八元數乘方的展開

王丹

【摘 要】在了解八元數前，需先了解科幻電影中常常提到的“維度”問題，從一維開始講起，通俗而言，一維就是所謂的“點”，以數學方程來進行解釋，可以將其定義為（均為常數）;而二維則是由無數一維“直線”組成，通俗而言，二維應當是一個平面，而三維則是由無數二維“平面”構成。而自廣義來進行定論，八元數則代表著八維空間。在人類發現八元數的一百七十年內，逐漸發現了八元數不僅能夠應用于非對稱張量規范場理論之中，還可用于構建八元數離散神經網絡模型與解決古老的球堆積問題。而在對八元數進行教學時，由于其本身概念較為抽象，教師可結合維度概念輔助教學。

【關鍵詞】八元數;乘方展開;維度;數學

在二維領域內，人們可以輕松地利用長與寬計算出一個正方形的面積，而在三維領域內，人們也可以利用對正方體的拆解，將正方體拆解為“底面積”與“高”進行乘法計算。不難發現，在計算正方體體積時，人們正是將三維空間拆解為了二維（底面積）與一維（高）兩種計算因素，從而實現了對三維圖形的計算。在數學領域內，三維以上的四維、五維……八維圖形，也可以利用拆解的方式進行計算，最終達到對八元數乘方進行計算的效果。在目前的數學與物理教學領域，八元數雖然應用較少，但它提供了一種廣義上的、強大的數學結構。且八元數本身性質十分獨特，其不僅包括四元數、復數與實數數學，本身也存在獨特的數學性質。科技的高速發展與數理模型、工具的發展不可分離，而八元數本身便是一種復雜的數字系統，借助八元數進行教學，可有效提高學習者的數學模型構建能力。因此八元數應當作為今數學教學與發展的新目標領域進行探究與學習。

1? ?維度在數學領域內的表示方法

在數學領域內，常常會使用矩陣來表示[1]。以立方體進行舉例，如下圖。

由推論中囊括的遞推關系組可得到，。將主對角線上換成，中其它元素與相乘可以得到，因此可由定理2得出八元數乘方的展開式。

目前，八元數的奧秘尚未被完全參透，劍橋大學曾有一位名為科爾·福瑞的女科學家提出八元數與中國的八卦屬于同構關系。除該理論外，在八元數概念出現后的170多年里，數理領域還沒有與之對應的理論出現。但是隨著人類數學水平的提高，眾多數學家已經認識到了八元數的重要性。或許八元數的發展未來能夠帶領人類進入更加廣闊的世界——萬有理論世界。因此，八元數的教學對數學的發展有重大意義。

【參考文獻】

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[3]李鑫，王海燕.八元數中算子之間的關系及應用——Almansi分解[J].數學的實踐與認識，2016（4）.

[4]周玉興，黃宗文.關于一類四元數及八元數方程解的顯式表示[J].西華大學學報（自然科學版），2015（1）.