從算術思維向代數思維過渡的教學策略

吳雅靜 朱水萍

【摘 要】從算術思維向代數思維的過渡，是小學生數學學習過程中極為重要的轉變階段。在實際教學中，教師應當強調對等量關系的把握而非運算結果、加強比較，感受代數方法的優越性，正確定位學生用字母表示數的水平，從而有效促進學生從算術思維向代數思維的過渡。

【關鍵詞】算術思維，代數思維，小學代數教學

中圖分類號：G61 文獻標志碼：A 文章編號：1007-0125（2020）03-0140-02

一、算術思維向代數思維過渡的必要性

1978年，我國教育部頒發的小學數學教學大綱中首次提出“適當增加代數、幾何的部分內容”，此后的歷次教學大綱調整，這一基本精神沒有動搖[1]。21世紀初新頒布的數學課程標準首次將“數與代數”設置為獨立的學習領域，并對小學代數課程內容進行了清晰表述，之后的課程改革則將算術與代數兩個不同的數學領域合并為一個名稱“數與代數”。但在實際教學中，算術與代數的割裂仍然存在，這使得學生在學習代數知識時困難重重。因此，有效引導學生從算術思維向代數思維過渡就顯得格外重要。

首先代數思維的培養，可以讓學生用更加簡便且符合邏輯的方法來解決比較復雜的關系問題。我國著名數學家吳文俊教授說[2]：“對于‘雞兔同籠之類的許多四則難題，你若用代數方法來做，就會變得非常容易?！逼浯?，算術與代數是相互依存，不可分離的，代數的學習可以鞏固和加深學生對所學算術知識的理解與運用。最后，讓小學生在低年級階段初步接觸一點代數知識，能降低學生長期運用算術思維形成的思維定勢，為之后系統學習代數知識做好準備。

二、從算術思維向代數思維過渡的主要障礙

算術運算和代數運算的根本區別在于算術運算是程序性的，算術運算的目的是為了得到具體的運算結果，而代數運算是結構性的，是形式的等價變換。學生在學習代數知識時，主要對從“程序性結果”轉移到“結構性關系”感到困難重重。

（一）不能理解符號的新意義

算術和代數有很多共用的符號，這為代數知識的學習帶來方便，由于有些符號承載了新的意義，因此也造成學生思維上的困難[3]。比如“=”，在算術中表示運算的具體結果是多少，而在代數中表示等價關系。學習“簡易方程”時我們用天平平衡來表示左右的等價關系，在天平左邊放一個50克的砝碼，右邊放一個未知重量的物體和一個10克的砝碼，天平平衡，要求學生看圖寫方程。學生總是習慣把方程寫成“x+10=50”而不是“50=x+10”，這說明學生對“=”的理解還停留在算術思維的層面上，認為具體結果必須寫在等號的右邊。實際上在等價關系中，A=B和B=A是相同的。因此對“=”的程序性觀念到結構性觀念的轉變，是算術思維到代數思維轉換的標志之一。

（二）對未知數的特殊對待

在解簡易方程時，如“80-x=22”，也有學生習慣使用減數、被減數與差之間的關系即算術中四則運算各部分之間的關系來求解方程，這種方法本質上是算術思維的反映?！读x務教育數學課程標準（2011年版）》在第二學段要求：“了解等式的性質，能用等式的性質解簡單的方程。”這個過程中利用的是由天平引入的等價關系模型，是從結構上去分析，運用的是代數思維，若利用四則運算各部分間的關系去求方程的解，那便遮蔽了方程作為等價關系的本質意義。算術方法是把未知量置于特殊地位，通過已知量求出未知量，而代數方法則是把未知量看成是已知量，把兩者平等看待，找出各量之間的等量關系，建立方程進而求出未知量。在對含有未知數的方程進行求解時，需要把未知數看成已知數，學生有了這樣的認識以后，才能順利求解更加復雜的方程。

三、實現從算術思維向代數思維的跨越

（一）強調對等量關系的把握而非運算結果

學生在初學代數時往往不適應這樣的思維方式，如果題目沒有特定要求，大部分學生還是會選擇自己熟悉的算術方法去解題，由此形成“惡性循環”，算術思維對代數思維的負遷移越來越嚴重。出現這樣的情況主要有三個原因，一是學生沒有真正理解代數方法表示的平衡關系，沒有通過建構將天平模型的平衡原理順應到自身的知識體系中，二是教師在教學和習題中沒有明顯展示代數方法的優越性，學生沒有充分意愿去學習一種新的思維方式，三是代數方法所需要的抽象思維水平較高，算術方法先入為主，學生能用已有的知識解決，就很難再去想別的更簡便的方法。而在列方程解決實際問題中，學生不得不使用代數的方法去解決問題，但是學生長期的算術思維使得他們總是從計算出未知量的角度去思考和解決問題，而不是去尋找和分析問題情境中的等量關系。

在蘇教版五年級下冊列方程解決實際問題中，也比較注重尋找和分析問題情境中的等量關系，雖然教材將列方程解決實際問題分為三個步驟：一是弄清題意，找出未知數，并用字母表示數，二是根據題中數量之間的相等關系列方程，三是求出答案后，檢驗結果是否正確。但是在“練一練”中，教材還是偏向讓學生先用文字表征出問題中的等量關系。如：“一頭藍鯨重165噸，大約是一頭非洲象的33倍。這頭非洲象大約重多少噸？（ ）的體重×33=（ ）的體重”。雖然需要求解的是非洲象的重量，但是題目要求先把數量間的相等關系填寫完整，由此可見，找到問題情境中的相等關系才是解決問題的重要一環，如果學生能夠正確表征數量之間的相等關系，那么答案就顯得沒有那么重要了。教師在教學過程中也不應當拘泥于計算結果的正確與否，而應該關注學生是否正確表征問題情境中的相等關系。

（二）加強比較，感受代數方法的優越性

以蘇教版教材五年級下冊第一單元“簡易方程”中的整理與練習為例：“學校體育室一共有186根跳繩。四年級5個班，每班借了18根。剩下的借給五年級的4個班，平均每班借多少根？”讓學生用不同的方法來解決，并對方法的簡易程度加以比較。

解法1：四年級借的跳繩總數為：5×18=90（根）

五年級可借的跳繩根數為：186-90=96（根）

五年級平均每班可借的根數為：96÷4=24（根）

所以五年級平均每班借24根。

解法2：（180-5×18）÷4=24（根）

所以五年級平均每班借24根。

解法3：設五年級平均每班借X根，則可列方程：

5×18+4X=186 解得X=24（四年級借的+五年級借的=總數）

所以五年級平均每班借24根。

解法4：設五年級平均每班借X根，則可列方程：

5×18=186-4X 解得X=24（四年級借的=總數-五年級借的）

所以五年級平均每班借24根。

在小學階段有很多類似的問題，這些問題既可以用算術方法來求解，也可以用代數方法來求解，教師應當要鼓勵學生一題多解，通過對同一道題目分別用算術方法和代數方法求解，并進行比較，學生就越來越能夠體會到代數方法的優越性和更廣泛的應用性了，長此以往，學生的思維也漸漸從算術思維向代數思維過渡了。

（三）正確定位學生用字母表示數的水平

根據英國CSMS小組對11-16 歲兒童的數學理解的研究（1981），字母表示數有6種不同的意義：[4]一是給字母賦值，二是忽略字母的意義，三是把字母當成物體，四是把字母看成特定未知量，五是把字母看成廣義的數，六是把字母看成變量。

上述六種情況代表了用字母表示數從低到高的不同水平，當然同一種水平下又有不同難度的問題，并且不同水平下問題的難易程度也有所交叉，比如第一種水平中較難問題的難度系數要高于第二種水平中較簡單的問題。現行數學課程標準前兩個學段對于用字母表示數提出的要求包括了上述六種情況，但對后兩種情況的要求應該是寬松、簡單的，較難的部分應該放在中學數學課程中學習。所以教師在教學中也應該要正確定位學生用字母表示數的水平，把握教學內容的難易程度，使教學內容貼合學生的接受水平，以促進學生有效學習。

參考文獻：

[1]劉久成，劉久勝.代數思維及其教學[J].課程·教材·教法，2015，（12）：76.

[2]黃偉星.算術思維到代數思維的飛躍“用字母表示數”的教學價值與教學策略[J].小學數學教育，2015，（24）：3-12.

作者簡介：吳雅靜（1995-），女，江蘇蘇州人，喀什大學教育科學學院碩士在讀，研究方向：小學教育。朱水萍（1970-），女，江蘇南通人，博士，南通大學教育科學學院教授，研究方向：教師教育、課程與教學。