含區(qū)間相關(guān)不確定信息的時(shí)變可靠度分析方法*

楊立國(guó)，孫文彩，任鐵軍

（1.海軍工程大學(xué)動(dòng)力工程學(xué)院，湖北 武漢 430033；2.海軍92458 部隊(duì)，山東 青島 266000）

在結(jié)構(gòu)可靠度的分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)中，由于結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度退化和隨機(jī)載荷效應(yīng)，可靠度是一個(gè)動(dòng)態(tài)變化值[1]。目前學(xué)術(shù)界針對(duì)動(dòng)態(tài)可靠度問題已進(jìn)行大量富有成效的研究。Oswald 等[2]研究了隨機(jī)載荷效應(yīng)和強(qiáng)度衰減的問題，提出了時(shí)變可靠度的概念。Andrieu-Renaud 等[3]基于首次穿越思想，提出一種新的時(shí)變可靠度通用計(jì)算公式；貢金鑫等[4]基于離散時(shí)間的思想，將隨機(jī)過程離散化，提出了計(jì)算動(dòng)態(tài)可靠度的實(shí)用公式。高鵬等[5]定義了次數(shù)等效系數(shù)和參考載荷，并考慮強(qiáng)度和載荷相關(guān)和不相關(guān)的情形，分析了退化結(jié)構(gòu)時(shí)變可靠度；屈小章等[6]分析了風(fēng)機(jī)葉輪結(jié)構(gòu)的時(shí)變可靠度。

現(xiàn)有的時(shí)變可靠度研究大都基于較為完善的概率可靠性理論，需要有大量的數(shù)據(jù)信息，過于依賴已知數(shù)據(jù)，導(dǎo)致其在實(shí)際工程應(yīng)用中具有局限性[7]。在工程實(shí)際中，不確定參數(shù)的變化范圍則較為容易從有限數(shù)據(jù)中獲得，可以將其建模為區(qū)間凸集模型和橢球凸集模型[8]。文獻(xiàn)[9]針對(duì)含區(qū)間不確定信息的時(shí)變可靠度問題進(jìn)行了有意義的探索性研究，但均默認(rèn)區(qū)間變量不相關(guān)，而實(shí)際工程中很多區(qū)間變量是之間是存在相關(guān)性的，文獻(xiàn)[10]將這種相關(guān)性定義為正相關(guān)、零相關(guān)和負(fù)相關(guān)，即一些區(qū)間變量的變大往往導(dǎo)致另外一個(gè)區(qū)間變量的隨之增大，比如結(jié)構(gòu)尺寸區(qū)間變量和質(zhì)量區(qū)間變量，而其他情況則是沒影響或者影響效果相反。

本文主要針對(duì)結(jié)構(gòu)同時(shí)含有區(qū)間相關(guān)變量和隨機(jī)變量的復(fù)雜時(shí)變可靠度問題，首先將結(jié)構(gòu)功能函數(shù)隨機(jī)過程進(jìn)行離散化，將問題等效轉(zhuǎn)化成含混合變量的串聯(lián)系統(tǒng)靜態(tài)可靠性問題；然后針對(duì)混合可靠性指標(biāo)計(jì)算中的雙層嵌套優(yōu)化問題，提出了一種高效的序列迭代方法，可以準(zhǔn)確高效地計(jì)算出結(jié)構(gòu)可靠度指標(biāo)的下限值及失效概率上限值。最后通過一個(gè)工程算例說明了該方法的正確高效性。

1 含隨機(jī)變量的時(shí)變可靠度模型

對(duì)于結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)可靠性問題，根據(jù)廣義強(qiáng)度-應(yīng)力干涉模型，結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)可用下式表示：

式中，R（t）表示結(jié)構(gòu)抗力為時(shí)間的函數(shù)；S（t）表示結(jié)構(gòu)所承受的隨機(jī)荷載效應(yīng)；t 為時(shí)間變量。

由結(jié)構(gòu)可靠度的定義，在設(shè)計(jì)基準(zhǔn)周期T 內(nèi)，結(jié)構(gòu)可靠的概率可以表示為：

根據(jù)隨機(jī)過程離散化的思想，將設(shè)計(jì)基準(zhǔn)周期T 均分為n 等份，同時(shí)將結(jié)構(gòu)抗力隨機(jī)過程R（t）、結(jié)構(gòu)所承受的動(dòng)載荷S（t）離散化，變?yōu)閚 個(gè)隨機(jī)變量ri和si的大小取為第i 個(gè)時(shí)段結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的最小值，即t ∈［ti-1，ti］時(shí)，ri=R（t）；si的分布情況一般由第i 個(gè)時(shí)段的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析確定。工程實(shí)際中，各時(shí)段si可處理為獨(dú)立同分布。

根據(jù)串聯(lián)系統(tǒng)可靠性理論，設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期T 內(nèi)結(jié)構(gòu)的可靠度可表示：

2 含復(fù)雜區(qū)間相關(guān)變量的時(shí)變可靠度模型

超橢球凸集模型可以方便地描述區(qū)間相關(guān)變量，下面簡(jiǎn)要給出超橢球模型的數(shù)學(xué)描述。

假定結(jié)構(gòu)中存在k 組不確定但有界變量，這些不確定性參數(shù)可表示：

式中：Yi∈Rnt（i=1，2，…，k）為第i 組不確定性參數(shù)。

超橢球凸集模型將每一組不確定變量分別用一個(gè)橢球凸集表示：

為計(jì)算方便，將式（5）表示的超橢球凸集單位化。對(duì)特征矩陣Wi進(jìn)行分解：

式中：Qi為Wi的特征向量組成的正交矩陣；Λi為Wi的特征值組成的對(duì)角陣。

引入向量：

則式（5）表示的超橢球凸集Ei轉(zhuǎn)化為單位超球Ci。

引入非概率變量后，式（3）變?yōu)椋?/p>

引入新的隨機(jī)變量Q′，其概率密度為fQ′（q′），概率分布函數(shù)為FQ′（q′），則式（9）可表示為：

上述推導(dǎo)過程中，新的功能函數(shù)與Q′具體分布沒有關(guān)系。鑒于工程實(shí)際情況，一般將Q′取為n 個(gè)si的最大值sT，因?yàn)閺慕Y(jié)構(gòu)可靠度定義出發(fā)，當(dāng)載荷為最大時(shí)不失效，結(jié)構(gòu)才算不失效。考慮到s1，s2，…，sn相互獨(dú)立，則sT的概率分布函數(shù)為：

式（12）帶入式（11）可得新的功能函數(shù)為：

式中：X 為新的功能函數(shù)中隨機(jī)變量組成的矢量；Y 為新的功能函數(shù)中的非概率參數(shù)構(gòu)成的矢量。

3 時(shí)變可靠度計(jì)算

通過概率方法對(duì)式（13）中隨機(jī)矢量X 進(jìn)行正態(tài)變換，使之成為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)矢量U；利用式（6）、式（7）將超橢球凸集變量Y 轉(zhuǎn)化為單位超球變量Y，則式（13）中結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)函數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)形式為g（U，V）。

由于不確定但有界變量V 的存在，g（U，V）=0在U 所在的隨機(jī)矢量空間中表現(xiàn)為失效曲面簇，不再只是一個(gè)曲面。二維情況下g（U，V）=0 所表示的過渡區(qū)域如圖1 所示。定義含區(qū)間相關(guān)變量結(jié)構(gòu)可靠性指標(biāo)βL為坐標(biāo)原點(diǎn)到最近失效面g（U，V*）=0 的最短距離，則βL表達(dá)式：

結(jié)構(gòu)失效概率Pf用下式計(jì)算：

圖1 含相關(guān)區(qū)間變量的可靠度指標(biāo)示意圖

對(duì)式（14）的求解，可以轉(zhuǎn)化為如下兩個(gè)優(yōu)化問題

外層優(yōu)化：

內(nèi)層優(yōu)化：

假設(shè)第l 次迭代有u（1）、v（1），將g（U，V）按照泰勒公式在v（1）點(diǎn)展開，內(nèi)層優(yōu)化變?yōu)?/p>

實(shí)際問題中，不確定但有界變量波動(dòng)范圍很小，故常認(rèn)為在其波動(dòng)范圍內(nèi)極限狀態(tài)函數(shù)是單調(diào)的，因此對(duì)于式（18），由KKT 最優(yōu)性條件得：

由式（19）可得內(nèi)層Vi迭代求解式：

外層用HL-RF 迭代

上述迭代過程整理如下：（1）給定初始點(diǎn) 0 l=，， u(l)=0 ， v(l)= 0。（2）根據(jù)式（20）更新變量v（l+1）。（3）根據(jù)式（21）更新 u(l+1)。（4）若U、V 收斂，停算；否則令 1l l= + ，轉(zhuǎn)到步驟（2）。

4 算例

圖2 時(shí)刻受腐蝕作用的梁

假設(shè)梁在服役期間受到各向同性的腐蝕，腐蝕速率為k=0.02mm/year，被腐蝕部分完全失去機(jī)械強(qiáng)度，考慮在設(shè)計(jì)周期[0，T]（T=20 年）內(nèi)，在時(shí)刻t 時(shí)未被腐蝕的截面積s（t）為：

由失效準(zhǔn)則可以得到極限狀態(tài)函數(shù)如式（23）所示。

腐蝕梁1 ～20 年的可靠度指標(biāo)值如表1 所示，分別列出了使用本文提出的迭代方法、使用蒙特卡洛重要性抽樣法（ISMC）計(jì)算結(jié)果以及兩者之間的相對(duì)偏差。可以看出偏差均在0.5%之內(nèi)，驗(yàn)證了本文方法的正確性。

表1 設(shè)計(jì)周期（20 年）內(nèi)腐蝕梁可靠度指標(biāo)值

從設(shè)計(jì)周期內(nèi)腐蝕梁的可靠度指標(biāo)隨時(shí)間變化曲線圖如圖3 所示。可以發(fā)現(xiàn)，隨著服役時(shí)間的變長(zhǎng)，腐蝕梁的可靠度指標(biāo)不斷下降，符合工程實(shí)際情況。此外蒙特卡洛重要性抽樣方法需要調(diào)用極限狀態(tài)函數(shù)10∧6 次，計(jì)算量巨大，通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)，本文方法循環(huán)迭代次數(shù)均小于10 次，大大提高了計(jì)算效率。

5 結(jié)束語

本文針對(duì)結(jié)構(gòu)含有區(qū)間相關(guān)變量和隨機(jī)變量的復(fù)雜時(shí)變可靠度問題，基于連續(xù)隨機(jī)過程離散化的思想，建立了復(fù)雜時(shí)變可靠度分析模型，并給出了高效的求解算法，主要結(jié)論如下：

（1）本文綜合考慮了區(qū)間變量和隨機(jī)變量共存及變量之間存在相關(guān)性的復(fù)雜情形，可以有效解決工程中含此類復(fù)雜不確定信息的時(shí)變可靠度問題，有較好的工程適用性，提出的高效序列迭代算法有較強(qiáng)的針對(duì)性和適用性。

圖3 腐蝕梁可靠度指標(biāo)在設(shè)計(jì)周期內(nèi)變化曲線圖

（2）采用文中的模型和算法對(duì)腐蝕梁進(jìn)行了算例分析，并與重要性抽樣蒙特卡洛方法進(jìn)行了對(duì)比，分析結(jié)果與工程實(shí)際相符，并有較高的精度和效率，驗(yàn)證了所提方法的正確可行性。