一類完全四階邊值問(wèn)題解的存在性

陳雪春，李永祥

（西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 蘭州730070）

考慮完全四階邊值問(wèn)題(BVP)

解的存在性，其中f:[0,1]×R4→R 為連續(xù)函數(shù)。邊值問(wèn)題(1)描述了兩端簡(jiǎn)單支撐的靜態(tài)彈性梁形變的數(shù)學(xué)模型。其中u′(t)表示隅角，u′(t)表示彎矩，u′′(t)表 示 剪 切 力 剛 度，u(4)(t)表 示 密 度 剛 度。根據(jù)兩端點(diǎn)的受力情況，這種描述又被分為若干類型的邊值問(wèn)題。而問(wèn)題(1)在物理學(xué)中有重要的理論意義，得到了該類問(wèn)題特殊情形的一些結(jié)果[1-13]。

對(duì)非線性項(xiàng)不含任何導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的簡(jiǎn)單四階邊值問(wèn)題：

已有一些研究成果[1－4]。

對(duì)非線性項(xiàng)僅含彎矩項(xiàng)u′(t)的特殊四階邊值問(wèn)題：

文獻(xiàn)[5-8]在非線性項(xiàng)滿足適當(dāng)?shù)脑鲩L(zhǎng)條件下，運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)定理獲得了BVP(3)解的存在性。文獻(xiàn)[9-10]運(yùn)用上下解方法討論了BVP(3)解的存在性。文獻(xiàn)[11-12]在非線性項(xiàng)非負(fù)的情形下，運(yùn)用錐上的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論和Krasnoselkii 不動(dòng)點(diǎn)定理討論了BVP(3)正解的存在性。

對(duì)完全四階邊值問(wèn)題(1)，由于u′(t)與u′′(t)變號(hào)引起的困難，上述研究特殊邊值問(wèn)題(3)的方法不再適用，已有的研究工作很少。只有LI 等[13]在邊值問(wèn)題(1)的非線性項(xiàng)滿足一次增長(zhǎng)條件下運(yùn)用Leray-Schauder 不動(dòng)點(diǎn)定理研究了BVP(1)解的存在性和唯一性。

受上述研究的啟發(fā)，本文將文獻(xiàn)[9-10]中關(guān)于邊值問(wèn)題(3)的上下解方法推廣到一般邊值問(wèn)題(1)。相比已有研究，本文對(duì)非線性項(xiàng)的增長(zhǎng)條件不作任何限制，也不假定非負(fù)的情形，在f (t,x0,x1,x2,x3)關(guān)于x3滿足Nagumo 型條件下，運(yùn)用截?cái)嗪瘮?shù)技巧和上下解方法討論了BVP(1)解的存在性。

1 主要結(jié)果

定義1設(shè)v0(t)∈C4(I)，若v0(t)滿足

則稱v0(t)為邊值問(wèn)題(1)的下解。若式(4)中均取反向不等式，則稱其為上解。

定理1設(shè)f:[0,1]×R4→R 為連續(xù)函數(shù)，BVP(1)存 在 下 解v0及 上 解w0，w0′≤v0′。若f 滿 足 下 列條件：

(H2) 存在[0,∞)上的正值連續(xù)函數(shù)H(ρ)，滿足

使得

其中，

則BVP(1)至少存在1 個(gè)解滿足v0≤u ≤w0,w0′≤u′′≤v0′′。

2 預(yù)備知識(shí)

記I=[0,1]，C(I)表示定義在I 上的全體連續(xù)函數(shù)按范數(shù)構(gòu) 成 的Banach 空間，對(duì)?n ∈N,Cn(I)表示定義在I 上的全體n 階連續(xù)可 微 函 數(shù) 按 范 數(shù)構(gòu)成的Banach 空間。

引理1設(shè)v0,w0∈C4(I)分別為完全四階邊值問(wèn)題(1)的下解與上解。若v0′′≥w0′′，則v0≤w0。

證明令u(t)=w0(t)-v0(t)，則有

由中值定理可知，存在t1∈[a,t0)及t2∈(t0,b]，使得

再對(duì)u′(t)用中值定理，存在t3∈(t1,t2)，使得

引理2設(shè)

滿足w0′′≤u′′≤v0′′，則

證明對(duì)?u ∈D,t ∈I，有

因此

引 理 3設(shè) f ∈C(I×R4,R) 連 續(xù)。 對(duì)存 在 常 數(shù) ai≥0,i=0,1,2,3，和C ＞0,使得a0+a1+a2+a3＜1，并且f 滿足

則邊值問(wèn)題(1)至少有1 個(gè)解。

該引理的證明可參見(jiàn)文獻(xiàn)[13]定理1。

3 主要結(jié)果的證明

定理1 的證明由假設(shè)(H2) 的式(7)知，存在M ＞0，使得

則函數(shù)η1，η2：I×R →R 連續(xù)，且滿足

作f (t,x0,x1,x2,x3)的截?cái)嗪瘮?shù)

則f*:I×R4→R，連續(xù)有界。

由引理3，修改后的邊值問(wèn)題

有解，u0∈C4(I)。

下證w0′≤u0′′≤v0′′。

先 證u0′≤v0′。 反 設(shè)u0′′＞v0′。 考 查 函 數(shù)φ(t)=v0′′(t)-u0′′(t)， t ∈I。 由 于 φ(0)≥0，φ(1)≥0，因此φ(t)＜0，則存在t0∈(0,1)，使得

按最小值點(diǎn)的性質(zhì)φ′(t0)=0，φ′(t0)≥0，可得

根據(jù)定義1 和式(5)有

與式(11)矛盾!因此

由引理1 可知，v0(t)≤u0(t)≤w0(t)，t ∈I。由引理2 知，|u0′(t)| ≤N，t ∈I。

再 證|u0′′(t)| ≤M，t ∈I。反 設(shè)|u0′′(t)|＞M，由中值定理可知，?t1∈[0,1]，使得u0′′(t1)=0。由最大值定理，存在t2∈[0,t1)或t2∈(t1,1]，使得

下分4 種情形證明：

情形(i)（其他情形類似可證），令

由u0′′(t)的 連 續(xù) 性 及 上 下 確 界 的 定 義 可 知，t1≤且

由 于u0′′(t)＞0，上 式 兩 邊 同 乘u0′′(t)，并 在上積分，可得

令ρ=u0′′(t)，則有

即

與式(9)矛盾!故|u0′′(t)| ≤M，t ∈I。

因此，按f*的定義，有

故u0(t)為BVP(1)的解。

例1 考慮完全四階邊值問(wèn)題:

相應(yīng)地，非線性項(xiàng)為

所以w0(t)為邊值問(wèn)題(12)的上解。

下證f 關(guān)于v0，w0滿足條件(H1)，(H2)。

所以當(dāng)0 ≤x0時(shí)，

因此,f 滿足條件(H1)。

又因?yàn)閒 (t,x0,x1,x2,x3)關(guān)于x3是二次增長(zhǎng)的，易取二次增長(zhǎng)函數(shù)H(ρ)使得f 滿足條件(H2)。由定理1，方程(12)至少有1 個(gè)解u，滿足