基于數據選擇的非負自適應濾波算法

王紫璇

自適應濾波器是現代數字濾波器中重點的研究方向，和傳統的濾波器不同，由于它可以在信號統計特性未知的情況下進行自適應學習，跟隨信號與噪聲的變化，因此目前已被廣泛應用于信道均衡和回聲消除等數字信號處理領域。

系統辨識是自適應濾波器的一個重要的方向，它可以用來估計系統的參數向量。自適應濾波器基本存在兩種不同的方法，一是隨機梯度下降法(Stochastic Gradient Approach)和最小二乘法(Least Square)，但它們的本質是求解無約束條件下的算法。非負性條件約束下的自適應濾波算法，本質上是求解條件約束下的最優化問題。條件約束下最優化問題是目前研究的熱點，例如非負最小二乘[1]、非負矩陣分解[2]等應用。對于此類問題，常常用到廣義化的拉格朗日乘子法，即KKT(Karush-Kuhn-Tucker)條件。

近年來，學者們對非負自適應濾波算法進行了較多的研究。2016 年，Chen 等人提出了非負最小均方算法(Nonnegative least mean square,NNLMS)以及一系列算法[3]，解決了非負最小二乘存在的批處理實時性差的問題，進而豐富了自適應濾波器的理論，拓展了自適應濾波器的研究范圍。之后，學者們又提出了許多改進的NNLMS算法，例如指數非負最小均方算法(Exponential NNLMS)[4]和非負最小四階矩算法(Nonnegative least mean fourth,NNLMF)[5-6]和基于零范數的非負最小均方算法(l0-NNLMS)[7]。

然而，這些算法均使用了全部的輸入信號和噪聲信號數據，使得其計算量較大。因此，學者們提出了一些基于數據選擇的自適應濾波算法，例如DS-AP 算 法、DS-LMS 算 法[8]、DS-LMSN 算 法、DSLMSQN 算法[9]和DS-DLMS 算法[10]等，提升了自適應濾波算法的性能。但是，目前對于非負自適應濾波算法的數據選擇研究尚屬空白。本文將數據選擇應用于非負自適應濾波算法當中。該算法首先以推導出的非負自適應濾波算法為基礎，并利用數據選擇的方法提升算法的性能。最終，采用計算機仿真試驗來進行驗證。實驗證明，該算法在很好地減少計算量的同時，仍具有和原先算法同樣的性能。

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1 算法推導

1.1 非負自適應濾波算法

圖1 節點參數向量自適應辨識框圖

自適應濾波算法正是通過最小化均方誤差來進行迭代更新，使權值向量逼近未知系統權向量w*，進而得到最佳權值的。文獻[3]求解出了在非負性約束條件下節點的定點迭代公式。在非負性約束條件下，系統的最優權向量滿足：

根據上文可知，NNLMS 算法迭代公式為：

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滑帶土(T1d)④(圖2、圖3)：灰褐色，為粉質粘土和強風化泥灰巖碎石組成，可塑，很濕，無搖振反應，干強度及韌性中等，層厚0.40～0.50 m。巖土力學性質詳見表1。

圖1 為節點參數向量自適應辨識框圖。在非負性約束條件下的系統辨識中，將未知系統的權向量表示為，M為系統的抽頭個數。系統的期望信號滿足：

Η(k)的邊界構成一個超平面。迭代時，我們需要檢查之前 w(n)的估計值是否在約束集的外面[11]，即是否滿足：

將式（4）代入式（5）可得：

非負性約束條件下的迭代公式推導基于以下兩點：一、對于任何正定矩陣D，一定會有的方向與的 方向一致；二、一定可以得出基于以上推導，可得非負性約束條件下的節點迭代公式為[3]：

采用SPSS13.0統計學軟件包把研究得到的數據建立數據庫，使用χ2檢驗和t檢驗方法，計量資料采用均數方差表示，兩組間比較，采用獨立樣本t檢驗，計數資料采用百分率表示且用χ2檢驗，P＜0.05為差異有統計學意義。

其中fi(w(n))為關于 w(n)的一個正值函數。文獻[3]取為1/2，本文也采用這一數值，即：

其中，Dw(n)為以 w(n)的元素為對角元素的對角矩陣。

1.2 基于數據選擇的非負自適應濾波算法推導

半夜兩點，妻子從別墅的二層走到一層客廳，看到丈夫還在跟一幫賭友玩牌，就對他們說：“聽著，能不能讓我在自己的房子里安安靜靜地睡一會兒？”丈夫說：“輕點，親愛的，現在這已經不是我們的房子了……”

其中J(w)為關于w 的代價函數，w 為系統最優權向量的估計值，wi為w 的第i個元素。文獻[3]通過KKT(Karush-Kuhn-Tucker)條件，求解了在約束條件下的迭代公式。定義拉格朗日函數：

本組試驗選取的數據為排水管壁試樣直徑d=100 mm、水力梯度相同的條件下，不同土體的穩定梯度比Gr值進行對比(如圖6所示)。圖6顯示：在試樣面積、水力梯度一致的條件下，與殘積礫質黏性土相比，殘積砂質黏性土的穩定梯度比Gr值增長了21%～30%，殘積粉質黏性土的穩定梯度比Gr值增長了60%～69%，穩定梯度比Gr值隨著黏性土中黏粒含量的增加而增大，且增大幅度較其他兩種影響因素大。

如果誤差信號的絕對值在約束集外，則新的估計需要更新到約束集的最近邊界。考慮先驗誤差：

通過圖2可以看出，改進的Hardin-Drnevich模型可較好反映長河壩大壩心墻料和堆石料在動力條件下的材料特性。

浸沒燃燒式氣化器出口天然氣(natural gas，以下簡稱NG)的溫度和氣化器水浴溫度是SCV運行中非常重要的參數，其中出口NG溫度是SCV運行的關鍵聯鎖因素[4]，它的穩定與否不僅關系到能否達到生產要求，而且關系到整個外輸系統的穩定。而穩定的水浴溫度對SCV的安全平穩運行至關重要:過高的水浴溫度會導致排煙熱損失增加、加速加熱管等金屬構件的腐蝕;而過低的水浴溫度可能會導致水浴池內部分區域結冰，從而導致傳熱惡化。因此，需要將氣化器出口NG溫度和水浴溫度控制在合理范圍內。

根據上式推導可得

數據選擇的好處是可以降低算法的計算復雜度，也就是說，只有當輸出估計誤差高于預先設定的上界時，才對于權值進行更新。算法的目標是設計w，使得誤差的幅度的上界為預先設定的。如果設定的值太小，則可能使得算法收斂性能不好。如果設定的值太大，則達不到數據選擇的要求。定義約束集：

算法1 DS-NNLMS 算法初始化

w(0)隨機選擇

當k≥0 時，計算：

2 計算機仿真

采用MATLAB 對算法進行仿真。未知系統的權值向量選為自適應濾波器的初始向量隨機選擇，所有實驗都采用相同的權向量。采用歸一化均方偏差NMSD 對算法的性能進行評估，其表達式為

所有的NMSD 曲線為獨立學習200 次后取平均值的結果。本實驗分別采用NNLMS 算法和DS-NNLMS算法對系統進行估計。NNLMS 算法選取固定步長μ0=0.08。輸入信號和噪聲信號均為零均值的高斯白噪聲，取輸入信號的方差為0.3，噪聲信號的方差為10-3。輸入信號經過未知系統后產生的沒有噪聲的期望信號和噪聲信號的信噪比為21dB。根據文獻[3]易知，經過迭代，非負自適應濾波器最優權向量應當更新為wo=[0.8,0.6,0,0.5,0.2]T。

圖2 NNLMS和DS-NNLMS算法性能比較

由圖2 可知，NNLMS 和DS-NNLMS 算法的收斂速度和穩態失調幾乎相同。由計算機試驗得出，DS-NNLMS 算法在4 000 次迭代中平均只運算了2 600次，減少了35%的計算量。而傳統的NNLMS 算法則使用了全部的輸入信號與噪聲信號數據。因此，可以看出，DS-NNLMS 算法在不降低算法性能的同時，有效減少了迭代更新次數，這對于大規模數據的處理是非常有益的。

3 結論

本文將數據選擇的方法應用到了非負自適應濾波算法中，并推導出了節點的迭代更新函數。計算機仿真試驗表明，當輸入信號和噪聲信號均為高斯白噪聲時，該算法可以在有效減少計算量的情況下，達到與原先的算法相同的性能。對于該問題，還可以有兩個拓展的方向。一是可以繼續減少計算量，二是將其應用至多任務自適應網絡中，利用不同節點之間的協作增加算法的收斂速度、縮小穩態失調。對于這些問題，后續將進行進一步的研究。