數學+：數學深度學習的有效載體

佘路祥

所謂“數學+”，即圍繞某個主題將小學數學學科內外相關聯的內容進行跨界整合，構造學習內容的交叉地帶，推進融通創生，以問題解決為目的，以提升數學素養為追求，引領學生開展深度學習的一種數學學習思維載體。

畢達哥拉斯學派認為“在一切平面圖形中，圓是最美的”，“圓的認識”這節課可用“尋美”作主線，從外形美、內在美、構造美、應用美四個方面對圓展開研究，通過“數學+生活”“數學+實踐”“數學+語文”“數學+審美”等形式，改變學習方式，豐富學習體驗，引領學生經歷一段充滿張力的思維旅程。其教學過程如下。

一、觀察比較，感受圓的外形美

師：（出示生活中的圓）這些物體上有圓嗎？生活中你還在哪里見到過圓？看到圓，你有什么感受？古希臘數學家曾說：在一切平面圖形中，圓是最美的。（出示常見平面圖形）這些是我們已經認識的平面圖形，和它們相比，你覺得圓究竟美在哪里？

生1：圓沒有角，其他圖形有角。

生2：圓的線條很柔和，它的邊是一條彎曲的線，其他圖形的邊都是直的線段。

生3：圓非常飽滿，象征著圓滿。

……

師：同學們觀察得很仔細，圓是一種曲線圖形，柔和、飽滿、勻稱，圓的外形確實很美。

設計意圖：“數學+生活”引發學生對“圓是最美的”探究欲望，通過與其他平面圖形進行對比，初步感知圓的外形美，從尋美的角度為新課展開做好鋪墊。

二、操作思考，體驗圓的內在美

1.操作

師：圓的外形為什么這樣美呢？讓我們一起走進圓的內部，探索其中的秘密。請拿出圓形紙片，沿不同的方向對折，你有什么發現？

生1：我發現圓對折后能完全重合，它是一個軸對稱圖形，折痕就是它的對稱軸。

生2：我發現這些折痕的長度都相等。

生3：這些折痕都相交于一個點。

生4：每條折痕的兩個端點到圓中心的長度是相等的。

師：真了不起！發現了這么多秘密！這些折痕所在的線段是圓的直徑，用字母d表示，這些直徑相交的點是圓心，用字母O表示，從圓心到圓上任意一點的線段是半徑，用字母r表示。

2.思考

師：一個圓的直徑和半徑分別有多少條？它們之間有怎樣的關系呢？

生1：沿任意方向對折都能折出一條直徑，所以直徑有無數條，半徑是直徑的一半，半徑也有無數條。

生2：我測量后發現這個圓的直徑都相等，半徑也相等。

師：古人把圓的這個特征叫作“一中同長”。你能理解這四個字的含義嗎？

生1：“一中”就是一個中心，也就是一個圓心，“同長”就是半徑都一樣長。

生2：“同長”除了表示半徑相等，也可以表示直徑相等。

師：因為有了“一中同長”的特征，使得無數個離圓心距離相等的點匯聚成了一條完美的曲線，這樣一來圓的外形還能不美嗎？

設計意圖：通過觀察、操作、推理等活動，引導學生自主發現圓的特征，并歸納得出“一中同長”的本質屬性。“數學+操作”順應了學生探索圖形特征的認知方式，走出了先用圓規畫圓再探索“一中同長”特征，導致出現循環論證、虛假發現的教學誤區。

3.延伸

師：（出示圖1）這個圓內畫了4條線段，哪條線段最長？

生：直徑最長。

師：你是怎么知道的？

生：我是看出來的，也可以量一量。

師：觀察、測量可以知道結果，其實推理也能幫我們進行判斷。從圓心畫兩條半徑和④號線段構成一個三角形，有沒有受到什么啟發？繼續觀察，和③號線段也構成一個三角形（見圖2）。有什么想說的？

生1：因為三角形兩邊之和大于第三邊，這兩條半徑的和大于③號線段的長。

生2：兩條半徑拉直了就是一條直徑，所以直徑比其他線段都要長。

師：由此可見，連接圓上兩點的線段中，直徑最長。

設計意圖：探究圓上最長線段時，淡化了傳統的用直尺固定一點，旋轉比對的方法，從圓跨界到三角形，借助三角形的三邊關系進行推理，學科內部縱向聯通，凸顯數學內在的邏輯演繹，引領學生進行深度學習。

三、探究作圖，體會圓的構造美

1.啟發

師：如果我們要畫一個圓，運用什么工具才能畫出具有“一中同長”特征的圓呢？

生1：用圓規來畫圓。

生2：先把圓規的兩只腳叉開，然后把針尖固定在紙上，捏住手柄旋轉一周就能畫一個圓。

師：能說說理由嗎？

生3：圓規針尖對應的點就是圓心，兩只腳之間的距離就是圓的半徑，滿足“一中同長”的特征。

師：除了用上面的方法，我們可不可以創造一個工具來畫圓呢？

生4：把直尺的一端固定，另一端裝上筆，旋轉一周就可以畫一個圓。

生5：把棉繩的一端固定，然后拉直，另一端套上鉛筆旋轉一周就能畫圓。

生6：握緊兩支筆，一支筆的筆尖固定做圓心，另一支筆轉一圈就行了。

師：真不簡單，想到這么多種方法，這些方法是不是都能成功畫圓呢？每人選擇一種方式，嘗試畫一個圓。

2.交流

師：我們用不同的方法畫圓時，分別要注意什么呢？

生1：用圓規畫圓時兩腳之間的距離不能變化。

生2：用棉繩畫圓時，固定的一端一定不能動，畫的過程中繩子要拉緊，不能松，不然就做不到“一中同長”，也就畫不成圓了。

3.內化

師：如果把棉繩換成皮筋，也能畫圓嗎？誰來試一試。

生：皮筋有彈性，畫圓時長度會變化。

師：看來要想成功畫圓，必須滿足“一中同長”的特性。

設計意圖：學生提出用圓規或圓形物體可以畫圓后，要求學生創造一種畫圓的工具，讓“數學+實踐”打開學生思維，畫圓不一定用圓規，感悟不同畫法之間的共同屬性。而后讓學生用有彈性的皮筋畫圓，一番努力之后不能成功，在對比沖突中感受畫圓時定點和定長的必要性，深刻感悟圓的構造之美。

四、實例分析，理解圓的應用美

1.研究

圓在生活中有著廣泛的應用，各種車輪，很多蓋子都設計成圓形，這是為什么呢？請學生拿出車輪模型和奶粉罐，開始研究。

2.交流

師：哪一組來匯報車輪的研究結果？

生1：車輪設計成圓形，滾動時摩擦力比較小，所以滾得快。

生2：我發現車軸安裝在圓心，車輪轉動時車軸與地面的距離相等，從而比較平穩。

師：車輪設計成圓形應用了圓的什么特征呢？

生：圓心到地面的距離就是圓的半徑，用了同一個圓的半徑都相等的特征。

師：奶粉罐的蓋子為什么設計成圓形呢？

生1：圓沒有棱角，不容易傷到小朋友。

生2：不管從哪個角度，都能很容易把蓋子蓋上去。

師：這又是應用了圓的什么特征呢？

生1：直徑是圓上最長的線段。

生2：同一個圓的直徑都相等。

設計意圖：能用數學知識解釋生活現象是學習數學的理想境界，選擇車輪和蓋子兩種素材，放手讓學生去研究為什么設計成圓形，“數學+實踐”培養了學生應用數學的能力。學生的回答不全是數學角度的，借助課件演示，很快就能悟出其中蘊含的數學原理，上升到圓的應用之美，對接生活，實現跨界。

五、總結提升

1.回顧并拓展

（課件依次出示風旋渦、水旋渦、樹干截面、鳥窩）圓是美的圖形，美在外形、美在內在、美在構造、美在應用，圓的美風知道、水知道、樹知道、鳥兒也知道。（課件依次出現和圓有關的詞語、詩句、名言、數學思想）圓的美還在于思美、言美、詩美……圓的美還期待著同學們去探索、去發現！

2.延伸

出示實踐作業：（1）測量一棵大樹的直徑。（2）做一個尺規可以畫大小不同的圓。

設計意圖：課尾從數學上的圓到自然現象中的圓再到文學作品中的圓，“數學+自然”“數學+語文”“數學+審美”，引領學生打破學科壁壘，從數學之外觀察圓，感悟圓的美，再回到圓出于方、化圓為方等數學思想。實踐作業以期學生學以致用，帶著問題離開課堂，去追尋更美的境界。

“數學+”作為數學深度學習的有效載體，正是通過跨界整合、融通創生，重組學習材料，優化學習資源，改變學習方式，向寬處行，促深處思，使數學學習不再停留于各種具體的知識和技能，注重通過數學學會思維，幫助學生學會學習，成為學習的主人，為學生的終身成長奠基。

（作者單位：江蘇省如皋師范學校附屬小學）

責任編輯：肖佳曉

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