基于基本解方法的正交各向異性鋼筋混凝土板彎曲問題計(jì)算與分析

陳潤(rùn)波，王 勇，蔣 泉

（南通大學(xué)交通與土木工程學(xué)院，江蘇 南通 226019）

目前對(duì)混凝土板彎曲問題的大多研究都是依靠有限元軟件和進(jìn)行相關(guān)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行分析。黃麗華等人[1]對(duì)加固前后及不同CFRP 加固層數(shù)的動(dòng)力性能進(jìn)行了分析和計(jì)算。文章運(yùn)用基本解方法對(duì)正交各向異性鋼筋混凝土板在均布荷載條件下?lián)隙群蛷澗剡M(jìn)行計(jì)算，并結(jié)合計(jì)算結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步分析，驗(yàn)證了計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。

1 基本方程

1.1 正交各向異性鋼筋混凝土板基本方程

正交各向異性鋼筋混凝土板撓度彎曲方程可以寫成如下形式。

式中：取D1，D2和D3分別為不同方向的剛度。

為了簡(jiǎn)化求解的過程，對(duì)公式（1）進(jìn)行坐標(biāo)變換，將其變成非齊次雙調(diào)和方程的形式，取線性坐標(biāo)變換：

式中：m、n、a、b 為待定常數(shù)，滿足如下方程組：

經(jīng)過坐標(biāo)變換后為雙調(diào)和方程，表示為如下：

1.2 基本解方法基本方程

考慮齊次雙調(diào)和方程問題：

邊界條件：

則φ 的基本解可取：

式中：P 為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)；Ri為區(qū)域外的點(diǎn)；Bi和Fi為待定系數(shù)，可通過邊界條件定出；G1和G2為相應(yīng)的Laplace 方程和雙調(diào)和方程的基本解，在二維情況下可寫成：

式中：r 為P 和Bi之間的距離。待定系數(shù)Bi和Fi可由下列方程組求解：

式中：i=1-n1在邊界B1上，i=n1+1-n 在邊界B2上。

對(duì)于非齊次雙調(diào)和方程：

邊界條件與公式（6）一樣。其基本解為在齊次解上加上特解φ*，即：

當(dāng)為常數(shù)時(shí)，特解：

公式：x 和y 為p 點(diǎn)的坐標(biāo)。公式（11）的待定系數(shù)由下列方程組確定：

2 數(shù)值計(jì)算結(jié)果

如圖1 所示，設(shè)正交各向異性鋼筋混凝土板為邊長(zhǎng)為4m 的正方形，左、右兩邊界固支，上下兩邊界簡(jiǎn)支，板受均布荷載1kN/m2，混凝土為C30，鋼筋為Q235 材料。簡(jiǎn)單起見，未給出過程，直接給D1=10×106kg·cm，D2=40×106kg·cm，D3=20×106kg·cm。

圖1 y=0 處撓度分布

在基本解方法中，格林函數(shù)取公式（3），特解取為式（12）。根據(jù)方程組（8）及邊界條件，可以求出格林函數(shù)中的待定系數(shù)Bi和Fi。計(jì)算結(jié)果如圖2 ～5所示。

圖2 x=0 處撓度分布

圖3 Y=0 處彎矩圖

圖4 X=0 處彎矩圖

圖2 和圖3 分別y=0 和x=0 處板中撓度分布，可以看出均在中點(diǎn)撓度達(dá)到最大值，在邊界上撓度為0 滿足邊界條件，符合實(shí)際情況。

圖4 和圖5 分別為y=0 和x=0 處板中正則化的彎矩分布。在簡(jiǎn)支方向，板中間彎矩達(dá)到最大值，在兩段彎矩值為0 滿足邊界條件。

3 結(jié)束語(yǔ)

文章對(duì)存在均布荷載條件下的正交各向異性鋼筋混凝土板計(jì)算得到板撓度及彎矩?cái)?shù)值解。通過文章的研究，可進(jìn)一步拓展基本解方法在工程問題中的應(yīng)用，為鋼筋混凝土板彎曲問題的位移、彎矩的數(shù)值計(jì)算提供參考。