基于灰色—馬爾科夫模型的高邊坡變形預測應用

莫 文 濤

(鄭州工業應用技術學院，河南 鄭州 451100)

0 引言

高邊坡穩定性和路面設施、行人、行車的安全性具有密切關系，邊坡安全監測能夠將被監測區域在不同時間的情況及時反映出來，以此為邊坡現狀分析和狀態預測提供根據。目前，在高邊坡位移變形預測過程中的方法包括回歸預測與人工預測模型，此預測方法會陷入到局部極值，并且需要大量樣本對預測精度保證[1]。為了降低預測誤差，本文和具體工程預測數據結合，使用灰色—馬爾科夫模型實現高邊坡變形的預測。

1 灰色—馬爾科夫模型分析

1.1 灰色GM(1,1)的模型

灰色量為位移監測數據，能夠得出灰色序列，使用一階微分方程GM(1,1)模型，通過實際數據生成的GM(1,1)模型白化響應公式為：

其中，a為發展系數；b為灰作用量。

根據原本的樣本規律能夠產生灰色GM(1,1)模型預測值，實際預測值并不會受到原本樣本影響。以此，在實現動態預測過程中添加狀態步數與轉移，使用馬爾科夫預測模型使灰色模型不足進行彌補[2]。

1.2 馬爾科夫預測方法

馬爾科夫為根據目前事件狀態對未來時間段狀態預測的模型，涉及到狀態、狀態轉移與相應馬爾科夫過程相應的概念。灰色—馬爾科夫模型的創建步驟為：

1)狀態劃分。根據灰色GM(1,1)模型對預測值和實測值相對誤差序列進行計算，以此劃分h個狀態區間：

Ei=[Ai,Bi](i=1,2,…,i)。

2)通過狀態Ei經過k步到狀態Ej轉移的次數為nij(k)，出現狀態次數為ni，那么狀態Ei通過k步到狀態Ej中轉移的概率為：

此模型轉移概率和初始狀態沒有關系，n×n階狀態轉移概率矩陣為：

3)h步狀態轉移概率矩陣為第一步狀態轉移概率矩陣h次方，也就是：

以此，灰色—馬爾科夫模型中的GM(1,1)模型沒有考慮動態轉移因素，步數調整、狀態轉移使模型預測過程滿足邊坡位移真實情況，從而彌補灰色GM(1,1)的模型問題，降低模型固有誤差，使長期預測精度得到提高，增加了有效預測時間[3]。

2 工程實例

貴州省某高速公路工程的高邊坡，此段邊坡長度為551 m，通過人工開挖高邊坡設計線路，最大開挖高度設計為155.43 m，屬于十級邊坡，每級高度為15 m。1級～3級坡比為1∶0.3,4級～10級坡比為1∶0.5，每級平臺的寬度設置為2 m，7級和4級設置5 m寬度平臺，開挖全坡面實現錨桿掛網噴射混凝土的防護設置，錨桿長度為9 m，間距設置為2 m，破碎1.5 m。在邊坡開挖支護施工過程中，邊坡臨空面增加，坡體坡面破碎帶，溶洞發育、隱伏裂隙，并且在開挖局部坡面之后會出現拉裂變形、塌方掉塊的情況，坡面巖體的結構變化差異比較大。邊坡一共設置5個測量基準點與32個監測點，一共監測63次，每周2次[4]。圖1為高邊坡橫斷面。

3 預測結果

3.1 灰色模型預測的結果

以工程坡頂水平的位移實際測量數據，在坡頂設置兩個點，表1為GM(1,1)預測值和相對誤差，基于GM(1,1)模型實現水平位移變形預測，白化響應式解圍：

x1(t+1)=104.126 3e0.047 5t-102.126 3。

x0(t+1)=x1(t+1)-x1(t)。

通過累減還原之后得到預測數列：

x0(t+1)=4.830 4e0.047 5t(t≥1)。

表1 GM(1,1)預測值和相對誤差

通過表1表示，GM預測值與邊坡實測位移值的最大和最小誤差分別為23.5%,0.5%，平均精度為95.5%。由于前期存在明顯的開挖擾動，所以其相對誤差比較大。表示GM(1,1)模型能夠利用原始離散數據對系統未來的發展精準預測，提高整體的預測精度[5]。

3.2 灰色—馬爾科夫模型的預測結果

灰色—馬爾科夫模型充分考慮概率問題的未來發生情況，將灰色理論作為基礎提出了修正系數。以灰色理論時間序列結果，能夠得出邊坡位移的監測預測值：

x0(t+1)=β4.830 4e0.047 5t。

β=1+θ。

其中，β為修正系數；θ為預測狀態區間中值。以灰色—馬爾科夫模型的劃分原則，使誤差值劃分成為[-24,-5],(-5,0],(0,3],(3,6]，表2為各狀態下的β值。

表2 各狀態下的β值

基于灰色理論預測值、實測值和精度分別為10.33 mm,9.9 mm,95.7%，灰色—馬爾科夫轉移模型預測值和精度分別為10.07 mm，98.3%，以此得到表3的預測值和相對誤差。

表3 預測值和相對誤差

通過表3表示，GM-MC模型在高邊坡變形監測過程中的使用誤差最大為5.7%，平均精度在98.1%以上。數據離散型在邊坡監測前期較大，開挖擾動還會對其造成影響，灰色理論預測結果的精度低，預測的結果和實測值相互接近。結果表示，灰色—馬爾科夫模型應用到高邊坡變形預測中具有良好的效果[6]。

4 結語

邊坡開挖屬于動態化過程，由于施工前期具有較大的擾動，邊坡現場監測的水平位移離散性比較大。灰色—馬爾科夫模型充分考慮動態轉移概率，所以能夠應用到開挖變形預測中。通過本文研究表示，本文所設計灰色—馬爾科夫模型的預測精度較高。