中應力波傳播時能量逐漸降低的規律一致.

4.2.2 ? 簡諧扭轉荷載埋深h的影響

為探討簡諧扭轉荷載埋深的影響，分別取 h為0.5、1.0、2.0及4.0，荷載頻率 f = 1，其余參數同上，根據所編制的計算程序分別計算r > a處土體不同深度處的剪應力和切向位移，獲得如圖5、圖6所示的地基土切向位移、剪應力隨深度變化曲線.

由圖5、圖6可看出：荷載作用面以上，土的剪應力、切向位移隨荷載埋深h的增大而增大，荷載作用面以下，土體的剪應力與切向位移隨荷載埋深h的增大而減小，荷載作用面土體的剪應力發生突變，切向位移達到峰值.當z - h≥2a時，土體的剪應力、切向位移近似為零，說明埋置荷載主要影響其作用面上、下各兩倍荷載作用半徑（2a）區域.

根據所編制的程序分別計算荷載頻率 f為0.1、0.5、1.0及1.5時，土體不同深度處的剪應力與切向位移，獲得如圖7所示的土體最大切向位移與荷載埋深h之間的關系曲線.

由圖7可看出：土的最大切向位移隨荷載埋深h的增大而減小，荷載埋深小于兩倍荷載作用半徑（2a）時，曲線急劇下降，h = a時最大切向位移下降75%，h = 2a時最大切向位移下降90%，h > 4a時，飽和地基土的最大切向位移近似為零.

4.2.3 ? 剪切模量非均勻系數α的影響

為探討地基土剪切模量分布形式的影響，分別取剪切模量指數函數式（1）中的非均勻系數α為0.1、0.5、1.0及1.5，荷載頻率 f = 1，埋深 h = 1，其余參數同上，計算獲得如圖8、圖9所示深度 z1 = 0.5處地基土的剪應力、切向位移隨半徑的分布曲線.

由圖8、圖9可看出：隨地基土剪切模量非均勻系數α的增大，土中剪應力、切向位移逐漸減小，系數α每增加0.5個單位，剪應力峰值下降約23%，切向位移峰值下降約40%，這是因為系數α越小，地基土越接近均質狀態，其變形越大，說明相同荷載條件下，剪切模量隨深度呈指數函數分布的非均質地基比均質地基變形小.

4.2.4 ? 地基土動力滲透系數kd的影響

為探討飽和地基土動力滲透系數的影響，分別取kd為10-2 m/s、10-5 m/s及10-7 m/s，α = 1，荷載頻率 f = 1，埋深 h = 1，其余參數同上，計算 z1 = 0.5處土體的切向位移，獲得如圖10所示地基土切向位移與無量綱半徑的變化曲線.

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5 ? 結 ? 論

假定土體剪切模量隨深度呈指數函數非線性分布，基于Biot固結理論與動力學原理，建立豎向非均質飽和地基內部作用簡諧扭轉荷載時的動力微分方程，通過Hankel變換與逆變換求得土體的剪應力與切向位移解答，據此基于Mathematica編制出相應計算程序，通過參數分析獲得土體參數對地基扭轉動力響應的影響規律，主要結論如下：

1）埋置簡諧扭轉荷載作用下，土體的剪應力、切向位移均沿徑向呈現出明顯波動規律，波動頻率隨荷載頻率的增大而增大，切向位移幅值隨荷載頻率的增大先增后減，即存在某一臨界荷載頻率，使得切向位移幅值最大.

2）對比分析表明，隨著土體剪切模量指數分布函數中非均勻系數α增大，土體的剪應力、切向位移逐漸減小，系數α每增大0.5個單位，剪應力峰值下降約23%，切向位移峰值下降約40%，說明相同荷載條件下，剪切模量隨深度呈指數函數分布的非均質地基比均質地基變形小.

3）埋置簡諧扭轉荷載作用下，土體的切向位移自地面開始沿深度表現為先增加后減小的變化趨勢，荷載作用面處，土的切向位移最大，剪應力發生突變，荷載主要影響范圍為其作用面上、下各兩倍荷載作用半徑（2a），且隨荷載埋深h的增大，土體最大切向位移逐漸減小，h = a時最大切向位移值下降75%，h = 2a時最大切向位移值下降約90%，h > 4a時最大切向位移值近似為零.

4）地基土動力滲透系數kd的變化對土體應力以及切向位移幾乎沒有影響.

誠然，上述解答暫僅針對豎向非均質（土體剪切模量隨深度呈指數函數非線性分布）飽和地基中埋置簡諧扭轉荷載的動力響應問題，對于地基為非飽和、雙向非均質或分層等更為復雜的情況，有待進一步的深入研究.

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