基于積分權波動率的已實現GARCH模型研究及應用

劉懿瑤 韋睿心 蘇嘉煒

摘? ?要：波動率是對資產價格的波動程度和風險大小的衡量。對波動率的研究有利于更深入地理解金融市場的運動規律。文章基于跳躍擴散過程，在已實現測度中引入GM積分型權函數，結合已實現的GARCH模型，改進已實現GARCH模型的波動率估計，平滑跳躍對估計值的影響，更有效地描述中國股票市場的波動情況。

關鍵詞：已實現GARCH;已實現波動率;VaR

1? ? 波動率概述

波動率是對資產價格的波動程度和風險大小的衡量。對波動率的研究有利于更深入地理解金融市場的運動規律，對維持金融機構和金融系統的穩定性具有重要意義。早期學者對波動率的研究主要是通過GARCH，SV等模型。GARCH類模型被廣泛應用于估計市場波動的動態特征，但傳統的GARCH類模型往往是基于低頻數據建立的，低頻數據包含的有效信息有限，對于波動率快速變化的情況無法進行及時有效的反映。

近年來，高頻金融數據已被廣泛應用于金融行業，且比低頻數據包含更多的信息，大量研究開始使用日內高頻數據來獲得更為準確的已實現波動率，并提出各種波動率模型和已實現波動率測度，包括已實現方差，已實現核方差，已實現雙冪次變差等，例如Barndorff-Nielsen等[1]提出的HEAVY模型。同時，許多研究開始將各種已實現波動率帶入GARCH模型以獲得能對未來的波動作出及時反應的模型，例如Engle[2]提出的GARCH-X模型，Engle和Gallo[3]提出的模型被稱為乘法誤差模型（MEM）。Hansen等[4]在傳統的GARCH模型的基礎上，引入已實現測度方程，提出了Realized GARCH 模型，該模型改進了傳統的GARCH模型的預測能力。

本文基于跳躍擴散過程，在已實現測度中引入GM積分型權函數，結合Realized GARCH模型，改進Realized? GARCH模型的波動率估計，平滑跳躍對估計值的影響，更有效地描述中國股票市場的波動情況。

2? ? Realized GARCH模型

相較于其他估計波動率的高頻數據模型，RGARCH模型有結構簡潔，參數易于估計，可以降低微觀結構噪音造成的估計誤差（Watanabe，2012），充分描述了收益率和已實現波動率的動態變化等優點。

RGARCH（1，1）模型可以表示為：

（1）

（2）

（3）

其中，rt是均值為0的收益率序列，而zt是服從標準正態分布的隨機擾動，zt～N（0，1），μt～N（0，σ2μ ），且zt和μt相互獨立。

σt=var（rt|t -1）為條件方差，t -1=σ（rt -1，xt -1，…）是在t時刻可獲得的信息集，xt為已實現波動率測度，τ（zt）是杠桿函數（Hansen等，2011），其作用是描述波動率與收益率之間的非對稱關系，并采用如下函數設定：τ（zt）=τ1zt+τ2（z2t-1），其中，Eτ（zt）=0。

模型中的前兩個式子分別為均值方程和方差方程，分別描述了條件方差σt 對收益率rt的影響，以及前期的條件方差σt -1和前期已實現波動率xt -1對條件方差σt 的影響。這兩個式子構造了類似于GARCH-X的模型，其中X表示將xt作為外生變量處理。（3）式則被稱為度量方程，因為xt是ht的一種度量，該式刻畫了已實現波動率與條件方差之間的關系，并通過引入杠桿函數τ（zt），表示收益率在大小和方向上都對未來波動有影響。

3? ? 已實現波動率

設某一資產在i時刻對數收益率為ri，將每個交易日N等分，時間間隔δ =1/N代表了采樣頻率，則已實現波動率為：

（4）

有學者研究出，當采樣頻率δ→0時：

（5）

其中，積分波動率，表示離散的跳躍方差。

當資產價格出現跳躍行為時，Kristensen[5]提出可以通過二次冪變差來減弱跳躍對估計量的影響，得到二次冪變差核估計量（kernel bi-power variation）。在Kristensen的基礎上，本文引入GM積分型核權函數，得到二次冪變差積分權核估計量（integral-weighted bi-power variation），如下：

（6）

其中，0=t0

Δn=ti-ti-1=，i=1，2，…，n κ1=E|U|=，U～N（0，1），

Kh（x）=K（x/h）/hK（x）為核函數，h>0為給定的窗寬。該估計量對資產價格的跳躍行為是穩健的，無論資產價格是否存在跳躍行為，該估計量都可以被用來估計瞬時波動率[6]。

4? ? 實證

本節將把二次冪變差積分權核估計量（IBV），帶入Realized GARCH模型對我國股票市場的高頻金融數據進行分析。本文選取格力電器2019年9月30日至2019年11月29日，共40個交易日的1分鐘數據，因此，共有9 640個觀測點。

4.1? 描述性統計量

格力電器的描述性統計量。由表1中的偏度、峰度可知，該股票的收益率分布呈現明顯的負偏和尖峰厚尾的特征，而Kolmogorov-Smirnov檢驗（KS檢驗）結果也說明收益率并不服從正態分布，將偏t分布作為模型的條件分布可能更接近實際情況。此外，表中的Ljung-Box檢驗（LB檢驗）的結果則說明該股票收益率存在自相關性和異方差，進一步證實使用GARCH類模型的合理性[7]。

本文所使用的兩種已實現波動率測度均值和標準差等值均無明顯差別。圖1為該股票的對數收益率及兩種已實現波動率測度。

4.2? 模型估計結果

本節為模型估計的結果。本文對模型的估計主要使用R語言及Alexios Ghalanos開發的R語言rugarch包（Univariate GARCH models），表2為格力電器的參數估計結果[8]。

4.3? VaR預測

本文采用固定窗口一步向前滑動的方法估計樣本外VaR的值。估計窗口長度為500，通過滑動預測獲得500個樣本外的1%VaR預測值（2019年12月3日至2019年12月4日）。表3給出了VaR失敗率和兩個后驗測試檢驗統計量的p值，覆蓋水平為1%。（無）條件覆蓋率檢驗的原假設為在給定顯著性水平上（本文為1%），VaR失敗率近似于0.01，則可認為模型產生了有效的VaR估計。若檢驗統計量的p值小于1%，則拒絕原假設。可知，該模型通過后驗測試檢驗，是一個有效的市場風險預測工具。

5? ? 結語

Realized GARCH模型簡潔而高效，本文引入的二次冪變差積分權核估計量，可以作為傳統已實現波動率測度的替代，使模型更為穩定，平滑了跳躍對估計的影響。實證中也發現，引入該估計作為波動率測度的模型，也通過了覆蓋率有效檢驗，說明該模型是一個有效的風險預測工具，在數據波動較為劇烈時可能有更好的表現。

[參考文獻]

[1]BARNDORFF N，SHEPHARD N.Estimating quadratic variation using realized variance[J].Journal of Applied Econometrics，2002（17）：457-477.

[2]ENGLE R.Dynamic conditional correlation：a simple class of multivariate generalized autoregressive conditional heteroskedasticity models[J].Journal of Business and Economic Statistics，2002（3）：339.

[3]ENGLE R，GALLO G.A multiple indicators model for volatility using intra-daily data[J].Journal of Econometrics，2006（1）：3-28.

[4]HANSEN P，HUANG Z，SHEK H.Realized GARCH：a joint model for returns and realized measures of volatility[J].Journal of Applied Econometrics，2012（6）：877-906.

[5]KRISTENSEN D.Nonparametric filtering of the realized spot volatility：a kernel-based approach[J].Econometric Theory，2010（1）：60-93.

[6]蔣偉，顧研.基于廣義已實現測度的Realized GARCH模型改進及應用[J].數量經濟技術經濟研究，2019（7）：156-173.

[7]徐志.基于已實現GARCH類模型的股票市場VaR研究[D].蚌埠：安徽財經大學，2019.

[8]周思娟.基于跳躍行為的已實現GARCH-HAR-RV模型的中國股市波動性研究[D].成都：西南交通大學，2018.

Realized GARCH incorporating kernel weight realized volatility

Liu Yiyao， Wei Ruixin， Su Jiawei

（School of Mathematics and Statistics， Guangxi Normal University， Guilin 541004， China）

Abstract：Volatility is a measure of fluctuation and risk of asset prices. The study of volatility is conducive to a deeper understanding of the laws of movement of financial markets. Based on the jump diffusion process， this paper combines the GM integral-type weight function with the realized GARCH model ， and reduces the impact of the jump on the estimated value to more effectively describe the Chinese stock market fluctuations.

Key words：realized GARCH; realized volatility; VaR