奇妙的微積分

【摘 要】微積分中有很多奇妙的現(xiàn)象，有些未定式的極限值非常神奇，有些看似無限的面積卻是有限的，函數(shù)能表示成無窮多項式的和函數(shù)定理，求不規(guī)則圖形的面積都可以將其分割轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形。在奇妙的微積分里，有限和無限、不規(guī)則變化和規(guī)則變化是辯證統(tǒng)一的。

【關(guān)鍵詞】極限;導數(shù);麥克勞林公式;廣義積分;定積分

微積分是研究變數(shù)的科學，微積分中有很多辯證法，通過極限、導數(shù)、微分、積分，可使變與不變、有限與無限、部分與整體的矛盾很好地統(tǒng)一起來。

1? ?神奇的無理數(shù)與奇妙的極限

無理數(shù)與無理數(shù)一樣，在數(shù)學領(lǐng)域里扮演著重要的角色，到處都有它的身影。它出現(xiàn)在歐拉公式里，該公式將數(shù)學里最重要的幾個數(shù)字、、、1、0聯(lián)系到了一起。自然對數(shù)里，以為底數(shù)，許多式子都能通過它得到簡化，因為它是最“自然”的，所以叫“自然對數(shù)”。的影響力其實還不限于數(shù)學領(lǐng)域，經(jīng)濟領(lǐng)域中的復利計算，大自然中的太陽花種子排列、鸚鵡螺殼上的花紋都呈現(xiàn)出黃金螺旋線（又叫斐波那契螺旋線）的形狀，而螺線的方程式是用定義的。黃金分割的分形結(jié)構(gòu)（黃金矩形）要用到，甚至建構(gòu)音階也要用到。如果把一條鏈子兩端固定，松松垂下，將其呈現(xiàn)的形狀用數(shù)學式子表示時也需要用到。人們在研究一些實際問題，如物體的冷卻、細胞的繁殖、放射性元素的衰變時，都要研究當趨近于無窮大時的極限。不管趨向于正無窮還是負無窮，結(jié)果都趨向于一個常數(shù)=2.71828……。

2? “無限延伸”的圖形與有限的面積

在人們的認知里，封閉圖形的面積是有限的，無限延伸的、開口的圖形的面積應(yīng)該是無限的。實際上并非一定如此。可以借助極限計算并判斷無限延伸圖形的面積是有限的還是無限的。

3? ?奇妙的麥克勞林公式

4? ?神奇的定積分與不規(guī)則平面圖形的面積

定積分的定義里包含著微元分割轉(zhuǎn)化法，就是把不規(guī)則的曲邊梯形通過無限分割轉(zhuǎn)化為無數(shù)細小的小矩形，再把無數(shù)的小矩形面積相加求極限，使誤差趨于0，最終得到定積分。因此定積分就是不規(guī)則曲邊梯形的面積，即由四條曲線軸圍成的平面圖形的面積（）。根據(jù)微元法，可以求任何不規(guī)則平面圖形的面積。

用定積分計算任何不規(guī)則圖形的面積，在很多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，能使求任意平面圖形面積的問題變得非常簡單。

微積分的本質(zhì)及核心思想為八個字：“以直代曲，無限逼近”。大意就是：彎彎曲曲不規(guī)則的東西，很難量化計算，如果把它化為規(guī)則簡單的東西，再量化計算就很容易。如果一條線足夠小，那么可以認為無數(shù)條線可以組成任何東西，這雖然不是完美等價，但無限逼近可以讓復雜世界變得無限簡單和完美。

【參考文獻】

[1]王麗偉.《奇妙的微積分世界》課程雙語教學的實踐與思考[J].知識文庫，2017.

【作者簡介】

應(yīng)惠芬（1969～），女，漢族，浙江仙居人，碩士，副教授。研究方向：學科教學（數(shù)學）。