隨機環境中受控分枝過程的極限性質

譚珂,陳曄,王玉蘋

(1.長沙理工大學 數學與統計學院,湖南 長沙,410114;2.湖南文理學院 數理學院,湖南 常德,415000)

分枝過程是用來描述種群進化的數學模型,其增長或衰減受概率分布的影響。隨機環境中受控分枝過程是經典分枝過程(也稱Galton-Waston過程)在理論和應用上一個重要的推廣。1984年,Holzheimer[1]首次引入了隨機環境中受控分枝模型,并研究了其滅絕概率性質;王潔等[2]證明了隨機環境中具有隨機控制函數的受控分枝過程是時齊馬氏鏈和隨機環境中的馬氏鏈,并對其概率母函數及矩量進行了討論;方亮等[3]研究了變化環境中帶有隨機控制函數的受控分枝過程經過正規化后其極限的收斂速率;李應求等[4]討論了隨機環境中受控分枝過程在適當正規化下的收斂性質;李德如等[5]給出了隨機環境為平穩遍歷的受控分枝過程滅絕的充分條件和過程增長率的一個上界。關于隨機環境中受控分枝過程更多的研究結果詳見文獻[6-9]。本文借鑒文獻[10]中研究矩問題的方法,建立了隨機環境中受控分枝過程矩的漸進性和調和矩的存在性。

1 模型描述

設(Ω,?,P)為概率空間,(Θ,B)為可測空間,是(Ω,?,P)上取值于(Θ,B)的隨機變量序列,和{pi(θ) ：θ∈Θ}是關于i∈N的概率分布列。記Pξ(·)=。設{?n(k) ：n,k∈N}是定義在N上的一族隨機函數,具有一維概率分布Q(ξn;k,i)=Pξ(?n(k) =i),i∈N。

定義1[4]設上取值于N的隨機變量序列,是定義在N上的一族隨機變量序列,且滿足：(i)N+;(iv)給定環境ξ,條件獨立;則稱{Zn：n∈ N} 是隨機環境ξ中受控分枝過程(簡記CBPRE)。

在上述模型定義中,Zn+1和Xn,i與經典分枝過程的含義相同,即表示第n+1代粒子總數和第n代第i個粒子產生的后代數;函數φn(·)表示在第n代粒子產生后代的過程中實施控制,如果φn(k) =i,則說明當第n代粒子數為k時,參與下一代后代繁衍的粒子數為i,函數?n(·)有效域為正實數,給定環境ξ,Xn,i與Zn相互獨立。

2 符號和基本假設

3 主要結果及其證明

本節利用條件Jensen's不等式證明了隨機環境中受控分枝過程Zn的矩的漸進性、調和矩的存在性。

由定義1,先計算Zn的條件期望。

3.1 矩的漸進性

定理1令, 假設E[Z1α]＜ ∞ ,(1)若α≤1, 則極限

關于n非增,此外,;(2)若α＞1,則極限

關于n非降,且cZ′(α)≥ 1 。

3.2 調和矩的存在性