極限思想在微積分教學(xué)中的重要性

【摘 要】極限思想滲透于微積分各個環(huán)節(jié)之中，是微積分理論形成的重要基礎(chǔ)。因此，微積分的教學(xué)必然要在學(xué)生充分理解極限思想的基礎(chǔ)上進(jìn)行，教師要擅于利用極限思想幫助學(xué)生理解微積分的相關(guān)理論知識。本文主要介紹了極限思想的具體內(nèi)涵、經(jīng)典數(shù)學(xué)概念中蘊(yùn)含的極限思想等，進(jìn)一步闡述了極限思想的重要價值，希望能引起教師的重視，用好這個工具，為學(xué)生實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)能力的提升打牢思想根基。

【關(guān)鍵詞】極限思想;微積分教學(xué);經(jīng)典概念

微積分以函數(shù)為研究對象，主要介紹微分和積分的概念、計(jì)算方法以及導(dǎo)數(shù)和微分的應(yīng)用等。而這些內(nèi)容都是建立在極限概念基礎(chǔ)上的，沒有極限思想做鋪墊，就不會有整個微積分大廈。為了進(jìn)一步體現(xiàn)極限思想的重要意義，本文介紹了極限思想的具體內(nèi)涵、經(jīng)典概念蘊(yùn)含的思想方法，還從三個層面分析了極限思想的價值體現(xiàn)，希望對明確極限思想的重要意義有所幫助。

1? ?極限思想的內(nèi)涵

在近代，極限思想應(yīng)運(yùn)而生，在一定程度上，它是歷史發(fā)展的必然產(chǎn)物。作為一種分析問題、解決問題的思想方法，極限思想主要被用來求未知量的精確值問題。先確定未知量的近似值，且該近似值是一連串越來越準(zhǔn)確的近似值，它最終無限趨近于一個確定的值，這個精確值就是所要求的值[1]。它反映的是一個變量和另一個常量之間的無限接近的過程，在一定程度上揭示了變量與常量、無限與有限的對立統(tǒng)一關(guān)系，同時也是唯物辯證法在數(shù)學(xué)學(xué)科中的體現(xiàn)。

2? ?經(jīng)典概念中蘊(yùn)含的極限思想

微積分學(xué)包括微分學(xué)和積分學(xué)，概括說來，微分就是無限地細(xì)分，積分就是無限地累加求和。其中“無限”就是極限思想的體現(xiàn)，具體到知識點(diǎn)，函數(shù)連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)和定積分等概念都是借助極限思想來定義的。

2.1? 連續(xù)概念中滲透的極限思想

自然界中有許多反映“連續(xù)”的現(xiàn)象，表現(xiàn)在函數(shù)關(guān)系上就是函數(shù)的連續(xù)性。簡單地說，如果一個函數(shù)圖象可以一筆畫出來，整個過程不用抬筆，那么這個函數(shù)就是連續(xù)的。可是數(shù)學(xué)上如何來定義呢？無論從連續(xù)函數(shù)圖象的特征還是從函數(shù)連續(xù)的本質(zhì)出發(fā)都離不開極限思想這個工具。連續(xù)的本質(zhì)反映的是當(dāng)自變量的增加很微小時，所帶來的函數(shù)值的增加也很微小，而能恰當(dāng)描述這一動態(tài)過程的語言就是極限思想。可見，函數(shù)的連續(xù)性是借助極限思想來定義的，用極限思想描述的連續(xù)概念才完美。

2.2? 導(dǎo)數(shù)概念中滲透的極限思想

導(dǎo)數(shù)最初是由數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在研究極值問題時引入的，而關(guān)于導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的最經(jīng)典的兩個案例則分別由數(shù)學(xué)家牛頓和萊布尼茨提出。牛頓從運(yùn)動學(xué)的角度出發(fā)，研究了變速直線運(yùn)動的瞬時速度;萊布尼茨從幾何學(xué)的角度研究了曲線的切線斜率。盡管這兩個問題的實(shí)際意義和背景不同，但它們都?xì)w結(jié)為增量比的極限，而這種特殊形式的極限就被定義為“導(dǎo)數(shù)”。可見，極限思想是導(dǎo)數(shù)概念的點(diǎn)睛之筆，是導(dǎo)數(shù)概念的核心所在。在教學(xué)中，教師要注重讓學(xué)生從極限的角度理解導(dǎo)數(shù)概念，使導(dǎo)數(shù)的概念變得淺顯易懂。

2.3? 積分概念中滲透的極限思想

定積分的雛形可以追溯到古希臘人阿基米德的“窮竭法”、我國的劉徽“割圓術(shù)”，其發(fā)展中涉及兩個經(jīng)典案例，一是求變速直線運(yùn)動的路程，二是求曲邊梯形的面積，它們都采用了分割取近似、求和取極限的步驟完成計(jì)算，盡管實(shí)際意義不同，但解決問題的思想方法卻同出一轍。在科學(xué)技術(shù)和實(shí)際生活中，這樣的問題還有很多，都可以歸結(jié)為這種特定和式的極限，在數(shù)學(xué)上將它定義為定積分。可以看出，求取極限是定積分概念形成至關(guān)重要的一步，如果缺少了極限思想，量變始終不會變成質(zhì)變，最后只能止步于近似，也就沒有定積分的產(chǎn)生。而正是由于它采用了極限的思想方法，所以能解決許多初等數(shù)學(xué)無法解決的問題。因此，在教學(xué)中，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生嘗試?yán)脴O限思想理解和解決類似問題。

3? ?極限思想在微積分教學(xué)中的價值

3.1? 體會定義的簡潔，有助于深刻理解思想精髓

數(shù)學(xué)是一門具有美感的學(xué)科，簡潔是其主要特征，如定義和定理中凝練語言的表達(dá)和抽象符號的使用等，層次清晰，邏輯關(guān)系一目了然。對于微積分這門學(xué)科同樣如此，極限定義就是非常好的詮釋。在專業(yè)術(shù)語中把極限定義稱為“ε-δ”語言，這一語言雖然簡短，但它精準(zhǔn)描述了極限的概念，將極限的思想全盤托出。在極限教學(xué)中，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生從其形式的簡潔凝練上多思考、多體會，這樣有助于學(xué)生從本質(zhì)上理解這一思想方法的精髓[2]。

3.2? 體會無限逼近的思想方法，有助于提高解決實(shí)際問題的能力

學(xué)習(xí)微積分不僅是學(xué)習(xí)知識，更是學(xué)習(xí)其中蘊(yùn)含的思想方法。極限的思想方法較為抽象，概括來說就是一種無限逼近的思想，是在無限的量變積累過程中最終實(shí)現(xiàn)質(zhì)的飛躍。在教學(xué)中，教師要注意多通過具體的例子引導(dǎo)學(xué)生體會，使學(xué)生在反復(fù)的體會練習(xí)中，逐漸掌握極限思想方法。充分理解極限思想，在分析問題時就能夠在一定程度上化難為易，找到更好的解題方法，在解決類似函數(shù)問題、數(shù)列問題和定積分等多種數(shù)學(xué)問題時都會取得事半功倍的效果。

3.3? 體會極限蘊(yùn)含的哲學(xué)思想，有助于學(xué)生樹立正確的價值觀

數(shù)學(xué)與哲學(xué)向來是一家，從哲學(xué)的角度考量，極限思想蘊(yùn)含著豐富的辯證法思想，是唯物辯證法在數(shù)學(xué)上的表達(dá)形式，反映了變量與常量、無限與有限的對立統(tǒng)一關(guān)系。在教學(xué)中，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生體會其中蘊(yùn)含的思想方法，并從哲學(xué)的角度歸納總結(jié)，這也是思政教育隱形滲透的具體體現(xiàn)。大學(xué)生正處于價值觀形成的關(guān)鍵階段，因此，教師在教學(xué)中要發(fā)揮好這一思想對學(xué)生樹立正確價值觀的指導(dǎo)意義，而這一意義不僅體現(xiàn)在具體問題的分析中，更體現(xiàn)在學(xué)生對待學(xué)習(xí)、工作和生活的態(tài)度上。

綜上所述，極限思想不僅能幫助學(xué)生深刻理解微積分學(xué)的精髓，提高解決實(shí)際問題的能力，還能幫助學(xué)生樹立正確的價值觀。因此，教師不僅要深刻領(lǐng)會極限思想方法在解決問題中的作用，更要體會到它對于學(xué)生科學(xué)認(rèn)知世界的指導(dǎo)意義。

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉秀云.數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想和方法的滲透[J].中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2008（21）.

[2]楊軍星.極限思想的實(shí)際應(yīng)用分析[J].黔南民族師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2009（3）.

【作者簡介】

陳蘭蘭（1983～），女，漢族，安徽蚌埠人，本科，海軍士官學(xué)校數(shù)學(xué)教研室講師。研究方向：數(shù)學(xué)教育。