大學食堂管理優化模型

李洋 白著華 張森 李明珠 孫夢亞 陳麗娟

[摘? ? 要] 對學校食堂的經營方案、飯菜的科學優化搭配、順暢高效的就餐服務秩序這三個問題進行了研究，分別建立線性規劃模型、非線性規劃模型、遺傳-粒子群優化算法、 M/M/1 排隊模型、蒙特卡羅概率模型進行求解，以實現食堂與師生利益的雙贏。

[關鍵詞] 非線性規劃;遺傳-粒子群;M/M/1;蒙特卡羅

doi ： 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2020. 03. 050

[中圖分類號] F224? ? [文獻標識碼]? A? ? ? [文章編號]? 1673 - 0194（2020）03- 0123- 03

2? ? ? 優化模型的分析與建立

從食堂利潤最大化角度建立線性規劃模型，將菜品滿意度作為新目標函數，繼而建立師生對菜品滿意度的最大化模型，最后再結合這兩個模型建立食堂效益最大化線性規劃數學模型，通過模型求解結果分析，力求食堂與師生的雙贏。

2.1? ?食堂效益線性規劃數學模型約定

自助餐16種菜品分別記為Aj（j=1，2，3，…，16），每種菜品的質量對應分別為xj（j=1，2，3，…，16）;共有10種原材料Mi（i=1，2，3，…，10）;在各種菜品中的每種原材料用量可記為aji（第i種原料在第j種菜品中的質量）;每種菜品的利潤Zj（j=1，2，3，…，16）;就餐師生對每種菜品的滿意度記為Kj（j=1，2，3，…，16）; 食堂每日供應原材料記為Pi（i=1，2，3，…，10）。

2.2? ?食堂利潤最大化問題

將利潤最大化函數作為目標函數，這樣得到的線性規劃模型。

2.3? ?食堂菜品滿意度最大化問題

在每日供應原材料限制的條件下實現師生對食堂菜品滿意度最大，得到的線性規劃模型。

2.4? ?食堂菜品整體效益最大化問題

在食堂利潤最大化模型基礎上修正約束條件，把師生對菜品總體滿意度定在原材料量的限制下，建立師生對菜品滿意度的約束條件而得到新的規劃模型。

目標函數為食堂利潤最大化函數：

3? ? ? 基于線性規劃的遺傳粒子群菜品搭配優化模型

根據食物種類、食物所含的營養成分、食物實際價格、食物的滿意度以及菜品的擺放位置等約束條件建立非線性規劃模型，然后利用遺傳-粒子群算法進行優化，并利用MATLAB 進行求解，從而給出滿足多種約束條件和需求的營養膳食搭配方案。

3.1? ?非線性規劃模型建立與求解

假設有N種食物，分別用n1，n2，…，ni，…，nN來表示，其中1≤i≤N。N種食物的攝入量用x=[x1，x2，…，xi，…，xN]來表示。N種食物共含M種營養成分。對于M種營養成分，某人群每天需攝入總量用B=[b1，b2，…，bj，bM]表示，其中1≤j≤M，且bj表示某人群每天需要攝入的第j種營養成分。N種食物所含的M種營養成分用A=[A1，A2，…，Ai，…，AN]T表示，其Ai可表示為Ai=[Ai1，Ai2，…，Aij…AiM]，且Aij表示第i種食物所含的第j種營養成分。

收集資料得16種菜品提供的3種營養成分（每百克含量）。

由16種菜品所含營養成分的數據以及師生每天對每種營養成分的攝入量需求，建立以下數學模型。

A1jx1+A2jx2+…+Aijxi+…+ANjxN=bj（9）

用向量的方式表示上式則為以下矩陣方程：

Ax=B（10）

考慮到菜品的實際價格、滿意度擺放位置以及營養成分等因素建立優化模型，可以實現兼顧打菜時間、打菜滿意度、營養均衡以及實際價值最大的配菜優化方案。使所打菜品的滿意度盡量高，走動距離和實際價格盡可能小，建立如下優化目標以及約束條件，如式（11）所示：

式中，C取0或1，當C=0時表示不打這種菜，C=1時表示打這種菜。Ci，xi（i=1，2，…，n）表示n種配菜原料中第i種菜品的實際價格和配比;ximin表示第i種菜品的下限，ximax表示第i種菜品的上限; j=1，2，3時，Aji分別表示第i種菜品的營養成分;α為價格折算因子，可以根據實際情況計算得出;bj表示各營養成分;Si表示第i種菜的實際價格，其計算公式為：

Si=自助餐單價-第i種菜品的利潤（13）

3.2? ?遺傳-粒子群優化模型建立

配菜過程中剩余量的影響具體表現在單種菜品的配比約束上，每種菜品配比必須在所設定的區間內，否則會發生“缺菜”或“剩菜”現象。根據自助餐某種菜質量所占總質量的比確定每人所打這種菜所占比例的范圍，同時，各種菜的配比之和必須為1，不然不具備現實意義。以原料數目設立解空間，則1個配方能夠映射為解空間中的1點，即粒子所在位置，初始粒子群須要滿足以下條件：

其中pij表示第i個粒子第j維上的位置，vij表示第i個粒子第j維上的速度。這樣的初始粒子群在算法迭代過程中，能夠確保初始粒子的適應度函數中p1=p2=0，并且在迭代的過程中，依然可以保持p1=0，由此提高了解的可行性。

由配菜的優化目標與約束條件可采取罰函數的形式來設計預配料適應度函數， 將可約束的優化問題轉變成無約束的優化問題：

4? ? ? 仿真實例分析

假設某同學不吃A4、A7、A9、A11、A16菜品，由此規劃一份合理的飯菜搭配方案。分別計算出A1、A2、A3、A5、A6、A8、A10、A12、A13、A14、A15所占的比例，為了避免“剩菜”和“缺菜”，規定每種菜所占比例上下浮動30%為其打菜的上下限。

利用上面的原理和表中的數據，用MATLAB進行仿真試驗，GA-PSO遺傳操作交叉概率Pc=0.3、變異概率Pm=0.05，C1=C2= 2，w= 0.8。根據以上參數， 得到基本 PSO和GA–PSO算法2 000次內的適應度收斂。 若適應度值越低， 說明配比的適應程度越高。

最終得出的最優配菜的評價結果為92.263 71。各個菜品所占比例為：A2，0.25;A5，0.31;A8，0.21;A12，0.23。

4.1? ?蒙特卡羅概率模型

總的打飯時間為T總=T排+T飯（T排表示排隊所需要的時間，T飯表示打飯所需要的時間），T排取決于每個人前面的排隊人數，T飯取決于每個人打菜的數量和最后一個菜的位置。

自助餐飯菜的擺放位置如圖1所示。

0? ? ? 引? ? 言

各學校食堂為了給師生提供更好的服務紛紛推出自助就餐業務項目。為實現學校食堂飯菜的科學優化搭配、營造良好的就餐服務秩序等，在滿足食堂與師生利益雙贏的效益目標下，本文給出該項業務的優化經營方案，包括以某種方式向就餐師生預先提供有價值的信息等，供經營方和就餐師生使用。

1? ? ? 數據搜集

通過搜集數據得到某高校食堂16種菜品的滿意度，如表1所示。

由經驗可得兩人打飯時間間隔在[3，6]上均勻分布（單位均勻分布），分布隨機數可以由MATLAB軟件通過編程直接產生。其分布密度函數為：

4.2? ?實例分析

隨機選定某同學排隊位置為第10個，且其規劃的菜單為A2、A5、A8、A12，則其打菜之前的排隊時間為前9個正在打菜的人依次打菜結束時的時間間隔之和，其時間間隔利用MATLAB中的Randperm函數，完成不重復的重排采樣，即得到9個服從[3，6]的隨機數，分別為4.5、4.8、5.4、4.6、3.7、3.9、5.8、4.5、3.5，可得排隊時間為T排=40.7秒。假設，

于是可得其整個打飯過程中所耗費的總時間為：

T總=T飯+T排=40.7+91=131.7 s（27）

主要參考文獻

[1]莫寶慶，馬婷.南京市大學生食物搭配的影響因素[J].現代預防醫學，2018，45（20）.

[2]榮杰，劉宏宇.做好高校食堂營養搭配均衡的策略淺析[J].大家健康，2015（9）.

[3]中國營養學會.中國居民膳食營養素參考日攝入量 [J].營養學報，2001（2）.

[4]陳傳賚.排隊論.[M].北京：北京郵電學院出版社，1994.