基金類別內的確定性等值回報排名次序對風險規避程度的敏感度實證研究

■吳慧明

（上海財經大學）

1 引 言

一個人的風險規避程度屬于人格特點，會因人而異。此外Blais et al.的研究發現，同一組人在道德，金融，健康及安全，康樂和社交五個不同領域之間的風險規避程度的差異是他們之中不同人之間的差異的七倍[2]。理論上，投資者所使用的確定性等值回報及其衍生數據不單要吻合自己的風險規避程度，而且具體地是要吻合自己在金融投資領域的風險規避程度，才能發揮最高的參考價值。

有一些測試可以幫助個人對自己在金融領域的風險規避程度作一個量化的評估[1][4]，為使用客制化的確定性等值回報及其衍生數據資訊創造條件。但客制化的確定性等值回報及其衍生數據資訊相對昂貴和較不易得。

財經數據供應商按照典型個人投資者的風險規避程度計算出來的確定性等值回報及其衍生數據資訊就像服裝生產商制作出來的量產服裝一樣，對于部分人來說非常合身，就像量身定做的客制服裝一樣。但是對于其他人來說就做不到那么合身。這些產品相對較易得和沒有那么昂貴。

在恒定相對風險規避效用模型下，當退休基金供款人以比典型的個人投資者較高的風險規避程度去衡量一系列基金，這些基金中的每一個的確定性等值回報都會變得較小。然而它們各自的確定性等值回報由此而來的減量可以不相同。這有可能導致它們之間的確定性等值回報的排名因為風險規避程度增加而有所改變，變得和以典型的個人投資者的風險規避程度去衡量所得的不同。若然退休基金供款人選擇退休基金時借用相對易得的為配合典型的個人投資者的需要而按照他們的風險規避程度計算出來的確定性等值回報排名做參考,則理論上有可能會由于背后的風險規避程度不吻合，因不正確的排名而作出不符原意的選擇。除此之外，若有基金單位持有人對自己在金融投資領域的風險規避程度缺乏量化了解，甚至可能不知道確定性等值回報隨所使用的風險規避程度參數的數值不同而不同，他們也有可能會遇上類似的景況。

本文以2001年1月至2018年1月期間所有中國香港強制性公積金基金的回報歷史數據以恒定相對風險規避效用函數以不同的風險規避程度參數數值去求得相應確定性等值回報，以之去探討確定性等值回報的排名對風險規避程度的敏感度。試圖借此對風險規避程度參數數值不吻合會產生什么程度的影響得到一個梗概。

2 在這個實證研究中所采用的基金確定性等值回報計算方法

使用恒定相對風險規避效用函數以回報的歷史數據去計算確定性等值回報需要做一些前設。前設的主要目的是為計算中所需的一個概率密度函數能找到一個靠譜的近似代表制造條件。

假設：①某一位投資者的風險規避行為表現符合恒定相對風險規避效用模型；②作為一個隨機變數，某一個基金的可能月度回報在過去某個36個月的時段內依從同一個概率密度函數去實現。后一個假設背后隱含的意義是在那36個月內經濟環境完全一樣，這基金所持有的資產分布完全不變,這些資產各自的盈利能力也完全不變。這樣的話，就有理據去用這個基金在那36個月的回報歷史數據去近似地代表這時段內這基金的可能月度回報所依從的那一個概率密度函數。

設這個基金在符合后一個假設的期間的某一個月每基金單位的起始資產凈值和將得的月末資產凈值分別為確定數值w0和隨機變量W，對應的月度回報為隨機變量R。

如此則有

按照上述前設，這位投資者的風險規避行為表現符合恒定相對風險規避效用模型。所以他的財富的效用由恒定相對風險規避效用函數給出：

其中：

w代表財富，u(w)代表w的效用。u(w)只定義在w>0的域上。

γ是一個反映這位投資者對這筆投資的風險規避程度的參數。γ>-1代表規避風險，γ數值愈大代表對風險的規避程度愈高。γ=-1代表對風險持中性態度。γ<-1代表喜好風險，γ數值愈負代表對風險的喜好程度愈高。

W的確定性等值wCE定義為與W有相同效用的一個確定財富值。即對于持守既定的γ值的人士而言，帶有不確定性的W與全無不確定性的wCE的效用無分軒桎。數學上作為常數的wCE的效用按定義要與作為隨機變數的的效用的期望值相等。

要計算E[u(W)]需要使用W的概率分布函數。一個近似估算W的概率分布函數的常用方法是將W和R由連續隨機變量簡化為離散隨機變量，然后透過R去處理W。以過去36個月的36個月度回報作為R的36個可能結果。每個可能結果的概率均為36分1。

設這月度回報的36個可能結果為r1,r2,…,r36,

對應的每基金單位月末資產凈值的可能結果為 w1,w2,…,w36。

由此可得w 的36個可能結果:

又設wCE的對應回報為rCE。

rCE并不是隨機變數R的確定性等值。只有財富才可以運用恒定相對風險規避效用函數得到確定性等值。R不是財富。它是一個比率，沒有單位的。

基于W和R在(2.1)式里所呈現的關系,W的每個可能結果的概率也均為36分1。于是有

由(2.3)式,

（1）當γ=0的計算

當γ=0,由(2.2)式，u(w)=ln w。

由 (2.6)式,

由 (2.4)式和(2.5)式,

（2）當γ≠0的計算

由 (2.6)式,

由 (2.4)式和(2.5)式,

3 研究方法

3.1 研究的焦點在于同類基金之間而非全部基金之間的排名變動

一般來說,為了達到分散投資以減低風險的目的,一個投資組合里面的各個成員基金通常會來自不同的類別。所有獲挑選進入投資組合的基金全是在自己的類別里按該投資組合的管理者心中的策略依照一套衡量準則量出來的最適者。這套準則衡量的項目往往會包括確定性等值回報。

不同的人在金融投資方面可以持不同的γ數值。由(2.2)式可知，以不同的γ值作計算所得的確定性等值回報會有所不同。因為最廣泛流傳的基金確定性等值回報的排名訊息通常是按照典型的個人投資者的γ值計算所得，所以會和按照典型的退休基金供款人的γ值計算所得的版本有差別。

這次研究的目標就是要知道，在同一個類別里的基金的確定性等值回報排名的次序在不同的γ值下的差別有多顯著。其目的就是為了知道當典型的退休基金供款人借用了為典型的個人投資者制作的確定性等值回報排名作為類別內基金之間進行比較的其中一個指標時，問題大不大。

因此這次研究的焦點并不在于基金的總排名的變動，而是在于同類基金的類別內排名的變動。基于上述原因，在研究程序當中會先將研究對象基金依其特性歸類，然后再就每一類去觀察基金在類內的排名受γ值變動影響的程度有多大。

3.2 研究所涵蓋的γ值變動范圍

在研究程序中γ值由-1以每次增加0.1的步伐上升到4。基于典型的個人投資者的γ值為2[3]，對風險抱持中性態度的投資者的γ值為-1，這個γ值變動范圍涵蓋了由對風險抱持中性態度者，到典型的個人投資者，再到風險規避程度較高者的變化。

3.3 選擇一個指標去反映一個類別發生類別內排名交換的頻密程度

每當γ值上升，類別內的基金的確定性等值回報就全都會下降，但下降的數值各有不同。

就類別內任意一對基金觀察，假使在γ=-1 時它們的確定性等值回報一高一低，但若它們的下降速度是高的快低的慢，則有可能當γ值上升到某一數值時原本較高的一個會跌至比原本較低的一個更低。這樣兩者的排名就交換了。

排名的交換有可能影響到數據使用者對基金的選擇，所以它發生的次數是本文的關注點之一。然而研究排名交換次數的最終目的是要研究類別對γ值變動的敏感度。基于即使兩個類別對γ值變動有相同的敏感度，基金數目較多的一個類別發生的排名交換還是會較多，所以以類別內排名交換的次數除以類別內的有排名的基金的數目作為頻密程度指標較為合適。在相關月份營運未足連續36個月的基金未能有回報的3年期確定性等值回報，故此不會有相關排名。再考慮到較寬的γ值變動范圍也會有較大的排名交換次數，所以以類別內排名交換的次數除以類別內有排名的基金數目再除以γ值改變范圍的寬度作為頻密程度指標更為合適。

所以本文選擇以類別內平均一個有排名的基金每單位γ值變化產生的類別內排名交換次數作為該類別的排名交換頻密程度指標。若一個類別有較高的排名交換頻密程度指標，顯示這個類別對γ值變動有較高的敏感度。

3.4 嘗試了解每一個類別的排名交換頻密程度指標的概率分布

就每一個類別而言，可以從研究期內所有月份的每單位γ值變化產生的排名交換的頻密程度指標數值的算術平均，樣本標準差和算術平均的標準誤差,得以窺探該類別的指標數值的概率分布。研究所覆蓋的時段內營運期最長的類別有170個指標數值可作統計之用。不同類別的敏感度的差異可以透過這些統計數值得到恰當的比較。

4 執行實證研究

4.1 選取研究對象

基于關注強制性公積金供款人若不知就里地采用了基于典型的個人投資者的風險規避程度計算而得的確定性等值回報排名所產生的差別是否嚴重，本文將研究對象范圍界定為所有在營運中的中國香港強制性公積金。

4.2 研究所用數據

測試會用到相關基金的月度超額回報數據。其中超額的意思是超出無風險回報的回報額度，是比無須承受風險也能得到的回報多出的部分的意思。它們反映了基金單位價格升跌，加上派息的效應，并扣減了無風險回報。數據所覆蓋的時段為2001年1月至2018年1月。研究數據中的基金共分為19類。

4.3 研究操作

以下是就每一個γ值區間所作的排名交換頻密度指標計算。

為19個基金類別逐一執行以下步驟：

為確定性等值回報研究期內每一個月逐一執行以下三個步驟：

步驟1：為類別以內每一個基金以(2.7)式或(2.8)式按照γ值由指定區間的左邊界開始，以每次加大0.1的步伐上升至區間的右邊界時，逐一算出其確定性等值回報。例如當區間為-1至4，則要分別計算出γ=-1,-0.9,-0.8,...,3.9,4 時的確定性等值回報。

步驟2：為類別以內每一對基金檢查以上列出的每兩個相鄰的γ值的相應兩對確定性等值回報有沒有出現大小交換的情況，并累計該類別的總交換次數。

步驟3：將該類別該月份的總交換次數除以該類別在該月份有排名的基金數目再除以該γ值區間的寬度得出該類別在該月份在該γ值區間每單位γ值變化產生的排名交換頻密程度指標。

將研究期內所有170個月末的該類別的指標數值求算術平均，樣本標準差以及樣本平均值的標準誤差。

步驟完。

5 研究結果

上述4.3的操作結果列在表5.1內。

表1 各類別在不同覆蓋范圍的區間上排名交換頻密程度指標的算術平均和樣本平均值的標準誤差＊

類別的排名交換頻密程度指標定義為該類別內平均一個有排名的基金每單位γ值變化產生的類別內排名交換次數。可見在指標的定義里已經就區域寬度的差異設置了相應的調節機制使之適合用作比較。

（1）由表5.1所見,按基金所投資的市場觀察，投資在股票市場的基金類別的排名交換頻密程度指標一般偏高，而投資在債券或貨幣市場的基金類別的排名交換頻密程度指標一般偏低。

（2）不同基金類別的排名交換頻密程度指標之間的差別相當大。以風險規避參數γ的數值由-1增加到4的區間而言，排名交換頻密程度指標平均值處于最高,中位數和最低的基金類別分別是“積極分配”“保證基金”和“其他貨幣市場”。這三個基金類別的排名交換頻密程度指標平均值取5位有效數字時的值分別是0.70577,0.11196和0.00072。位處最高的是位處中位數的6.3倍。位處中位數的是位處最低的156倍。位處最高的更是位處最低的980倍。

（3）從關注強制性公積金供款人借用為典型的個人投資者所計算的類別內排名的可行性的角度出發，檢視在 γ值由2增加到4的區間內各個基金類別的指標數值，會留意到以“目標日期”類別為最高，其指標數值達到0.874。這個指標數值可以這樣理解：假若在這期間的某一個月“目標日期”類別內有10個基金能有3年期確定性等值回報排名，則在γ值由2增加到4的過程中,平均說來在“目標日期”類別內的10個有排名的基金之間共發生了約等于 (類別指標×基金數目×區間寬度)=0.874×10×2次排名交換。

這個指標數字背后所發生的事情構成一個可能性光譜。光譜的其中一端是少數基金的排名出現了重大的差別，例如在10個基金之中有2個在γ值分別等于2和4時各自出現了排名相差8至9位的差別。光譜的另外一端是大多數基金的排名出現了小差別，例如在10個基金之中有8個出現了排名相差2位，另外2個出現了排名相差1位的差別。因為17.84次只是個平均數，所以以上描述的只是平均情況的情景。當統計上較低可能性的情況出現，例如某一次的次數實際上是24次或12次，則相應的極端情況可以變得更極端，達到10個基金之中有3個基金各自出現了排名相差7，8和9位的差別，或10個基金之中只有2個出現了排名相差2位，其余8個出現了排名相差1位的差別。

假若一位γ值為4的強制性公積金供款人要為是否借用為典型個人投資者以γ等于2計算出來的“目標日期”類別的排名資訊作一個知情選擇，他先得知道平均說來他要面對以上程度的排名差異。

（4）在19個類別當中的16個在整個研究期間或接近整個研究期間都有營運，所以他們每一個都有170個或接近170個指標數值可以用作估算該類別的指標的概率分布的均值，和樣本均值的標準誤差。其余的三個類別分別有76，41和31個指標數值可作此用。由表5.1所見,各個類別的樣本均值的標準誤差比起樣本均值都不算大。所以這些樣本均值都適合用作估算對應類別的指標的概率分布的均值。

表2 各類別在相鄰單位寬度區間上排名交換頻密程度指標的算術平均

（5）當檢視γ值上升的不同階段,由表5.2所見，從γ值由-1至4的區間分拆而成的5個寬度為1的子區間當中，并沒有哪一個子區間明顯表現出通常有較高排名交換平均數的傾向。

6 研究的局限性

本文以一個基金的類別內每單位γ值變化產生的平均一個基金的排名交換的次數作為該類別的頻密程度指標。然而這個指標的參考價值是有它先天的局限性的。作為一個平均數,反映對象群體內的個別差異會是它相對較弱的一環。群體的平均數的數值并沒有描述群體內部某一個體數值的能力。

例如以下的說法就不成立：

“凡是在γ值由a上升到b的過程中類別內排名交換的平均次數高于1次的類別，它在γ值是a時排名第一的基金,在γ值上升至b時都有相當確實的機會發生過一次或以上排名交換因而有很大機會不再排名第一了。所以γ值是b的人在這種類別里一定不能借用為γ值是a的人所計算的確定性等值回報資訊去尋找類別內最高確定性等值回報的基金，因為對他們來說這樣找到的不是最高的一個。”

理據可以從以下這個虛擬情景找到：

在本月所發報的數據當中,某個類別的基金之中有十個基金有其回報的3年期確定性等值回報數據。在γ值由-1上升到4的過程中,這十個基金的確定性等值回報隨γ的改變如圖1中的圖線所示。

圖1 十個基金確定性等值回報隨γ的上升而下降,但速度的差異引起排名交換

在γ值等于-1時，基金甲乙丙丁戊己庚辛壬癸分別排名第一至第十。

在γ值由-1上升到4的過程中，基金甲一直保持排名第一；基金丁至基金癸七個的排名相互之間維持相同的次序一直沒有交換過; 基金乙和基金丙兩者之間的排名也維持相同的先后次序一直沒有交換過。

不過基金乙和基金丙的γ值持續同步快速下跌。在γ值等于4時，基金乙和基金丙的確定性等值回報都已逐一跌過了基金丁至基金癸七個的數值。他們的排名已經分別跌至第九和第十，各自作出了七次排名交換。

在這個虛擬情境中，這個類別發生過14次確定性等值回報類別內排名交換。平均一個基金的交換次數是1.4次。但基金甲的類別內排名交換次數沒有如以上的說法推斷那般變成1次,而是確確實實維持在0次，依然排名第一。平均數是1.4與其中一個數值是0沒有矛盾。因為群體的平均數的數值并沒有描述群體內部某一個體數值的能力。這是以平均交換次數作為指標的先天局限性。

上述指標是對整個類別而言的。一個類別的指標數值較高，只表示類別內基金排名受γ值變動導致的總體變動較大，但并不指明某一基金的排名變動一定大。

7 結 論

本文提出了一個反映一個基金類別里確定性等值回報的排名次序對風險規避程度的敏感度的指標，并分析了這個指標的局限性。本文以歷史數據為一個地區的強制性公積金提供了上述指標數值。

按照上面所得的數據結果，本文覺得使用按照典型個人投資者的風險規避程度計算所得的確定性等值回報資訊就和穿著量產服裝相似: 產品不一定是最理想的，但也不至于完全不可用；和理想版本可以有的差別大小因類別而異。消費者意識到存在差別的可能性，作一個知情選擇就可以了。而本文所得的數據結果可以為這個選擇提供初步參考。