初中數學教學難點的突破策略探析

【摘 要】統計與概率在初中教材出現的頻率不高，加之大數據分析出來的考查幾率和難度不大，因此統計與概率的相關內容一直以來沒有得到師生的重視，通常被教師視為學生可通過自主學習掌握的內容。《課程標準》提出初中階段要培養學生的數據分析觀念。筆者認為，暫且不談數據分析在生活中的應用，就現行人教版教材內容來看，其實有很多內容值得回味和思考，如何提煉其內涵以讓統計引起學生的思考，是值得教師研究的課題。

【關鍵詞】平均數;教學難點;突破策略

本文以《平均數》第二課時為例，探究初中數學教學難點的突破策略，表明初中數學教學中，在重視統計思想的同時，引入數學史亦可為課堂教學增彩。

1? ?深入研究教材，使樹木森林現身

《平均數》出現在最新修訂（2011年）的人教版教材第20章[1]。全章有兩大節“數據的代表”和“數據的波動”，各五個課時。平均數是“數據的代表”中的第一節。其中《平均數》的第二課時，給出了兩個例題，在數據重復出現的情況下，要求學生理解并計算加權平均數。

例1 一家公司打算招聘一名英文翻譯。對甲、乙兩名應試者進行了聽、說、讀、寫的英語水平測試，他們的各項成績（百分制）如表1所示。

如果這家公司想招一名綜合能力較強的翻譯，則要計算兩名應試者的平均成績（百分制）。從他們的成績看，應錄取誰？

如果這家公司想招一名筆譯能力較強的翻譯，聽、說、讀、寫成績按照2：1：3：4的比例確定，計算兩名應試者的平均成績（百分制），從他們的成績看應錄取誰？

當數據有了不同的權重，權就會“影響”數據的作用。要用加權平均數進行計算，幫助人們進一步分析數據，從而給選擇的結論提供必要的依據。當數據呈比例分配時，比例即權重。

例2 某跳水隊為了了解運動員的年齡情況，做了一次年齡調查，結果如下：13歲8人，14歲16人，15歲24人，16歲2人。求這個跳水隊運動員的平均年齡（結果取整數）。

跳水運動員的平均年齡，涉及數據出現的頻數，頻數為數據的權，求平均數即求加權平均數。

教學此節內容時，不僅要看到平均數是數據類型的重要一種，也要看到在用樣本數據估算總體數據時，平均數發揮著極其重要的作用。而加權平均數作為其中一種有代表性的研究，會給分析數據帶來巨大的價值。學習時要看到細節，更要看到整體，這樣才能達成部分之和大于整體的功效，也便于讓學生順利內化吸收，達到教學難點的突破。

2? ?立足學情思考，用學科的眼光觀察生活

對于八年級的學生來說，其在生活中對數據進行詳實分析的機會不多[2]。因此在公交車載客量估算里，表格里給出的組中值其實并不容易理解，即使在旁批注釋了計算公式的來由。這一點倘若一筆帶過，就如美國學者Bidwell指出的那樣：“在課堂里，我們常常這樣看待數學，好像我們是在一個孤島上學習似的。我們每天一次去島上學習數學，埋頭鉆進一個純粹的、潔凈的、邏輯上可靠的、只有清晰線條而沒有骯臟角落的書房。學生覺得數學是封閉的、呆板的、冰冷無情的、一切都已發現好了的。”學生最多記住要怎么算，而在遷移運用時又會出現同樣的困惑，在認知上并未有實質上的突破。筆者嘗試過去掉組中值，然而舉一反三，估算最后的數據時，很多學生都不知所措。因此在面對教材上的例題時，要思考學生真正的理解難點，然后再思考解決策略。

筆者在帶領學生認識組中值時，設計了這樣的問題。

教師：表中按載客量的多少劃分為六組，每一組的實際載客量是多少？

學生：我們不知道。

教師：那我們可以選哪個數據作為代表呢？

學生：平均數。（這一節我們正好學習平均數，應該相關。）

教師：我們可否選擇這組數據最中間的那個數？（中位數在后續內容中才提出。）

學生：不可以。因為我們不知道每組的數據有多少個，無法確定最中間的那個數。

教師：那可否使用出現次數最多的那個數？

學生：也不行。同樣道理，每組的數據總數不知道，那就也無法確定哪個數據出現的次數最多。

……

教師：大家很敏銳，思考方向也很正確。是的，這樣的情況下，我們會選取每組數據兩個極端值的平均數作為本組數據的代表參與計算。

在這里不妨花點時間，通過設計提問，層層引導，使學生自行思考，得到用范圍內的極端值的平均數來作為小組的載客量的數據。這樣猶如剝開蚌殼，取出珍珠的過程，會激起學生的思考，使學生得到自己的結論，獲得成就感。

在教學中，教師要俯下身來體會和發現學生經驗之外的盲點，要搭起腳手架讓新知落入學生的最近發展區，從而完成鏈接。反復如此，學生會逐漸用數學的眼光觀察生活的點滴，完成學科到生活，生活亦學科的完滿教育理想（朱永新）。

3? ?史料引入課堂 有源之水流長

在幫助學生理解組中值時，筆者還翻閱歷史，力求用古人的智慧啟發學生，讓學生深刻感受，數學思想源遠

流長。如公元前400年，在伯羅奔尼撒人戰爭中，Homer為了解對方的兵力，進行了實地考察，發現對方運載士兵的船只共有1200條，這些船只大小不等，最大的船能容納120名士兵，最小的船能容納50名士兵，試估計對方的人數。

對比分析學生的算法，找出相應不足。再討論最后一種平均數算法時，有學生得出估計值：大約有1200×（120+50）÷2個人。這正是當年Homer的估算方法。這里就是用兩個極端值的平均數估計對方的總人數。然后再回到課堂例題里，學生之前心求通而未得的狀態有明顯緩解。弗賴登塔爾指出：“學習數學的唯一正確方法是實行再創造，也就是由學生本人把要學的東西，自己去發現或創造出來;教師的任務是引導和幫助學生進行這種再創造工作，而不是把現成的知識灌輸給學生。”此時再拋出問題，學生自然會想到用樣本的平均數估算總體平均數。

M.克萊因說：“數學史是教學的指南。”引入史實材料時，不僅要讓學生近距離感受古人的智慧，增強學習興趣，同時要讓學生意識到數學學科的精髓滲透久遠，從而激發學生刻苦學習、努力超越的意識，正如張奠宙所說，“把數學教育轉化為數學形態的教育”。

重視數據分析，無論是在學習數學上還是在指導生活上，都會給學生留下深刻影響。而精準分析學習難點，采取不同方式幫助其突破，則是數學教師義不容辭的責任。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準[S].北京師范大學出版社，2011.

[2]汪曉勤.一個中世紀法律問題的解決方案及數學教育價值[J].中學數學月刊，2020（1）.

【作者簡介】

張敏（1972～），女，漢族，湖北枝江人，本科，中學數學二級教師。研究方向：數學教學。