數(shù)學核心素養(yǎng)對解數(shù)學題的啟示

【摘 要】本文基于對數(shù)學核心素養(yǎng)內(nèi)在關(guān)系的剖析，提出了解數(shù)學題的科學方法。同時，針對新版教材的變化，對教材培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的意圖做了分析，提出了如何利用教材來更好地培養(yǎng)學生解數(shù)學題的能力。還結(jié)合波利亞的《怎樣解題》與當前教材改革的導(dǎo)向，提出了數(shù)學核心素養(yǎng)對解數(shù)學題的啟示，并利用高考題加以分析與示范。

【關(guān)健詞】高中數(shù)學;核心素養(yǎng);題目分析;解題能力

核心素養(yǎng)的考查是高考的重點，數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是中學數(shù)學教學的目標。本文基于數(shù)學核心素養(yǎng)對解數(shù)學題的啟示，從四個方面進行剖析，提出了獨特的見解，以期為中學數(shù)學解題教學提供一些啟示，為中學生學習提供一些方法。

1? ?數(shù)學核心素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》指出：學科核心素養(yǎng)是育人核心價值的集中體現(xiàn)，是學生通過學科學習而逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力。數(shù)學學科的核心素養(yǎng)包括：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析[2]。其中，數(shù)學抽象與直觀想象是用數(shù)學的眼光觀察世界，邏輯推理與數(shù)學建模是用數(shù)學的思維分析世界，數(shù)學運算與數(shù)據(jù)分析是用數(shù)學的語言表達世界。數(shù)學的核心素養(yǎng)是在數(shù)學學習和應(yīng)用過程中逐步形成和發(fā)展的，解數(shù)學題是培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)的一種重要途徑。

2? ?數(shù)學核心素養(yǎng)對解數(shù)學題的啟示

對于在解題中體現(xiàn)數(shù)學核心素養(yǎng)，美國數(shù)學家G.波利亞在《怎樣解題》中給出了一個表格，筆者分析如下。

（1）閱讀題目，尋找解題信息，通過數(shù)學抽象與直觀想象理解題目。用數(shù)學的眼光觀察題目：數(shù)清條件的個數(shù)，條件與條件之間的關(guān)系是什么，條件與求證或求解之間有什么關(guān)系，命題者想考查哪一部分的知識，想考查什么能力與素養(yǎng)？這里強調(diào)數(shù)清條件的個數(shù)及理解

背景。

（2）利用邏輯推理與數(shù)學建模思維尋找解決方案，找出已知量與未知量之間的聯(lián)系。波利亞的《怎樣解題》建議，如果找不到直接的聯(lián)系，可以考慮輔助題目，最終得到一個解題方案。用數(shù)學的思維分析題目的解決方案：這個題目用到了什么知識，類似題目是用什么樣的方法解決的？根據(jù)條件的特征或是式子的特征，可以選擇哪種方法解題？可以分哪些步驟把問題解出來？這里強調(diào)分析數(shù)學式子或知識的結(jié)構(gòu)。

（3）利用運算與數(shù)據(jù)分析，執(zhí)行解決方案。用數(shù)學的語言表達解題過程：利用選擇的方案去解題，通過運算和數(shù)據(jù)分析表達解題過程，這個過程中如果遇到困難，就需要重新選擇并制定方案。這里強調(diào)條件的等價轉(zhuǎn)化與條件使用的順序。

（4）利用邏輯推理與數(shù)學建模檢驗結(jié)果。用數(shù)學的思維檢驗結(jié)果的正確性：可以通過特值排除、驗證、建立模型等方法檢驗結(jié)果或論證[1]。這里強調(diào)結(jié)果在問題中的核心作用。

3? ?通過高考題剖析基于數(shù)學核心素養(yǎng)的解題

例1 已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)。證明：①在區(qū)間存在唯一極大值點;②有且僅有2個零點。

步驟一：閱讀題目，尋找解題信息，通過數(shù)學抽象與直觀想象理解題目。

這個題目是考導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。函數(shù)導(dǎo)數(shù)的極值問題中，先要函數(shù)導(dǎo)數(shù)等于0有根，還要在根的兩側(cè)附近異號;關(guān)于函數(shù)的零點問題，有零點的存在性定理。

步驟二：利用邏輯推理與數(shù)學建模尋找解決方案，找出已知量與未知量之間的聯(lián)系。

（1）要證明函數(shù)在存在唯一極大值點，只需證其導(dǎo)數(shù)在單調(diào)遞減，且在該區(qū)間內(nèi)有唯一的零點。

（2）由于函數(shù)中有正弦函數(shù)，正弦函數(shù)有周期性，而第一問所給的區(qū)間是，所以結(jié)合五點法做圖時要用到五點的橫坐標，分區(qū)間研究的零點。

步驟四：利用邏輯推理與數(shù)學建模檢驗結(jié)果。

（1）分析所用知識和定理的正確性：本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值之間的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點個數(shù)的問題。解決零點問題的關(guān)鍵，一方面是利用零點存在性定理或最值點來說明存在零點，另一方面是利用函數(shù)的單調(diào)性說明區(qū)間內(nèi)零點的唯一性，二者缺一不可。

（2）檢驗運算的結(jié)果正確，步驟合理。

例2 古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（，稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此（如下圖所示）。此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是。若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，則其身高可能是（? ? ）。

A.165cm? B.175cm? C.185cm? D.190cm

步驟一：閱讀題目，尋找解題信息，通過數(shù)學抽象與直觀想象理解題目。

該題以“斷臂維納斯”為背景，滲透了數(shù)學之美與數(shù)學的應(yīng)用。將人體抽象為線段，黃金分割比例就是把線段分為固定的比例。題目中兩次提到黃金分割，即有四條線段。

步驟二：利用邏輯推理與數(shù)學建模尋找解決方案，找出已知數(shù)據(jù)與未知量之間的聯(lián)系。

設(shè)頭頂處為點A、咽喉處為點B、脖子下端處為點C、肚臍處為點D、腿根處為點E、足底處為F，則可利用比例的知識求線段AF的長。

步驟三：利用數(shù)學的運算與數(shù)據(jù)分析執(zhí)行解決方案。

根據(jù)腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm可得ABEF;即<26，>105，將≈0.618代入，可得40<<42。

所以169.6<<178.08，故選B。

從解題的角度去體驗數(shù)學素養(yǎng)的作用，為數(shù)學的教學提供了方向。當前的數(shù)學教學突出了問題的分析、用數(shù)學語言表達解題過程、檢驗解題結(jié)果，而對“用數(shù)學的眼光理解知識與問題”做得還不夠。所以有時會出現(xiàn)題講過了，學生聽明白了，但仍不會獨立解決問題的情況。在2019年國家教材委員會專家委員會審核通過的普通高中教科書中，每節(jié)的正文中都增加了很多的思考與探究，還設(shè)置了習題的復(fù)習鞏固、綜合運用、拓展探索等欄目，有些章節(jié)還穿插了閱讀與思考的內(nèi)容[3]。這些都是編者為用數(shù)學的眼光理解知識與問題提供的素材，也是為培養(yǎng)數(shù)學素養(yǎng)提供的材料。教師只有理解數(shù)學素養(yǎng)的內(nèi)在聯(lián)系，理解教材編者的意圖，才能在教學中培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)。有了良好的數(shù)學素養(yǎng)，學生就能在做題時水到渠成地找到解題方法。

【參考文獻】

[1]G·波利亞著;涂泓，馮承天，譯.怎么解題——數(shù)學思維的新方法[M].上海：上海科技教育出版社，2011.

[2]中華人民共和國教育部制定.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[3]人民教育出版社、課程教材研究所、中學數(shù)學課程教材研究中心編著.普通高中教科書（2019年版）[M].北京：人民教育出版社，2019.

【作者簡介】

張憲華，中學高級教師，沂蒙名師，臨沂市教學能手。