一種小型固體運載火箭末級多約束制導方法

2020-04-15 09:27:58李新國黃建友

宇航學報 2020年3期

張遷，許志，李新國，高峰，黃建友

(1. 西北工業大學航天學院，西安 710072；2. 陜西省空天飛行器設計技術重點實驗室，西安 710072；3. 中國運載火箭技術研究院，北京 100076)

0 引言

隨著“快速發射”要求的不斷提高，小型全固體運載火箭憑借可快速機動發射、可靠性高、成本低等優勢而備受關注[1]。為了提高質量比及可靠性，取消了推力終止機構的固體運載火箭，只能耗盡關機而不能進行制導關機，使其制導算法必須考慮耗盡關機速度管控問題[2]，而不再是燃料最省的兩點邊值問題[3-5]。此外，由于固體發動機具有工作時間短、推力大等特點，運載火箭必須采用“助推-滑行-助推”的飛行模式才能將有效載荷送入運行軌道，確定滑行點火時間是制導的核心算法[6-7]之一。由于固體火箭發動機性能受環境影響較大而導致關機時間無法準確預估，要求制導算法必須具有較強的偏差適應能力才能保證入軌精度[8]。綜上所述，這給小型全固體運載火箭帶來了更高的制導技術需求。

固體火箭的制導算法研究主要集中在基于改進閉路制導，并結合能量管理算法[9-10]實現了終端入軌任務要求。但該算法忽略了制導過程中位置矢量的變化對終端約束產生的影響，導致終端入軌精度及魯棒性較差。針對固定總沖約束的兩點邊值問題，本研究團隊基于軌道動量矩的變化推導出定點制導算法[11-12]，并以此為基底制導算法求解點火時間及制導指令。在多子級飛行條件下對于耗盡關機速度管控問題，文獻[11]通過軌道能量匹配的方式提前將運載火箭動能與勢能進行分配；文獻[12]采用定點制導結合速度管控模型設計的思想，在中間過渡級將速度管控產生的附加位置量分解到軌道高度上。盡管上述方法均實現了在耗盡關機方式下的入軌任務，但是由于避開了末級多約束制導問題導致入軌精度、魯棒性及適應性降低。

因此，針對耗盡關機末級多約束制導問題，本文重點研究了定點制導算法對速度管控的適用性及速度管控過程引起的耦合項抑制問題。在前期研究文獻[11-12]的基礎上分析了速度管控與終端約束之間的耦合關系，并在定點制導算法的基礎上推導出適用于速度管控的拓展理論算法，建立了需要速度與速度管控方向之間的理論關系，得到了滑行時間、制導矢量及速度管控方向的解析表達式，并通過仿真驗證了所提制導方法的制導精度和魯棒性。

1 固體火箭多約束制導問題

小衛星等空間載荷通常以太陽同步軌道(SSO)為目標，為進入較高的太陽同步軌道，固體運載火箭需要采用四級串聯的方案并采取“助推-滑行-助推”制導模式。其飛行模式一般可以分為一級助推段、二級助推段、三級滑行段、三級助推段、四級滑行段、四級助推段。火箭第一、二級發動機推力大可快速進入真空環境，該飛行階段基本位于大氣層內，后四個飛行階段處于真空環境下，其飛行任務剖面如圖1所示。

圖1 典型固體運載火箭飛行時序剖面Fig.1 Typical launch process of a four-stage rocket

1.1 質心運動模型

在發射慣性坐標系下運載火箭質心運動方程[11]表示為：

(1)

(2)

對于大氣層外的“助推-滑行-助推”飛行模式，運載火箭運動方程式(2)中的推力為：

(3)

式中：tig為火箭發動機點火時刻。固體運載火箭發動機的推力大小與秒流量不可調節，式(1)里實際上需要確定出箭體方向xb的控制指令，使運載火箭以耗盡關機的方式滿足入軌約束條件。

1.2 多約束制導問題

運載火箭處于無動力的滑行軌道時，根據開普勒軌道性質：

(4)

而在火箭發動機點火工作后，根據式(2)和式(4)可得運載火箭關機點的狀態矢量表達式：

(5)

式中:μ為地球引力常數，r0,v0表示火箭當前位置矢量和速度矢量，rig,vig表示點火時刻位置矢量和速度矢量，rf,vf表示終端位置矢量和速度矢量。對于空間載荷的飛行軌道，通常約束軌道根數中的半長軸aorb.f、偏心率eorb.f及軌道傾角iorb.f等，其表達式如下：

(6)

此外，對于耗盡關機的固體火箭發動機，所能夠提供總的視速度模量WM和視位置模量RM表達式為：

(7)

耗盡關機的固體運載火箭由于失去了制導關機的物理條件，導致對終端速度管控能力薄弱。因此，為了滿足飛行任務的適應性要求，進行速度管控是解決終端多約束問題的主要途徑。

1.3 耗盡關機速度管控問題

在耗盡關機方式下，由于發動機產生的總視速度模量一定，需要通過速度管控算法[13-15]產生附加姿態來消耗多余能量，使速度增量在固定弧長約束下的矢量弦長滿足制導要求，速度管控算法的制導原理如圖2所示。

圖2 基底制導算法耦合速度管控算法的制導剖面Fig.2 Profile of the proposed guidance under pointing algorithm with energy management method

耗盡關機制導問題的本質是求解固定弧長約束下的兩點邊值問題，本文將此問題分解為多約束制導問題和交變姿態速度管控問題，從而使復雜問題簡化。多約束基底制導算法計算所需的速度矢量Γ，速度管控算法主要解算視速度模量WM固定條件下所需要的弦長，則箭體方向xb為：

xb=sinuem(t)·ε+cosuem(t)·Γ

(8)

雖然所附加的交變姿態可以在軌道面內，也可以在軌道垂面內，但對終端軌道根數的影響不同。

綜上所述，對于“助推-滑行-助推”模式下耗盡關機的固體運載火箭，由于發動機提供總的視速度弧長和視位置弧長固定并滿足等式(7)，制導算法需要確定出合適的發動機點火時刻tig及箭體方向xb的控制指令，使終端狀態矢量式(5)滿足終端軌道根數式(6)的約束，以完成耗盡關機入軌任務。因此，針對耗盡關機的固體運載火箭，制導算法的本質是求解具有固定總沖約束的兩點邊值問題，其算法的核心則是：

1) 求解滑行點火時間，并計算滿足終端約束所需速度矢量大小及方向。

2) 根據速度管控模型實現速度矢量約束，通過確定交變姿態方向實現對附加項耦合的抑制。

2 定點制導方法及拓展

固體運載火箭在大氣層外飛行時，由于發動機推力脈沖大、額定時間短，無動力滑行時間通常遠大于發動機工作時間，認為箭體方向始終沿著所需要的速度沖量方向[12]。因此，PA制導算法通過假設發動機持續推進過程中箭體方向xb始終保持某一常值Γ，來研究發動機完全耗盡燃料所產生的“定向速度沖量”與滑行點火時間及終端軌道根數之間的理論關系，PA算法理論如圖3所示。

圖3 PA制導算法運動分解圖Fig.3 Motion analysis of pointing guidance method

圖3中，r0為火箭當前時刻的地心距，rig為火箭點火時刻的地心距，rsub.f,vsub.f分別表示外延滑行軌道的額定關機時刻地心距和絕對速度，rorb.f,vorb.f表示實際飛行軌道終端地心距和絕對速度，rimp為滑行軌道與目標軌道交點處的地心距。

當運載火箭滑行-助推結束后，持續推力過程引起運載火箭動量矩的變化為：

ΔH=mf·rorb.f×vorb.f-m0·r0×v0

(9)

軌道面交點Pimp聯系了兩條軌道狀態參數，將式(9)在軌道面交線rimp展開，詳細推導過程見參考文獻[11]，整理后得到：

(10)

式(10)的結果表明：在特定的點火時間條件下，“定向持續推進過程”對軌跡的改變與在等效脈沖點Pimp處施加“瞬時脈沖矢量”對軌跡的影響等效。

圖4 軌道交點處速度矢量關系Fig.4 Vector diagram of the orbit intersection point

在軌道面交點Pimp處建立坐標系o-xyz，y軸沿著軌道面交線rimp向上，x軸沿著目標軌道速度vorb.imp運行方向且垂直y軸，z軸與x,y軸構成右手法則，則各矢量關系如圖4所示，所需速度矢量Γ和交變姿態方向ε均為單位矢量，ex,ey和ez分別為x軸、y軸及z軸的單位矢量，則：

(11)

為實現固定弧長條件下的弦長問題，交變姿態速度管控微分方程組表達式為：

(12)

式中:uem(t)由交變姿態模型產生且vε=0，將式(12)代入式(5)得終端狀態矢量表達式：

(13)

根據定點制導原理，將式(13)代入火箭動量矩變化量式(9)中，合并后得：

ΔH=mf·rorb.f×vorb.f-m0·r0×v0=

mf(rsub.f+rΓΓ)×(vsub.f+vΓΓ)+

mfrεε×(vsub.f+vΓΓ)-m0r0×v0

(14)

將定點制導結論式(10)代入式(14)，得：

(15)

由式(15)可知：交變姿態速度管控帶來的附加位置項Hem對定點制導理論產生耦合影響。此外，由于附加位置的大小受交變姿態模型的限制，因此耦合影響的程度實際上由交變姿態方向ε決定。根據圖4所示，附加耦合項可表示為：

Hem=mfrε·ε×(vsub.f+vΓΓ)=mfrε·ε×

(vsub.imp+vΓΓ+Δvg·ey)=

mfrε·ε×(vorb.imp+Δvg·ey)

(16)

其中,Δvg=g·(rΓ/vΓ)，將式(11)代入式(16)展開得：

Hem=mfrε(εxex+εyey+εzez)×(vorb.imp+Δvg·ey)

(17)

交變姿態方向ε在xoy面內的投影將改變入軌點地心距，為使耦合項的影響最小化，令投影矢量與速度矢量平行，即：

(εxex+εyey)×[vorb.impcos?orb·ex+

(vorb.impsin?orb+Δvg)·ey]=0

(18)

因此，在式(18)條件下將式(17)代入式(15)后，動量矩變化量可化簡為：

ΔH=mfrimp×vorb.imp-m0r0×v0+

mfrεεz·ez×(vorb.imp+Δvg·ey)

(19)

經化簡后，式(19)可表示為：

ΔH=mf(rimp+mez)×(vorb.imp+nez)-m0r0×v0

(20)

將式(20)展開與式(19)對比后，可得：

(21)

綜上所述，在交變姿態速度管控的耦合影響下，定點制導理論依然適用，其結論依然成立。此時，等效脈沖點rimp.em及等效入軌速度vorb.imp.em為：

(22)

3 交變姿態速度管控算法

3.1 基底制導矢量求解

為不失一般性，將制導所需要的速度矢量表述為軌道交點地心距與終端軌道根數的矢量形式，由開普勒軌道性質得：

(23)

由于圓軌道的真近點角失去意義，故取

(24)

根據式(23)，求解出軌道面交點Pimp處的真近點角、切向速度及法向速度。因此，圖3中在兩軌道交點Pimp處速度矢量表示如下：

(25)

其中，運載火箭由于當前軌道傾角與目標軌道傾角之間的偏差所引起方位角偏差ΔA的表達式為：

(26)

式中:φimp為地心距rimp的地心緯度。則PA制導所需的速度矢量大小和方向為：

(27)

在交變姿態速度管控的耦合影響下，等效脈沖點并不處于當前軌道平面內，但可認為是在軌道面交點Pimp沿z軸平移所得到，則火箭從當前點飛行至交點Pimp處的時間為：

(28)

根據式(15)和式(28)得運載火箭點火時間為：

tig=t0-imp+Ts-rΓ/vΓ-t0

(29)

由于速度矢量Γ和交變姿態方向ε為正交單位矢量，且考慮耦合項影響最小化約束式(18)，則交變姿態方向ε滿足：

(30)

求解式(30)可得交變姿態方向ε的表達式為：

(31)

其中,tan?=(vorb.impsin ?orb+Δvg)/(vorb.imp·cos ?orb)，l為：

綜上所述，通過定點制導理論及其拓展形式，基底制導矢量Γ、火箭點火時間及交變姿態方向ε分別由式(27)、式(29)和式(31)計算得到。特別地，在軌道共面即Γz=0，沿軌道面法向(平行于z軸)進行交變姿態是耦合影響最小的實現途徑。

3.2 交變姿態速度管控模型

固體火箭的速度管控問題，主要是通過控制推力與所需速度矢量之間的夾角來抵消多余的速度模量。速度管控模型主要有一般能量管理方法[13](GEM)、交變姿態能量管理方法[14](AEM) 及樣條能量管理方法[15](SEM)。GEM算法通過需要速度與圓心角之間的數學關系，解算得到推力方向，是一種速度閉環控制方法，但存在尾段姿態角發散的狀況；AEM、SEM算法通過預先規劃姿態角變化規律來實現速度管控，能夠針對實際對象的模型進行細化處理，具有較大的速度耗散能力，但不能對高度進行約束。

能量管理方法其本質上均是通過交變姿態的方式實現速度管控，交變姿態模型(AEM)姿態角變化規律如圖5所示，SEM方法以三次多項式來描述速度管控模型，但上述方法并未深入研究交變姿態方向的問題。因此，本文重點研究速度管控過程帶來的耦合影響的抑制問題。

圖5 交變姿態模型姿態角變化規律Fig.5 The variations of attitude angle respect to consumed velocity capability

發動機總視速度模量WM按照導引程序的功能分為兩部分：第一部分(W0～W6)，進行交變姿態實現速度管控；第二部分(W6～WM)，采用定軸飛行且保持姿態穩定的方式，來避免因固體發動機秒流量大散布所帶來的模型尾段姿態角速率變化過大的問題。則以視速度模量為自變量的姿態角變化模型為：

(32)

其中，WΔ=Wi+1-Wi,i=1,2,…,5。um為速度管控模型中的最大調姿角，將模型式(32)代入微分方程組(12)可得：

(33)

根據定點制導理論，基底制導矢量vΓ由式(27)求得，則等式(33)中僅存在的未知量為最大調姿角um，可采用一維迭代求解算法得到um的值。此外，速度管控過程中產生的位置量，通過時域內的數值積分得到，其表達式為：

(34)

其中，通過t=e-W/(Ispg0)進行換元計算。

至此，速度管控模型uem、最大調姿角um及位置量rΓ和rε分別由式(32)、式(33)和式(34)求得。對于速度管控模型，以視速度模量為自變量時，一方面有利于提高速度管控的精度；另一方面視速度模量可由加速度計積分得到，有利于提高管控模型對參數偏差及不確定性的魯棒性。

3.3 制導算法求解流程

定點制導拓展理論證明了在速度管控耦合影響下基底制導依然適用，并得到了點火時間、所需速度矢量及交變姿態方向的解析表達式。AEM速度管控模型，根據發動機總視速度模量和制導所需速度大小得到最大調姿角，并通過數值積分得到附加位置量。綜上，本文所提末級多約束自主制導方法中的未知量均已求得，詳細計算流程如下：

1) 確定等效脈沖點rimp：首次計算時，忽略速度管控模型的附加位置影響，即rΓ=RM,rε=0，m=n=0，代入拓展定點制導理論式(28)計算。

2) 求解所需速度矢量Γ及交變姿態方向ε：由脈沖點處的速度矢量關系，根據式(27)計算所需速度矢量vΓ,式(31)求得交變姿態方向ε，由于交變姿態方向的兩個解是對稱的，可任選其一。

3) 計算最大調姿角um：根據發動機總視速度模量式(7)和制導所需的速度大小vΓ，由式(33)解算出速度管控模型中的最大調姿角um。

4) 計算附加位置分量rΓ和rε：在速度管控模型及待定系數um確定后，根據式(34)數值積分得到。

迭代循環中，由于等效脈沖點地心距rimp遠大于速度控制產生的附加位置量，即rimp?m·ez，需要非常小的閾值才能保證循環的有效迭代。因而選取變化量更為敏感的基底制導矢量vΓ為迭代變量，精度閾值Δv=1×10-3。

制導算法的點火時間、速度管控模型及交變姿態方向的迭代計算過程均處于運載火箭的無動力滑行階段，發動機點火后的主動段則按照預先規劃好的速度管控模型得到制導指令。此外，制導算法的迭代，主要用以校正速度管控附加的耦合量，整個迭代過程通常需要3～5步即可收斂。

4 仿真校驗與性能評估

采用全固體火箭發動機的運載火箭，以450 km SSO典型飛行任務為例，考慮地球自旋角速度及引力J2項攝動。通過搭載不同載荷質量，驗證速度管控算法的制導精度及適應性；根據不同的軌道傾角偏差，驗證交變姿態方向對異面軌道任務的適應性；最后采用蒙特卡洛仿真，驗證所提制導算法在模型參數偏差及不確定性影響下的制導精度及魯棒性。

4.1 載荷質量適應性仿真

實際飛行軌跡的偏離、終端任務的調整以及衛星載荷質量的變化均要求速度管控方法對飛行任務具有一定的適應性。考慮運載火箭以200 kg為最大載荷，依次減少50 kg載荷進行仿真，直至運載火箭達到空載狀態。運載火箭由于搭載不同的載荷質量，在耗盡關機方式下具有不同的速度模量，并通過速度管控模型實現終端多約束要求。為驗證拓展定點制導算法對載荷質量的適應性，選取了兩種典型的能量管理方法AEM和SEM進行仿真，仿真曲線如圖6所示，終端偏差結果見表1。

表1 不同載荷質量仿真結果Table 1 Simulation results under different load masses

注：*表示期望值，N為迭代次數。

兩種能量管理方法的仿真結果見表1所示，在同樣載荷質量條件下，SEM方法的最大調姿角大于AEM算法，但均能夠滿足0～200 kg的載荷適應范圍。

兩種方法在終端精度約束上均具有高精度約束能力，而SEM算法在速度大小控制上偏差量略大，達到了1.0182 m·s-1。圖6中，根據不同的載荷質量，AEM方法通過控制最大調姿角來實現不同大小的速度管控，SEM方法通過求解三次多項式的系數實現不同大小的速度管控。PA拓展理論根據能量管理算法產生的附加位置量，解算交變姿態方向，在不同載荷質量條件下均能夠滿足終端速度、位置約束條件，實現了對速度管控中耦合項的抑制。

仿真結果表明，PA拓展理論能夠適用于不同的能量管理模型，且計算的交變姿態方向能夠對能量管理過程產生的附加耦合項起明顯的抑制作用。此外，交變姿態方向由狀態矢量在慣性空間確定，導致俯仰角及偏航角指令呈現出相互耦合的關系。

4.2 PA拓展理論對比分析

速度管控過程中產生的耦合項，一方面對脈沖點位置產生影響，改變了升交點赤經；另一方向對脈沖點入軌速度產生影響，改變了軌道傾角。通過載荷適應性仿真可知，空載條件下速度管控模型產生的附加位置量最大，故在空載條件下來驗證制導算法對不同初始軌道傾角的適應性。針對PA拓展理論方法的耦合抑制方向，與文獻中采用的俯仰通道[9,10,15]及偏航通道[12,16]進行對比，其結果如圖7所示，終端偏差值見表2。

圖6 載荷質量適應性仿真Fig.6 Profiles of the states run for simulation on adaptability to load masses

圖7 軌道傾角適應性仿真Fig.7 Profiles of the states run for simulation on adaptability to orbit inclination angles

從圖7可以看出，不同通道下的能量管理交變姿態導致軌道傾角適應性有明顯的差異。采用俯仰通道進行速度管控，終端地心距將隨著初始軌道傾角偏差的增大而逐漸減小，但終端軌道傾角的偏差逐漸增大，地心距的最大偏差達到14.96 km，絕對速度偏差達到7.178 m/s，軌道傾角偏差達到2.08°；采用偏航通道進行速度管控，終端地心距、絕對速度以及軌道傾角等參數將隨著初始軌道傾角偏差的增大而逐漸增大：地心距的最大偏差達到3.5 km，絕對速度偏差達到1.186 m/s。仿真結果可以看出，偏航通道下偏差結果明顯小于俯仰通道，但依然無法達到終端約束高精度的要求。

根據交變姿態方向表達式(31)知，由于軌道異面使Γz≠0，因而僅以軌道側向進行交變姿態同樣會對軌道面內的參數產生影響，主要原因是速度管控產生的耦合項改變了原等效脈沖點及需要速度。而采用PA拓展理論在ε方向進行速度管控，使終端地心距、絕對速度及軌道傾角等參數因耦合引起的偏差得到了有效的抑制。

表2 軌道傾角適應性仿真結果Table 2 Simulation results under different orbit inclinations

4.3 制導精度與魯棒性分析

以小型固體運載火箭進入450 km預定太陽同步軌道為例，驗證本文所提固體火箭多約束制導方法的制導精度及魯棒性。模型的不確定性及散差分布配置見表3，偏差散布及不確定性對飛行軌跡的影響以導航輸入的方式提供給制導算法，制導周期取20 ms在線解算制導指令。各項隨機偏差在每次打靶中隨機產生，且服從正態分布。進行2000次蒙特卡洛仿真，仿真抗干擾軌跡曲線簇如圖8所示。

表3 蒙特卡洛仿真散差配置表Table 3 Dispersions in Monte Carlo simulations

圖8中，在所配置的偏差干擾下，軌道根數的變化曲線簇的寬度表征了制導算法的魯棒性。結果表明半長軸偏差的數學期望值小于100 m，偏心率的散布達到10-4量級，軌道傾角達到10-4(°)量級。因此，本文所提制導算法對終端軌道半長軸、偏心率及軌道傾角具有高精度約束能力的同時對所配置的偏差干擾具有強魯棒性。2000次蒙特卡洛終端軌道根數仿真統計結果見表4，軌道根數偏差散布如圖8 (d) 所示。