親歷概念形成 走向數學本質

李志 何昌斌

解讀教材：

“負數”概念對于小學生來說比較抽象，《數學課程標準（2011版）》要求學生“在熟悉的生活情境中，了解負數的意義，會用負數表示日常生活的一些量”。負數在生活中應用廣泛，教材例1通過中央電視臺發布的6個城市某一天的氣溫預報，讓學生先認識負數，知道負數的讀法和寫法，并借助某一時刻具體的溫度，初步理解負數所表示的含義。例2通過存折明細中存入和支出的對比，進一步體會正數、負數可以表示兩種相反意義的量。例3安排一個活動情境，在一條直線上，從一點向兩個相反方向行走，可以用正數、0和負數表示行走的距離和方向，從而完善數軸的基本模型。知道每一個數在數軸上都有一個點與之對應，滲透數軸的概念，形成數的比較完整的認知結構，感受數形結合的基本數學思想。

研究歷程：

第一次教學活動：

教者在研究了人教版教材，查閱大量文獻資料的基礎上，獨立設計，完成第一次教學。她的總體思路是學生在天氣預報視頻播放的過程中找到負數和正數（-5℃和+5℃），在溫度表中表示;接下來在6個城市的天氣預報中找到比5攝氏度高的溫度，比負5攝氏度低的溫度，初步感知理解負數，理解0攝氏度是零上溫度和零下溫度的分界點，通過溫度對比讓學生初步理解相反意義的量;然后從生活中的正、負數中選擇有代表性的四組，讓學生自己探究，再通過研究過程中出現的相反意義的詞語歸納概括正、負數的意義，最后介紹負數歷史、知識應用和總結。

在溫度中初步認識和感知正、負數：

師：這是中央電視臺的天氣預報，老師摘出視屏資料里的幾個城市的天氣情況。觀察這幾個城市的天氣預報，你發現了什么？（學生有些懵。）

生1：有的數字前面有個減號，表示零下溫度。

生2：海口的最高氣溫是18攝氏度。

生3：南京的氣溫是-2 度 到6度。

師：像剛才同學們用來表示零下溫度的-3是負數。（板書：負數。）這個“-”表示負號，-3讀作負三。如：-3攝氏度表示零下3攝氏度，讀作負三攝氏度;比0攝氏度高的溫度叫零上溫度，在數字前面加“+”（正號），一般情況下可省略不寫。如：18攝氏度，23攝氏度。（板書兩個正數。）18攝氏度表示零上18攝氏度，讀作正十八攝氏度，也可以寫作18攝氏度，讀作18攝氏度。

師：你能在溫度計上找到-5和5嗎？（課件上出示沒有刻度的溫度計。）

生：老師，我覺得在這里不能找到這兩個溫度。

師：為什么？

生：因為沒有0攝氏度。

師：（課件出示刻度表中刻度數字。）現在呢？

生：（學生指）5攝氏度是比0攝氏度高的溫度;-5攝氏度是表示比0攝氏度低的溫度。（學生指溫度，課件顯示。）

師：0在這里是什么作用呢？

生：0把零上溫度和零下溫度分開。

師（補充）：也就是高于0攝氏度是零上溫度，低于0攝氏度是零下溫度，對嗎？

生：對。

師：是的，0攝氏度就是淡水開始結冰的溫度。剛才同學們找的5攝氏度和-5攝氏度，哪個溫度更低一些，為什么？

生：-5攝氏度更低一些，-5攝氏度比0攝氏度溫度還低，5攝氏度是比0攝氏度更暖和的溫度，所以-5攝氏度的溫度更低一些。

師：在這一時期內，有比負5攝氏度還低的溫度嗎？

生：有銀川、哈爾濱，這一時間內，最低氣溫最低的是哪個城市呢？

師：是多少？（-27攝氏度。）他們該穿什么？（課件出示穿厚衣服和薄衣服進行對比。）

師：這一時間內，最高氣溫最高的是哪個城市呢？是多少？

生：臺北。

師：這里的學生穿什么？

生：23攝氏度，穿短袖。（課件出示溫度計和衣服。）

接下來就是找生活中的負數，表示生活中的四組負數。和今天是一樣的，就是在四組負數之后多了一個辨析環節，即練習題的第四題。

…………

第一次課后研討

課后研討中，大家認為從目標達成來看，基本實現了預設的目標;從學習活動上來看，學生的主體地位得到了體現。學生在自主探究生活中四個負數意義活動中非常投入，通過畫圖、語言、等方式充分理解了負數;從教學活動上看，重點突出，學生在研究溫度、表示四組負數的含義和概念辨析中逐漸理解了負數的意義。學生經歷從實際生活中發現、提出、分析和解決問題的過程，體會數學在日常生活中的作用，也理解并發現了正數和負數是兩種表示相反意義的量。

但是，研修團隊討論認為：本節課把教學重點放在了學生的探究活動，理解正、負數意義內涵中，忽略了正數、負數的形成過程。課堂從導入的生活素材中找到負數，再在溫度表中表示負數、理解負數這一環節也就是第一個活動（教學例1）完全遵從了教材的安排，學生從生活中找到負數——在溫度表上指出負數——說負數的含義，沒有讓學生經歷負數的產生形成過程，沒有為學生建構負數的概念的過程。他們對負數概念的理解是在第二個活動中才逐漸深刻的，所以學生對負數理解在第一個活動中只停留在表象，天氣預報導入的這個素材沒有發揮到它應有的作用。

針對這一問題，團隊給出的建議：我們在負數教學時一定讓學生感受到需要用負數，負數才產生，一定要經歷負數的抽象、形成、概括的形成過程，學生才能對負數有深刻理解。應該讓學生經歷從語言表示正、負溫度到用簡潔明了的形式表示用正、負溫度數。讓學生感受負數是因為我們需要才產生的，教師帶著學生經歷負數的產生過程，才能讓學生對負數有深刻的理解。

大家的研討帶給筆者很深的觸動和思考。對教材有了質疑以后，筆者查閱北師大版、蘇教版教材，對三個版本的教材進行了橫向梳理。發現三個版本的教材都以溫度為主要情境引入正負數，但在處理上是不同的。

人教版是直接出示溫度（正、負數寫法），讓學生在溫度計上找溫度并理解正、負數的含義。

北師大版（四年級上冊）是出示溫度的文字敘述方式，讓學生想辦法表示兩個溫度，學生在溫度計上表示——用箭頭等符號——再到正數和負數，也是經歷了一個概念的形成過程，從而認識正數和負數。（類似以上教學片段。）

蘇教版（五年級上冊）是出示三個城市的圖片，并一個圖片配一個溫度計，讓學生自己觀察，并說出發現了什么。學生先從溫度計上認識零上溫度和零下溫度，再揭示零上溫度用正數表示，零下溫度用負數表示，從而認識正數、負數。

從教材梳理中，筆者有以下思考：人教版安排在六年級下冊，編者是不是認為學生已經有了科學學科的學習基礎和以往的生活經驗，以為對溫度中的負數認識就簡單容易，所以才看到溫度（用正、負數表示的溫度）來解釋正、負數的含義，但實際上這樣教學學生并沒有理解。是地域的差異？還是學生的認知基礎的差異？概念教學不讓學生經歷概念的產生形成過程，只讓學生在活動中理解概念的含義是符合學生學習的認知規律嗎？

再者：數軸是本節課的后續學習，怎么恰當把握本節課的教學要求，給后續學習做好思維鋪墊呢？

帶著這樣的思考，筆者進行了二次備課，將原有的思路調整為：讓學生在聽溫度、找溫度、表示溫度、對比優化表示方法中感受負數的形成過程，讓學生在思考、操作、對比、觀察、優化的過程中，深刻認識負數在溫度中的應用，從而在第一個教學環節中對負數有清晰深刻的認識。從教學實際情況來看，二次課堂實踐發生了如下變化：

第二次教學活動：

在溫度中初步認識和感知正、負數：

師：這是中央電視臺天氣預報中的一段視頻。請大家仔細聽，看看你能得到哪些數學信息？

生1：北京是零下9度到2度。

生2：天津的最高氣溫和最低氣溫是零下5攝氏度和5攝氏度。（出示卡片。）

師：你能在這里找到零下5攝氏度和5攝氏度嗎？（出示黑板右邊沒有刻度的溫度計。）

生：不能。

師：為什么？

生：因為沒有0攝氏度。

師：也就是說找5攝氏度和零下5攝氏度首先要確定哪個溫度？

生：在這中間找一個刻度當成0攝氏度。

師：（標上0）可以嗎？（師再標上刻度）現在能來指一指這兩個溫度嗎？

生：（邊指邊說）5攝氏度比0攝氏度高5度，在0攝氏度的上面找出5攝氏度;零下5攝氏度是比0攝氏度低5度，在0攝氏度的下面找出5攝氏度。（卡片貼在這里。板書：高于、低于。）

師：（把5攝氏度換成零下5攝氏度的卡片。）也就是說5攝氏度是零上5攝氏度，是嗎？

師：零上5攝氏度可以在這里嗎？（指著零下5攝氏度的地方。）為什么？

生：因為5攝氏度是比0攝氏度高的溫度，應該在比0攝氏度高5度的地方。

師：零下5攝氏度可以在這里嗎？（指著零上5攝氏度度的地方。）為什么？

生：因為零下5攝氏度是比0攝氏度低5度的地方，應該在比0攝氏度低5度的地方。

師：0在這里是什么作用呢？

生：0有分界的作用，高于0攝氏度是零上溫度，低于0攝氏度是零下溫度。

師：是的，0攝氏度就是淡水開始結冰的溫度。我們以0攝氏度為分界點，比0攝氏度高5度的溫度是零上5攝氏度，比0攝氏度低5度的溫度是零下5攝氏度。

師：那么，除了用文字敘述表示這兩個溫度，你能用更簡潔的方式記錄這兩個溫度嗎？（拿兩張卡片貼在黑板中間。）

（學生試著寫一寫，找人寫在黑板上。）

生1：三角符號。

生2：箭頭。

生3：+5攝氏度? ?-5攝氏度。

師：說說你是怎么想的？

師：看這三種，你更喜歡哪一種？為什么？

生：加號、減號表示更清楚，而且是以0攝氏度為標準，更形象。

師：是呀，這樣表示確實簡潔形象。我覺得大家真的是有當數學家的潛質。同學們，（指-5 ）這樣的數是負數，前面的小短橫是符號，讀作負5（教讀）;比0攝氏度高的溫度是零上溫度，在數字前面加“+”，讀作正號，一般也可以不寫。讀作5攝氏度。

進一步感受正數和負數。

師：這個溫度你能用剛才創造的形式表示出來嗎？（師出示卡片：-19℃? ?+20℃，學生說老師寫。）

師：-19℃和-5℃相比，誰更低呢？能說說嗎？

生：-19℃是比0℃低19度的溫度，5攝氏度是比0℃高5度的溫度，所以-19攝氏度更低一些。

師：+20攝氏度和5攝氏度相比，誰的溫度更高一些？

生：+20℃是比0℃高20的溫度，5℃是比0℃高5度的溫度。所以20攝氏度更高一些。

師：在-19攝氏度的這一天，學生穿什么？

生：棉襖。（課件出示。）

師：+20度這一天呢？

生：短袖。

師：20℃比-19℃高多少度呢？

生：20攝氏度是比0攝氏度高20度的溫度，-19攝氏度是比0攝氏度低19度的溫度。20+19=39，20攝氏度比-19攝氏度高39度。

師：真了不起。

二次研討中，大家充分肯定了筆者的設計思路，認為本次課堂教學目標明確，思路清晰，重點突出，負數經歷了從產生到形成的過程。概念經過直觀感知——建立表象——揭示本質的過程，學生深刻理解了正數、負數概念的含義，尤其是學生的思維，積極活躍，主動性更強。同時，也提出了一個新問題：溫度示意圖中左邊是以0為分界點，上面和下面的數字一樣，而右邊是+5℃和-5℃，是不是有些不妥，而這個圖不是真正意義上的溫度計，是不是能把溫度示意圖變成學生學習數軸的一個思維啟發點呢？

再者總結正、負數是表示相反的兩個量之后，再來概念辨析顯得有些零碎，應把這一環節調整到練習環節，一氣呵成，準確把握概念的生長點、連接點，形成概念體系。

第三次教學活動：

根據大家的建議，第三版的教學設計，筆者調整為：在學生第一個互動的第二個片段匯報中，教師適時加上正號和負號。在課結束的時候讓學生想象假如把這個溫度計 倒過來，變成了什么，接著動畫演示，旨在學生的心目中做一個知識的延伸點，為接下來的學習做好準備，并把概念辨析環節調整到練習應用環節，增強教學的有效性，使學生在不斷擴展的認識中逐步形成概念網絡。

從課堂實踐情況來看，第三版的教學設計體現了概念的產生、形成、內化、應用的過程，層層深入，更重要的是讓本節課的知識也得到延伸，為下節課的學習做了鋪墊。以下是課堂教學中的片段：

感知正、負數：

在指明了兩個簡潔的方式是正數和負數后：

師：那這個溫度你能用剛才創造的形式表示出來嗎？（師出示卡片。）

-19℃? ?+20℃

師：-19℃和-5℃相比，誰更低呢？能說說嗎？

生：-19℃是比0℃低19度的溫度，5攝氏度是比0℃高5度的溫度，所以-19攝氏度更低一些。

師：這個地方就應該是-10℃、-20℃、+5℃ +10℃ 。（師在刻度上補充負數和正數。）

師：+20攝氏度和5攝氏度相比，誰的溫度更高一些？

生：+20℃是比0℃高20的溫度，5℃是比0℃高5度的溫度，所以20攝氏度更高一些。

師：在-19攝氏度的這一天，學生穿什么？

生：棉襖。

師：（課件出示。）+20度這一天呢？

生：短袖。

師：20℃比-19℃高多少度呢？

生：20攝氏度是比0攝氏度高20度的溫度，-19攝氏度是比0攝氏度低19度的溫度。20+19=39，20攝氏度比-19攝氏度高39度。

師：真了不起，我要為大家的思考探究能力點贊。

從三次課堂實踐、三次研討中看出，第三次的教學設計真正讓學生體驗了概念的形成過程，讓學生親身經歷了概念是因為需要產生，教學目標的定位更加準確，重點更加突出，更注重了學生思維能力的培養，更突出了學生的主體地位;更加關注了概念的產生、需要、形成、內化、應用的發展過程;幫學生建構了完整的知識體系，加深學生對數概念的理解，認識數系擴充的必要性，抓住了概念教學的本質屬性。

反思成果：

人們常說：“教學有法，教無定法，貴在得法。”確實，教學方法可以不同，但教學內容的內涵實質必須把握住。我們一致認為：概念學習的本質把握，應落腳在概念內涵意義上。

1.經歷概念的形成過程。核心環節教學活動的組織，不管是設計怎樣的活動，都要讓學生在自主參與中經歷概念的形成過程。

2.深化概念的本質內涵。對負數意義的把握要注重整體結構的把握，要在探究素材的選擇、知識靈活應用環節巧妙設計，抓住概念的內涵和外延，注重豐富學生對概念的認識。

3.體驗概念的價值意蘊。負數概念的建構具有特殊性，從熟悉的生活情境中來，進一步理解內涵，抽象至數學模型后，又回歸于生活情境中的應用。這樣動態推進的概念學習核心環節與層層遞進的后續練習，后續活動也是對概念實質把握的漸進與深化過程。且時時刻刻都在培養學生的數感，讓學生體驗著負數概念的價值意蘊，為后續學習做好了準備。

編輯/魏繼軍