非線性感應加熱模型的有限元方法

支越

(中國傳媒大學 數據科學與智能媒體學院，北京 100024)

1 引言

感應加熱是一種加熱導體材料(如金屬材料)的方法。在工業中，感應加熱廣泛用于金屬硬化，鍛造預熱。感應加熱系統的基本組件包括感應線圈，交流電源和工件。將線圈與電源連接，電源為線圈提供交變電流，交變電流產生通過工件的交變磁場，利用交變磁場產生渦流，從而達到加熱的效果。

感應加熱的過程非常復雜，因此，對于感應加熱模型的數學分析可以在設計過程中提供有效幫助。感應加熱模型由電磁場方程和熱傳導方程組成。關于線性電磁材料的研究，文獻[1]給出了各種數值計算方案，文獻[2，3]討論了磁熱耦合問題的適定性，給出了理論結果。

文獻[4]中要求矢量勢A滿足無散性，然而文中假設電導率是與溫度有關的函數，這與-?tA無散的性質矛盾。在本文中，通過引入引入矢量勢A，滿足E=-?tA，不考慮矢量勢A無散度的條件，這樣可以避免文獻[4]理論中出現的矛盾；熱傳導方程中選用與文獻[4]相同的Neumann邊界條件。本文將給出非線性感應加熱模型的勢場公式。

2 模型簡介

在渦流區域，麥克斯韋方程組[5]如下：

其中，E是電場，H是磁場，J是總電流密度，B是磁感應強度。

假設H與B之間的非線性關系[4]為

假設電導率σ=σ(u)依賴于溫度函數u，σ是嚴格正的且有界，即存在常數σmin，σmax，使得0<σmin≤σ≤σmax<∞。

在麥克斯韋方程組中，由B的無散性，可以定義一個矢量勢A，令B=?×A，使得?×(E+?tA)=0，E=-?tA。

工件上的感應電流密度為σπE，令Js為線圈中給定的源電流密度，其是Lipschitz連續的。考慮下述電磁場的初始邊值問題：

σπ?tA+?×νM(?×A)=Js，(x，t)∈Ω×(0，T]

A(0)=A0，x∈Ω，t=0

n×A=0，(x，t)∈?Ω×(0，T]

其中A0∈H0(curl，Ω)，Js∈L2(T)，n是?Ω上的單位外法線向量。矢量勢M滿足下列條件

M(0)=0，(M(x)-M(y))·(x-y)≥cM|x-y|2，cM>0，?x，y∈3

|M(x)-M(y)|≤CM|x-y|，CM>0，?x，y∈3

工件上的局部焦耳熱為J·E=σπ|E|2=σπ|?tA|2。焦耳熱項在模型的分析中會產生許多問題，對其引入截斷函數[4]

其中r是正的常數。溫度函數的變化由下述非線性熱傳導方程表示：

?tβ(u)-?·(λ?u)=Rr(σπ(u)|?tA|2)，(x，t)∈π×(0，T]

u(0)=u0，x∈π，t=0

其中，非線性函數β是連續的，導熱系數λ是嚴格正的，有界的，滿足

β(0)=0，|β(x)|≤Cβ(1+|x|)，0<β≤β'(x)，Cβ>0，?x∈，

0<λmin≤λ≤λmax<∞，|λ(x，t2)-λ(x，t1)|≤Cλ|t2-t1|，Cλ>0，?x∈π，?t1，t2∈[0，T]。

3 變分形式

首先給出下文中要用的基本空間及基本定義。

Hm(Ω)空間的范數：

其中m是非負整數，ξ表示非負三重指數。使用黑體表示向量值空間，如L2(Ω)∶=(L2(Ω))3。

變分空間及范數的定義如下：H(curl，Ω)={Q∈L2(Ω)：?×Q∈L2(Ω)}，

應用上述定義，電磁場方程和熱傳導方程的變分形式為：

(σπ?tA，Q)π+(νM(?×A)，?×Q)π=(JS，Q)Τ，?Q∈H0(curl，Ω)，

(σπβ(u)，ψ)π+(λ?u，?ψ)π=(Rr(σπ|?tA|2)，ψ)π，?ψ∈H1(π).

4 時間離散化

設n是一個正整數，將區間[0，T]均勻剖分成n份，其中時間步長為τ=T/n，令

時間半離散格式為：

(σπ(ui-1)δAi，Q)π+(νM(?×Ai)，?×Q)Ω=(JS，i，Q)Τ，?Q∈H0(curl，Ω)，

(δβ(ui)，ψ)π+(λi?ui，?ψ)π-(Rr(σπ(ui-1)|?tAi|2)，ψ)π=0，?ψ∈H1(π)，

在上式中，σπ(u)取上一個時間步ui-1的值，這樣處理可以求解Ai和ui，并不影響收斂結果。

使用單調算子引理[7]，能夠證明時間半離散格式解的存在唯一性。關于Ai和ui的穩定性估計，證明過程較為簡單，證明思路類似文獻[4]。

5 半離散格式收斂性

時間半離散格式的等價形式如下：

6 結論

本文討論了一個感應加熱模型，并提出其勢場公式。在電磁場方程中，將電場化為矢量勢形式。使用向后歐拉法，得出時間半離散格式。關于時間半離散格式的收斂性，其證明過程較復雜，證明思路類似于文獻[4]。