合力與兩分力夾角的函數圖像研究

熊安麗

(上海市奉賢中學,上海 201499)

1 問題

在高一力的合成教學中,發現這樣一類問題,即給出兩個大小不變的共點力的合力F隨兩分力夾角θ的變化曲線,要求出兩分力的大小分別為多少．這時會出現有的題目解出的分力情況完全相同,但所配的F-θ曲線卻截然不同,例如圖1和圖2,兩分力的解均為一個力4 N、一個力3 N．

雖然圖線形狀對求解沒有什么影響,但物理是一門科學嚴謹、探索求真的學科,F-θ的函數圖像到底是什么形狀、有何規律,筆者決定一探究竟．[1]

圖1 配圖實例1

圖3 F1、F2合力的示意圖

2 探究

2.1 F-θ的函數關系

設任意兩個共點分力的大小為F1、F2,兩分力的夾角為θ,則由平行四邊形定則及幾何知識易求得其合力F的大小與夾角θ的函數關系為

(1)

2.2 兩分力4 N、3 N的F-θ的曲線

圖4 兩分力4 N、3 N的F-θ曲線

由圖可看出:兩分力4 N、3 N的合力F-θ曲線的特點是,當θ=π/2或3π/2時,曲線并不與該點處的豎直輔助線相切,所以圖1錯誤.另當θ=π時,曲線與該點處的水平輔助線相切,呈現平滑的下凹型,并不如圖2那般有明顯地向下尖端,因此圖2也錯誤．那么,是否所有的F-θ曲線都是圖4這般模樣,不同分力的F-θ曲線會不會有所不同?筆者決定進一步研究．

2.3 F-θ曲線的其它實例

為便于對比,接下來的實例筆者選取的是研究“同向相加后合力均為7 N”的兩分力的合力F-θ曲線,用幾何畫板或EXCEL軟件均可依次作出兩分力大小分別為“6.5 N、0.5 N”、“6 N、1 N”、“5.5 N、1.5 N”、“5 N、2 N”、“4.5 N、3.5 N”、“4 N、3 N”和“3.5 N、3.5 N”的F-θ曲線(如圖5),可發現曲線具有一定的規律性:即當θ=0時,合力始終最大,為F1+F2;在θ∈(0,π)范圍內,合力F都是隨兩分力夾角θ的增大而減小;當θ=π時,合力始終對應最小,為|F1-F2|;在θ∈(π,2π)范圍內,合力F也都是隨兩分力夾角θ的增大而對稱地增大;當θ=2π時,合力又都達最大值F1+F2,符合預期的判斷．[3]另有新的發現,即在兩力之和一定的情況下,兩分力大小相差得越大,曲線越平緩;兩分力大小越相接近,曲線則越陡峭,下凹明顯且下凹處逐漸變得尖銳．

圖5 F-θ曲線其它實例

圖6 各曲線的拐點位置及該點切線

并且F-θ曲線的彎曲程度即斜率也呈一定的規律性,考慮到曲線的對稱性,現僅討論θ∈[0,π]范圍內的曲線規律,易發現F-θ曲線(除兩分力相等的那條之外)在[0,π]的范圍內均隨θ的增大先逐漸下彎并越來越陡,后又會逐漸平緩,直至趨于水平．各條曲線上是否有斜率的極大值點,會有多少個極大值點,可借助幾何畫板或EXCEL軟件進一步研究．用幾何畫板可直接右鍵點擊F-θ函數,選擇“導數”,得出F′-θ函數關系式并作F′-θ圖,找出(0,π)范圍內F′(θ)的負的極大值位置,但由于筆者所用幾何畫板版本的問題,它無法直接顯示點的坐標,而人工估讀誤差較大,所以筆者主要利用EXCEL軟件列表計算F-θ曲線上各點的斜率值F′(θ)來研究,并且發現在θ∈(0,π)的范圍內,F′(θ)均為負值且每條F-θ曲線的F′(θ)值僅有一個負的極值點,找出其所對應的θ角,即可確定每條F-θ曲線上的斜率最大值點的大致位置并作出該點切線(如圖6),在[0,2π]范圍內的F-θ曲線斜率的特點可歸納為表1.

表1 F-θ曲線斜率的特點

上述結論具有一定的指導意義,對于任意兩個力的F-θ曲線該如何畫,特別是如何彎曲,可參照圖5中某條適當的曲線對F軸進行一定比例的壓縮或拉伸而得．但是,這個結論又不夠具有普適性,因為EXCEL表格中θ角取值的有限性,以及應用π計算時取值的精確性,都導致拐點的位置無法準確確定,且每對應一條任意大小的兩分力的F-θ曲線,均需要列出大量數據表格才能大致找出拐點,非常繁瑣而困難,因此筆者嘗試在更具有普遍意義的函數通項式上研究．

2.4 F-θ曲線的理論研究

為方便研究,設任意大小的兩分力F1、F2,且F1≥F2>0,其F-θ的函數關系及大小變化趨勢不再贅述,接下來

(1) 研究F-θ曲線的斜率,可對其求導,得

(2)

(2) 研究斜率的變化規律和拐點位置,可對F′(θ)函數再求導并化簡,得

(3)

圖7 y關于x的函數曲線

圖8 F-θ斜率最大時，力的合成矢量三角形

3 歸納

根據以上的理論推導,可得出F-θ曲線的一些規律,即任意大小的兩個分力F1、F2,若F1≥F2>0,則其合力F-θ曲線在[0,π]范圍內應經過4個特殊狀態點,各狀態點所對應的分力夾角θ值、合力F值、曲線斜率F′(θ)的情況.

① 兩分力同向.θ=0,F=F1+F2,F′=0.

易見,曲線在①、③點之間為上凸,③、④點之間為下凹．拐點③的位置隨F1、F2的取值不同而在(π/2,π]區間內移動,F2的值相對F1越小,拐點角θ拐就越小,可無限逼近π/2;F2與F1大小越接近,θ拐越大,當F1=F2時,拐點角最大,為π．即拐點③在②、④兩個點之間,③點只能逼近②點而不能與②點重合,因為要與②點重合就要F2=0,而討論F2=0時的合力沒什么意義,因為合力始終為F1;但③點可以與④點重合,即當兩分力的大小相等時,此時曲線沒有下凹段,在θ=π附近呈現“V”字型．

4 應用

應用上述總結的規律,可以驗證2.3中所舉的實例．首先,各曲線的凹凸趨勢完全符合理論分析,下面著重說明[0,π]范圍內應用理論計算各拐點坐標的方法,并與圖6中各拐點的坐標作對比(如表2).

仔細觀察并對比拐點坐標的EXCEL計算值和理論計算值,會發現幾乎全部都一致,但是有一些誤差,這主要是因為EXCEL作圖需列出數據表格,再建立函數進行計算．在列出分力夾角θ項時,本人只精細到每隔1°=(1°/180°)×3.141592654rad取一個點,因此取點不夠密集,在尋找斜率負極大值點時導致不夠精確,而且在計算時應用到π值進行角度換算時,本人取的是π=3.141592654,也導致了數據的不完全精密,特別是在兩分力相等時,EXCEL取點不能無限地逼近θ=π,導致拐點的位置確定和斜率計算誤差相對較大．總之,用EXCEL軟件來研究拐點的位置是比較麻煩而難以精確的,但是用理論推導則方便、精確得多．另外,F-θ曲線在[π,2π]范圍內的拐點坐標可利用函數圖像的對稱性直接求出:θ拐′=2π-θ拐=π+arccos(F2/F1),此拐點的縱坐標與[0,π]范圍內的拐點的縱坐標相等,非常容易和快捷．

表2 F-θ曲線拐點坐標的理論檢驗

目前許多參考書及題庫網站上涉及到這類問題時所配的F-θ圖像都是明顯錯誤的,望筆者的研究能為各位同行和同學提供一點幫助．