解算某二次超靜定梁彎矩內(nèi)力方法探究

楊 青 楊國兵

(1.滁州學(xué)院土木與建筑工程學(xué)院，安徽 滁州 239000； 2.安徽滁州技師學(xué)院，安徽 滁州 239000)

0 引言

自各種結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)軟件開發(fā)、運(yùn)用、改版、升級以來，結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)人員的精力得以釋放，伴隨我國基本建設(shè)新建、擴(kuò)建、改建、加固項(xiàng)目的規(guī)?；?、復(fù)雜化、新穎化、個性化，無論是大跨、多高層建筑、市政橋梁工程，還是公路、鐵路隧道及礦山井筒等工程結(jié)構(gòu)物的設(shè)計(jì)，結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)軟件(如SAP系列，MIDAS，STAAD PRO，ANSYS，PKPM等)均大顯身手，但作為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)人員對力學(xué)結(jié)構(gòu)的框架概念及軟件建模計(jì)算參數(shù)的拾取，特別是對計(jì)算機(jī)軟件程序計(jì)算結(jié)果的正確性的甄別，具備基本的運(yùn)算能力絕不容忽視。即針對結(jié)構(gòu)或構(gòu)件所受的荷載效應(yīng)(或作用效應(yīng))，繪制內(nèi)力圖的能力，再進(jìn)行結(jié)構(gòu)抗力的設(shè)計(jì)，如解決不太復(fù)雜的梁、剛架、桁架、拱、組合結(jié)構(gòu)(特別是超靜定結(jié)構(gòu))構(gòu)件在荷載、溫度、支座位移等因素影響下的內(nèi)力圖等問題。超靜定結(jié)構(gòu)在工程實(shí)體的應(yīng)用十分廣泛，超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力的解算歷來是結(jié)構(gòu)力學(xué)解算的重難點(diǎn)，因此，為解決工程實(shí)踐問題或直接服務(wù)于工程實(shí)際的超靜定梁的內(nèi)力的不同解算方法值得研究。

1 算例的提出

結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)人員可以有多種方法求解超靜定題，到底哪種方法更便捷、高效。不妨采用探究法以察題效：如圖1所示的二次超靜定梁，用力法、位移法和彎矩分配法分別求解其彎矩圖(EI為常數(shù))。

2 三種方法求解算例

2.1 力法

本算例先按常規(guī)方法去除多余未知量，選取圖2a)為基本體系，建立力法典型方程如下。圖乘法過程如圖3所示。

(1)

2.2 位移法求解

采用“附加剛臂”原理，“先緊后松”，利用“形常數(shù)”與“載常數(shù)”[1]。求解過程見圖5。

2.3 彎矩分配法求解

1)計(jì)算線剛度：

2)各桿的抗轉(zhuǎn)剛度及分配系數(shù)：

SBA=4×1=4,SBC=3×1=3,

3)各桿的固端彎矩：

B的不平衡彎矩：

4)分配彎矩及傳遞彎矩：

5)計(jì)算桿端的最終彎矩：

彎矩分配法的過程見表1。最終彎矩圖同圖4。

表1 桿端彎矩的計(jì)算

3 三種方法比較

在完成力法、位移法、彎矩分配法這三種方法的求解之后，將這三種方法的計(jì)算工作量進(jìn)行對比，見表2。對比發(fā)現(xiàn)：彎矩分配法雖然需要將線剛度、抗轉(zhuǎn)剛度、分配系數(shù)、固端彎矩、分配與傳遞彎矩以及最終彎矩共六大概念參數(shù)一一求出，看似步驟較多，卻因無需圖乘，無需列方程，更無需解方程，只需直接套用單跨超靜定梁形常數(shù)表和載常數(shù)表計(jì)算，計(jì)算過程環(huán)環(huán)有序，實(shí)則簡單。而力法在運(yùn)用圖乘法時計(jì)算工程量大，遠(yuǎn)比彎矩分配法復(fù)雜得多。位移法由于只有一個角位移，只需列一個典型方程，利用節(jié)點(diǎn)平衡求出相關(guān)系數(shù)，可見位移法計(jì)算過程較簡單。

表2 三種方法計(jì)算工作量對比

4 力法不同基本結(jié)構(gòu)

力法作為求解超靜定結(jié)構(gòu)基本方法之一，大概緣于與靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算內(nèi)容銜接之故，但力法的具體過程取決于基本結(jié)構(gòu)的選取不同而又富有技巧[2-4]。簡潔高效的基本結(jié)構(gòu)見圖6(圖乘見圖7)，圖8(圖乘見圖9)。

基本未知力為2個，力法典型方程仍為式(1)。

式中：

A3=270,y3=5,A4=18,y4=120,A5=360,y5=3,

同理，力法三典型方程相關(guān)系數(shù)計(jì)算如下：

很明顯，在第三種力法計(jì)算中，圖乘過程變得簡潔而順暢，最后彎矩見圖4。反思發(fā)現(xiàn)，用彎矩作為未知力代表多余約束，圖乘時用到的面積是標(biāo)準(zhǔn)圖形，計(jì)算難度降低，計(jì)算工作量大大減小(見表3)。

表3 三種力法自由項(xiàng)工作量對比

5 結(jié)語

1)通過對手算的二次超靜定梁的三種不同的求解彎矩圖對比，發(fā)現(xiàn)力法解題位移方程的系數(shù)，采用圖乘法次數(shù)較多，較為繁瑣，疊加分割的圖形面積和形心位置容易出錯，力法解題，基本結(jié)構(gòu)的選取不同，解題的工作量有較大區(qū)別，當(dāng)用彎矩作為未知力代表多余約束，圖乘時用到的面積是標(biāo)準(zhǔn)圖形，計(jì)算難度降低，計(jì)算工作量大大減小。

2)力矩分配法，概念較為清晰，易于操作，不易出錯，深受工程技術(shù)青睞。但位移法前提是必須掌握單跨超靜定梁的形常數(shù)與載常數(shù)圖形的意義，達(dá)到靈活運(yùn)用。

3)通過思考、解算、比較、總結(jié)等途徑去主動探究問題的方法適合結(jié)構(gòu)力學(xué)在工程結(jié)構(gòu)計(jì)算中的應(yīng)用，有助于提高結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)人員考察分析判斷結(jié)構(gòu)構(gòu)件軟件計(jì)算結(jié)果的能力，值得推廣。