有限差分法在電阻率測井中的應(yīng)用

王鵬飛，田 豆，王 軻

（1.西安石油大學(xué)，陜西 西安 710065；2.陜西省油氣井測控技術(shù)重點實驗室，陜西 西安 710065）

在電阻率測井中，傳統(tǒng)的一維建模缺乏對三維地層建模的能力，而三維建模數(shù)值計算方法形式復(fù)雜，計算時間較長，對計算機性能要求較高。為了快速、準(zhǔn)確地計算復(fù)雜地層的電導(dǎo)率，建立一種模擬三維電阻率測井的二維地層電阻率測井模型。

1 構(gòu)建有限差分模型

假設(shè)電磁波沿y軸方向均勻傳播，則一般的導(dǎo)波結(jié)構(gòu)可以表示為

為了抵消時間變化因子 ejωt，式 （1） 與 （2）中沿y方向的導(dǎo)數(shù)使用來代替，本文以下關(guān)于y方向的導(dǎo)數(shù)都用-jk來表示。

已知麥克斯韋方程

對電磁場分量進(jìn)行歸一化則可以得到

通過沿傳播方向方向進(jìn)行傅里葉變換，將場矢量和源矢量從時域轉(zhuǎn)換為頻域，將三維問題轉(zhuǎn)化為二維問題，有限差分法使用Ex，Ev，Ez和Ex，Ev，Ez分量對2D空間中的磁（或電） 偶極子的場進(jìn)行建模。

對函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換，得

其中f（y） 表示電場強度E、磁場強度H、電流密度J、磁化強度M。

在交錯的Yee網(wǎng)格結(jié)構(gòu)中，各電場分量位于網(wǎng)格單元棱邊，各磁場分量位于網(wǎng)格單元面中心。

在應(yīng)用有限差分法進(jìn)行建模計算時，其仿真時間不但取決于2D建模計算方法的復(fù)雜度，而且與逆傅里葉變換的正交點數(shù)相關(guān)，點數(shù)越多，計算時間越長。我們通過截斷積分來提高積分效率，設(shè)置積分區(qū)間為 [-kym，kym]，kym為最大場振幅的0.1%。

求解（10）式可得時域電磁場分量。

2 數(shù)值模擬計算

為了對交錯網(wǎng)格有限差分法及計算效果進(jìn)行驗證，我們在MATLAB平臺上構(gòu)建數(shù)值計算地層模型，分別構(gòu)建了地層斷層模型以及地層裂縫模型。首先對本文提出的算法進(jìn)行驗證。

圖1 2.5D與1D數(shù)值解對比圖

圖1為均質(zhì)三層地層模型與1D模型視電導(dǎo)率計算結(jié)果對比圖。圖1中兩曲線基本重合，有限差分法數(shù)值計算結(jié)果正確。

圖2為不同的傅里葉逆變換正交點數(shù)數(shù)值解與解析解視電導(dǎo)率對比圖，通過綜合對比計算精度與計算時間，本文中所有模型的Ky數(shù)值定為81。

設(shè)計一種地層斷層模型進(jìn)行計算，設(shè)計的模型二維剖面如圖3所示。其中目的層電阻率R2=R5=10Ω·m，圍巖電阻率 R1=R3=R4=R6=1Ω·m，儀器工作頻率為f=20kHz，收發(fā)間距為L=1m，采樣間隔為0.4m，計算域為40m。目的層厚H=4m，斷距h=1m，a為斷層傾角。儀器位于上目的層中沿x方向水平移動，穿過斷層界面到達(dá)下目的層，模型中儀器初始位置位于上目的層z方向中間位置；儀器到達(dá)下目的層后，距上邊界1m，距下邊界3m。

圖2 數(shù)值解與解析解對比圖

圖3 斷層剖面示意圖

圖4為不同斷層傾角a的斷層視電導(dǎo)率曲線。圖4中曲線表明，當(dāng)斷層傾角a越小，儀器穿過斷層面時的視電導(dǎo)率越?。浑S著a的不斷增大，斷層面處的視電導(dǎo)率隨之增大，“犄角”不斷變小，直至消失。曲線中“犄角”現(xiàn)象的出現(xiàn)是因為斷層傾角小，斷層面處下目的層對上目的層產(chǎn)生影響，導(dǎo)致視電導(dǎo)率下降；當(dāng)傾角變大時，這種影響逐漸減弱，當(dāng)傾角為80°時，下目的層的影響完全消失。當(dāng)儀器進(jìn)入下目的層時，視電導(dǎo)率增大，出現(xiàn)這種結(jié)果的原因是因為儀器在進(jìn)入下目的層后，儀器與目的層和圍巖邊界的距離變小，受到圍巖影響的效應(yīng)增強，導(dǎo)致下目的層的視電導(dǎo)率增大。

圖4 斷層視電導(dǎo)率

利用三層地層水平井?dāng)?shù)值計算結(jié)果。其中模型計算域為40m，目的層厚為4m，目的層電導(dǎo)率為σt=0.1s/m，圍巖電導(dǎo)率為σs=1s/m，儀器工作頻率為f=20kHz，收發(fā)間距為L=1m，采樣間隔為0.4m。圖4中曲線在目的層與圍巖交界面處因角度以及采樣間隔過大的原因出現(xiàn)“犄角”效應(yīng)。此結(jié)果表明應(yīng)用有限差分法進(jìn)行水平井探測，層邊界明顯，計算效果好。

3 結(jié)語

在對復(fù)雜地層進(jìn)行電磁測井時，一維模型難以構(gòu)建復(fù)雜三維地層，三維模型又存在結(jié)構(gòu)復(fù)雜，計算矩陣規(guī)模巨大，計算消耗時間長，對計算機性能要求高。本文在MATLAB軟件平臺上應(yīng)用提出交錯網(wǎng)格有限差分法能夠很好的以二維的形式模擬三維地層建模，對地層中的斷層有著很好的探測效果，能夠真實、準(zhǔn)確的反映地層電導(dǎo)率。計算時間與三維計算軟件COMSOL相比大幅減少，表明交錯網(wǎng)格有限差分法形式簡單、計算效率高。