NSD 序列生成的移動平均過程的矩完全收斂性

高云峰，鄒廣玉

（1.吉林農業科技學院電氣與信息工程學院，吉林吉林132101； 2.長春工程學院 理學院，吉林長春130012）

0 引言及主要結果

NA 隨機變量最早由JOAG-DEV 等[1]提出，在可靠性理論、滲透理論及多元分析中有廣泛的應用[2]。HU[3]最早在超可加函數的基礎上引入了NSD隨機變量，并舉例說明 NSD 推不出 NA。CHRISTOFIDES 等[4]進 一 步 指 出,NA 能 推 出NSD，表明NSD 序列是包含獨立和NA 序列在內的一類很廣泛的相依序列。HU[3]進一步舉例說明橢球等高分布、排列分布、多項分布、多元超幾何分布、Dirichlet 分布等在一定條件下都具有NSD 序列的性質，因此，研究NSD 序列的極限性質具有一定意義。關于NSD 序列的最新成果可參見文獻[5-9]。

定義1[1]如果對于集合(1,2,…,n)的任何2個不相交的非空子集A 與B，都有

其中f 與g 是任何2 個使協方差存在且對每個變元均非降(或同為對每個變元均非升)的函數，則稱隨機向量X =(X1,X2,…,Xn)為負相協的(negatively associated, 簡 稱NA)。 如 果 對 于 任 意 的n ≥1,(X1,X2,…,Xn) 為NA 的，則 稱 隨 機 變 量 序 列{ Xn,n ≥1}為NA 的。

定義2[3]如果對任意的x=(x1,x2,…,xn)，y=(y1,y2…,yn)∈Rn有

其中，x ∨y=(max(x1,y1),…,max(xn,yn))，x ∧y=(min(x1,y1),…,min(xn,yn))，則稱函數φ:Rn→R 為超可加的。

定義3[3]如果滿足

其中，X*1,X*2,…,X*n為相互獨立的隨機變量，且對任意的i,X*i和Xi有相同的分布，φ 為超可加函數且期望存在，則稱隨機向量X =(X1,X2,…,Xn)為負超可加相依的（negatively superadditive dependent,簡稱NSD）；如 果 對 于 任 意 的n ≥1,(X1,X2,…,Xn) 為NSD 的，則稱隨機變量序列{ Xn,n ≥1}為NSD 的。

定義4如果對任意的λ＞0，滿足

則稱定義在[ A,∞)上的實值正函數l(x)為在無窮遠處的緩變函數。

定義5如果存在正常數C，使得對所有的x ≥0,-∞＜i ＜∞，有

則稱{Yi,-∞＜i ＜∞}為被隨機變量Y 控制的隨機變量序列。

完全收斂是概率極限理論研究的熱點之一，最早由HSU 等[10]提出，自21 世紀初以來，眾多學者對NSD 序列的收斂性進行了研究[11-19]，但大多是關于部分和加權和的，由NSD 序列生成的移動平均過程的矩完全收斂性的研究至今未見，為此，筆者進行了初步研究，得到以下主要結果：

定 理1設p ≥1,α ＞1/2,{Yi,-∞＜i ＜∞}為被隨機變量Y 控制的NSD 隨機變量序列，滿足當1/2 ＜α ≤1,EYi=0 并 且 當 p ＞1 時 ，E|Y|pl(|Y|1/α)＜∞,當p=1 時，E|Y|1+δ＜∞，對某個δ ＞0，其中l 為在無窮遠處的正值緩變函數，記{ai,-∞＜i ＜∞}為一絕對可和的實數序列，Xn=，那么對任意ε ＞0，有

定理2設1≤p ＜2,{Yi,-∞＜i ＜∞}為被隨機變量Y 控制的NSD 隨機變量序列，滿足EYi=0 和E|Y|pl(|Y|p)＜∞，其中l 為在無窮遠處的正值緩變函數，設{ai,-∞＜i ＜∞}為一實數序列，滿足其 中，當 p=1 時，θ ∈(0,1)，當p ∈(1,2)時，θ=1。記那么，對任意ε ＞0，有

由上述矩完全收斂性可立即得到：

推論1在定理1 的假設條件下,對任意ε ＞0，有

在定理2 的假設條件下, 對任意ε ＞0，有

特別地，當EYi=0 和E|Y|p＜∞時，可推得Marcinkiewicz-Zygmund 強大數定律，即

注1令a0=1,ai=0,i ≠0，顯然{ai}絕對可和且Xn=Yn，因此，上述定理和推論對NSD 序列的部分和也成立。推論1 中的式(4)推廣 了 文獻[12]中的定理3.1，從1≤p ＜2,α ＞1/2,αp ＞1 推廣到p ≥1,α ＞1/2,αp ＞1；式（5）即為文獻[12]中的定理3.2。所以本文推廣了已有的結論。

注2如果{Yi,-∞＜i ＜∞}是同分布的NSD 隨機變量序列，那么，定理1、定理2 和推論1 仍成立。

注3由于NSD 序列包含獨立和NA 序列，因此，定理1、定理2和推論1 對獨立和NA 序列仍然成立。從而本文將文獻[20-21]中從獨立和NA 序列的結論推廣至NSD 序列。

1 定理的證明

在本節中，C 表示正常數，不同的地方可表示不同的值。首先介紹在證明過程中要用到的幾個引理。

引 理1[2]如 果(X1,X2,…,Xn) 是NSD 的，g1,g2,…,gn都 是 非 降 函 數 ，那 么 (g1(X1),g2(X2),…,gn(Xn))也是NSD 的。

引理2[11]設{Yi,i ≥1}為一零均值的NSD 隨機變量序列，滿足E|Yi|p＜∞,其中p ≥2。那么存在正常數Cp，使得

引理3[22]如果l 是一緩變函數，那么

(1)對任意的s ＞-1 和正整數m,有

(2)對任意的s ＜-1 和正整數m,有

引理4[23]設隨機變量序列{Yi,-∞＜i ＜∞}被隨機變量Y 控制，那么對任意的a ＞0,b ＞0，-∞＜i ＜∞，存在正常數C1，C2，使得

定理1 的證明首先證明式（1）。記

若1/2 ＜α ≤1，注意到αp ＞1，這意味著p＞1。由題設條件E|Y|pl(|Y|1/α)＜∞和緩變函數的性質可知，當0 ＜ε ＜p-1/α 時，有E|Y|p-ε＜∞。再 注意到EYi=0,由引理4 可推得

因此當x ＞nα充分大時，

從而

接 下 來 證 明 I1＜∞。 注 意 到 |Y(2)xj|＜|Yj|I {|Yj|＞x }，由Markow 不等式和引理4 知，

如果p＞1,則αp-1-α ＞-1,由引理3 知,

如 果p=1，注 意 到 對 任 意 的0 ＜δ′＜δ，由E|Y|1+δ＜∞, 可 知 E|Y|1+δ′l(|Y|1/α)＜∞，由 引理3 知,

由上述討論可知，

下 證I2＜∞。由Markow 不 等 式、Ho¨lder 不 等式、引理2，對某個r ＞2 有

對于I21，如果p ＞1，取r ＞max {2,p}，由Cr 不等式、引理3 和引理4 知，

對 于I21，如 果p=1，取r ＞max {1+δ′,2}，其中0 ＜δ′＜δ。類似式（10）的證明，可知

對于I22，如果1≤p ＜2，取r ＞2，注意到αp+r/2-αpr/2-1=(αp-1)(1-r/2)＜0，由Cr 不等式、引理3 和引理4 知，

對 于 I22，如 果 p ≥2 取 r ＞(αp-1)/(α-1/2)＞2，易推得α( p-r)+r/2-2 ＜-1，類似式（12）的證明過程，可知

聯立式（7）～（13），可知式（1）成立。

接下來證明式（2），由引理3 和式（1）可知,

定理1 證畢。

定理2 的證明和定理1 式（1）的證明類似，此略。