運載火箭姿態控制穩定性多速率陀螺組合策略

王建民，張冬梅，洪良友，李 寧

(1. 北京強度環境研究所可靠性與環境工程技術重點實驗室，北京 100076；2. 北京強度環境研究所，北京 100076；3. 北京宇航系統工程研究所，北京 100076)

0 引 言

運載火箭飛行姿態需要進行實時控制，為解決彈性振動和控制耦合問題，大型運載火箭一子級等需要采用速率陀螺組合方式進行飛行姿態控制，以平臺和速率陀螺組合為例，其原理圖如圖1所示[1-2]，其中平臺感應姿態角，速率陀螺感應角速率。這種作法是為了兼顧剛體姿態穩定性和彈性振動穩定性設計要求[3-7]。目前國內的運載火箭多采用每個姿態方向(俯仰、偏航、滾動)安裝一個速率陀螺作為敏感元件，通過選擇速率陀螺的合適安裝位置，采取幅值穩定和相位穩定相結合的控制策略，達到彈性振動穩定的目的。選擇速率陀螺的位置依賴彈性振動穩定設計方法，一般的原則是在模態頻率離剛體增益交界頻率比較遠時，采用幅值穩定，通過在控制網絡中加入陷波濾波器達到穩定，此時需要將速率陀螺盡量安放在對應模態振型斜率較小的位置(盡量靠近振型波幅的位置)；在模態頻率離剛體增益交界頻率比較近時，仍然用幅值穩定會降低剛體穩定裕度，此時可采用相位穩定，需要將速率陀螺安放在斜率符號比較明確的位置。滿足上述速率陀螺安裝位置要求并不容易，其原因為：(1)速率陀螺的安裝位置受到許多實際安裝條件的限制，如燃料儲箱無法安裝速率陀螺等；(2)火箭的飛行過程是時變的，模態參數不是一程不變的，振型波幅的位置是變化的，一個陀螺不容易滿足飛行全程要求；(3)一個陀螺同時滿足多個模態振型斜率要求比較困難，往往顧此失彼。在選擇了速率陀螺安裝位置后，還需要給出精度較高或不確定度較低的振型斜率。鑒于控制系統設計對速率陀螺安裝位置及振型斜率不確定度的苛刻要求，目前火箭研制均采用實際尺寸的模態試驗，試驗最主要的目的是進行陀螺位置選擇和振型斜率測量，實際工程中耗時耗力，代價巨大。未來重型運載火箭尺寸大大超過現有振動塔尺寸，開展全箭試驗需要建立新的振動塔，耗費巨大。如果不建立振動塔，只能采用計算或子結構綜合替代[8-9]，必然會增加振型斜率的不確定度，控制系統難以接受。為降低單速率陀螺位置選擇的困難和斜率測量精度的要求，國外火箭有用多個速率陀螺代替單個陀螺的做法，但并未見到多個速率陀螺替代單個陀螺的詳細使用方法。國內見到使用多個速率陀螺的報導均以提高控制系統冗余設計為目的[10-11]，而非彈性振動穩定性為目的。文獻[3]提及了用多個速率陀螺組合替代單個速率陀螺用于彈性振動穩定性，但使用的陀螺數量應等于彈性振動穩定性所考慮的模態數量加1,且所有模態的彈性振動穩定性均采用幅值穩定方式。但工程應用中很難布置足夠多的速率陀螺滿足文獻[3]的數量，另外大型火箭一階模態頻率較低，多采用相位穩定控制方式，二階以上采用幅值穩定方式。鑒于此，本文給出了任意數量的速率陀螺組合代替單速率陀螺的斜率計算方法，計算方法能夠兼顧控制系統相位穩定和幅值穩定要求，同時還推導了組合斜率不確定度的計算公式，并將不確定度納入組合系數矩陣的計算當中。最后用一個型號實例說明了多個速率陀螺組合的方法，結果表明用多個速率陀螺組合更容易滿足姿態控制系統彈性穩定性要求。組合陀螺的應用可以降低了對陀螺選位和斜率測量的精度要求，從而為利用計算或子結構綜合替代全箭模態試驗提供了可行途徑。

圖1 火箭姿態控制系統原理圖Fig.1 Illustration of attitude control system for launch vehicle

1 多速率陀螺組合方法

為了說明問題，現僅在火箭的一個姿態方向上(如俯仰方向)進行闡述。設火箭俯仰方向上取n個陀螺安裝位置，分布n個速率陀螺感應該方向的角速率。俯仰方向上的全箭第i階彈性模態對應的斜率矩陣為：

(1)

式中:w′ij表示第i階模態在第j(j=1，2，…，n)個點上的振型斜率值。剛體轉動模態對應的振型斜率矩陣為：

(2)

試圖用多個速率陀螺輸出的組合代替單個陀螺，可采用線性疊加法，設第i階組合斜率為：

(3)

這里[α]為1×n組合系數矩陣。因為剛體模態組合斜率必須為1，因此需要滿足

[α]{w′0}=1

(4)

(5)

或寫成矩陣形式為：

[α][w′0,w′1, …,w′n-1]=[1, 0, …, 0]

(6)

式中:[w′0,w′1, …,w′n-1]為方陣，假定{w′i}(i=0,1,2,…,n-1)之間互不相關(當多個安裝位置選擇合適時，這一假定可以滿足)，[w′0,w′1, …,w′n-1]為非奇異矩陣，可以得到

[α]=[w′0]T[C]

(7)

其中

[C]=([w′0,w′1, …,w′n-1]·

[w′0,w′1, …,w′n-1]T)-1

(8)

按照式(7)獲得的組合系數矩陣對多個陀螺感應到的信號進行組合，已經將1至n-1階彈性響應降低或消除，幅值穩定自動滿足。這一方法與文獻[3]的方法基本一致。但在實際的工程應用中，很難做到安裝足夠多的速率陀螺，使得陀螺數等于控制系統彈性振動穩定需要考慮的彈性模態階數加1，因為安裝過多的速率陀螺會增加系統的復雜性、降低系統的可靠性，另外當速率陀螺過多時，很難有合適的安裝位置使[w′0,w′1, …,w′n-1]非奇異。當使用的陀螺數少于控制系統設計所需考慮的彈性模態階數加1時，式(5)為超定方程，無法精確滿足，此時組合系數矩陣的計算式(7)不再適用。這種情況下，可以結合控制系統對每階彈性模態穩定性的設計策略，采用優化的方法計算組合陀螺系數矩陣。如控制系統設計仍然采用1～N階彈性模態幅值穩定策略，此時N>n-1，則可以采用如下優化方程計算組合陀螺系數矩陣：

(9)

這里0≤ri≤1(i=1,2,…,N)是第i階組合斜率權重系數，可以按照控制系統穩定性對每階組合斜率的幅值要求選取。當控制系統采用一階相位穩定、2～N階幅值穩定策略，則要求一階組合斜率有明確的符號(不失一般性，這里取負號)，此時計算組合陀螺系數矩陣的優化方程為：

(10)

式中:δ為保證組合斜率符號確定的最小正數，一般可以取比組合斜率不確定度稍大一點。關于不確定度的計算方法將在第2節敘述。

(11)

火箭飛行過程隨著燃料的消耗質量變化，其斜率[w′1],[w′2],…,[w′N]也隨著飛行變化，但利用變化的斜率通過式(7)～(11)獲得變化的組合斜率系數矩陣[α]，組合斜率可以使控制系統彈性振動穩定性在飛行全程有利，而單個陀螺則不容易兼顧飛行全程。

2 組合斜率的不確定度分析

單個速率陀螺的控制系統設計不僅需要給出斜率值而且要求給出斜率的不確定度，對于幅值穩定的模態，要求其不確定度較小，對于相位穩定的模態，要求有明確的正負號，或者說斜率的絕對值應大于其不確定度。由多個速率陀螺的組合斜率也應滿足這一要求，因此需要分析組合斜率的不確定度。

采用多個陀螺的組合斜率，其不確定度來源于參與組合的每個陀螺安裝位置的斜率不確定度。用均方差表示不確定度，利用式(3)可以給出組合斜率不確定度表達式：

(12)

(13)

當控制系統采用一階模態相位穩定方式時，要求一階斜率有明確的符號，用組合斜率時，要求其一階組合斜率的絕對值要大于其不確定度，以保證其符號明確，此時計算組合斜率系數矩陣的優化方程(11)變為：

(14)

3 火箭實例分析

以某運載火箭為例說明多個速率陀螺組合的方法和較單個陀螺帶來的好處。某運載火箭開展了地面全箭動力學特性試驗，試驗在一二級級間段處選擇了一個速率陀螺作為一級俯仰方向的控制敏感元件，記為速率陀螺1，同時在儀器艙慣組上布置了一個速率陀螺測點，記為速率陀螺2，在尾段上布置了一個速率陀螺測點，記為速率陀螺3。試驗時對上述三個陀螺位置測量了前三階俯仰方向模態的斜率。全箭動特性試驗針對6個秒狀態分別開展了模態試驗，測量獲得每個秒狀態的斜率值如表1所示。二階和三階采用幅值穩定，組合系數矩陣計算采用式(14)，利用Matlab中的優化函數fminimax。圖2給出6個秒狀態，單個陀螺、兩個陀螺組合、三個陀螺組合的一階、二階、三階斜率對比，以及不確定度放大系數。因二階、三階只關心斜率絕對值，不關心符號，因此圖中給出的是斜率的絕對值。表2給出了不同秒狀態、不同組合以及不同階次的斜率值。從圖中的二階斜率、三階斜率對比可以看出，2組合斜率值和3組合斜率值較單陀螺斜率值總體上有所降低，但降低幅度在不同秒狀態下有所不同。2組合斜率在100 s時效果最好，二階斜率降低了83%，三階斜率降低了94%，但在121 s和140 s時組合斜率與單陀螺斜率基本相同，組合后效果不明顯。3組合斜率無論是二階還是三階較單個陀螺斜率效果明顯改善，尤其是前4個秒狀態組合斜率值幾乎接近0，只有140 s狀態組合斜率與單個陀螺斜率基本相同，組合效果不明顯。從控制系統設計彈性振動穩定要求看，一階斜率因滿足斜率值與不確定度的約束條件而能夠保證符號的確定性，二階、三階組合斜率值較單個陀螺的斜率值普遍降低，尤其是100 s狀態單個陀螺的斜率值過大，而組合后斜率變得很小，非常有利于控制系統彈性振動穩定性。從不確定度放大系數可以看出，組合后不確定度放大系數除了58 s 的3組合外其余均小于等于1，即使58 s的3組合不確定度放大系數大于1，但也接近1，所以組合斜率不確定度整體上比單個陀螺不確定度是減小的。

表1 試驗測量的三個陀螺位置斜率值Table 1 The mode shape slope in three rate gyroscopes under test

圖2 單陀螺與組合陀螺斜率對比Fig.2 Comparison of mode shape slope between single rate gyroscope and multiple rate gyroscopes grouping

表2 單陀螺與組合陀螺斜率對比Table 2 Comparison of mode shape slope between single rate gyroscope and multiple rate gyroscopes grouping

多個陀螺組合的另一個意義是可以降低對斜率測量不確定度的要求。姿態控制系統彈性振動穩定性設計時不僅要考慮斜率值，還要考慮斜率值的不確定度，當組合方式能夠得到更好的斜率值時，對斜率值的不確定度就可以降低要求，從而降低對試驗的要求，如果斜率不確定度要求降低，則對大型運載火箭可以用子結構試驗替代全箭試驗，甚至未來用計算替代全箭試驗也存在可能性。

4 結 論

1) 本文給出了多速率陀螺組合時組合系數矩陣優化算法，對組合所用速率陀螺數量、控制系統彈性振動穩定性需要考慮的模態數量均沒有限制，更適用于工程應用。

2) 利用多速率陀螺組合，可以獲得比單個速率陀螺更有利于姿態控制系統彈性振動穩定性的斜率，一方面可以降低姿態控制系統設計的難度，另一方面也降低了陀螺選位和振型斜率不確定度的要求，可為未來重型運載火箭不開展全尺寸模態試驗提供支撐。