鉛球出手最佳角度計算與數值模擬

（上海市進才中學，上海 200135）

0.引言

影響鉛球運動成績的好壞不僅受于運動員自身力量、身高、體重等身體條件的限制，還與其背后的物理學原理和客觀影響因素有關。

目前對于拋體運動的相關研究已有多篇文獻論及，高彩云對拋射體的運動軌跡進行了理論分析和Matlab數值模擬[1]。鄭智健對空氣阻力作用下的拋體運動方程進行了研究[2]，研究結果表明，在拋射體質量較輕時，空氣阻力對拋射體運動軌跡的影響是不可忽略的。蘇安對拋體運動與單擺運動進行了Matlab數值模擬[3]，通過建立上述兩類運動的基本方程，借助Matlab這一數值模擬軟件，將拋體運動與單擺運動的動態過程展現出來，生動而直觀。李雨青對拋體運動中拋射角度與拋射距離之間的關系進行了實驗研究[4]，得到了不同拋射角度下拋體運動的拋射距離。劉尚昊對斜拋運動拋射角度與距離之間的關系進行了理論探究[5]。沈衛對拋體運動的分解方法進行了研究[6]，在傳統正交分解方法的基礎上，研究了斜交分解方法，為斜拋運動的分析提供了新的技巧。

1.鉛球運動的軌跡方程

1.1 鉛球運動的基本方程

對于斜拋運動而言，物體只受豎直方向下的重力作用，可得物體在空中運動的水平位移和豎直位移如下：

對于拋出點位于地面上的物體而言，其最大射程可以表示為物體水平方向的分速度與運動時間的乘積，令式(2)中y=0，可得斜拋運動落地時間表示如下：

根據式(3)可得，對于拋出點位于地面上的物體而言，其落地點與拋出點之間的距離(射程)關系可以表示為：

可見，對于拋出點位于地面上的物體而言，其射程與初速度的平方成正比，同時與物體拋出時初速度方向有關。當α=45°時，式(4)取得最大值，即當拋出角為45°時，可獲得最大射程：

然而，對于鉛球運動而言，其拋出點具有一定的高度(通常位于運動員頭部位置)，因此上式最大射程不能直接用于鉛球落地距離的計算，對于鉛球運動需要建立新的運動學模型。

本文將鉛球運動簡化為離地具有一定高度的斜拋運動，如圖1所示。圖中h為鉛球拋出點高度，v0為鉛球拋出時的初速度，α為鉛球拋出時初速度方向與水平方向的夾角。

圖1 鉛球運動建模示意圖

由圖1可知，鉛球在水平方向上勻速直線運動位移與豎直方向上的自由落體位移可表示如下：

以豎直向上為正方向，當鉛球落地時，其豎直方向上的位移為-h。因而由式(8)可得鉛球在空中的運動時間。

解上述二次方程并略去t＜0的解，可得鉛球落地時間：

由于鉛球在水平方向上做勻速直線運動，將式(9)代入式(6)可得鉛球落地點與其拋出點之間的水平距離(射程)為：

由式(10)可知，鉛球的射程與其拋出時的初速度的大小和方向以及拋出點距地面的高度有關。然而，相較式(4)拋出點位于地面上的物體射程函數而言，對式(10)函數求取最大值(即鉛球的最大射程)是一項比較復雜的工作。

1.2 鉛球最大射程求取

通常，對拋體運動的分解方法主要是將拋體運動分解為水平方向上的勻速直線運動和豎直方向上的自由落體運動，由此可得式(10)射程函數。然而，對式(10)函數難以求取最大值。因而本文采用獨特的分解方法，即建立圖1所示的“斜坐標系”。本文通過轉換坐標系的方法，可以很方便的求解鉛球的最大射程，從而避免對式(10)復雜函數求最大值的難點。

在圖1由拋體豎直位移，射程以及沿初速度方向的位移為邊所構成的三角形中，利用勾股定理可以得到水平位移，即鉛球在拋射角為α時的射程。

整理可得，鉛球射程的平方是關于其落地時間的函數，在對此函數進行換元，令t2=t，函數變為二次方程，如下式所示：

由式(12)可方便的求出鉛球射程取得最大值時鉛球的運動時間，即鉛球運動時間滿足下式時，可獲得最大射程：

此時，鉛球豎直方向的位移y=1/2gt2。由圖1中的三角形關系可得，當鉛球獲得最大射程時拋射角滿足：

1.3 空氣阻力的一般規律

具有一定體積的物體在空氣中運動時，由于要排開前方空氣，因而不可避免的受到空氣阻力的影響，且該阻力與運動物體的形狀、體積、表面光滑程度以及物體的運動速度均相關。根據斯托克斯定律可知，半徑為R的球體在空氣中所受的粘滯阻力為：

由式(15)可知，當鉛球拋出后其沿運動方向的阻力與其運動速度成正比，從而在空氣阻力的作用下，鉛球向前的水平速度將被削弱，使其運動軌跡偏離理想狀態下不受空氣阻力的拋物線，呈現一條“彈道”軌跡。

1.4 空氣阻力作用下鉛球的運動方程

如式(14)所示，以鉛球拋出點為原點建立直角坐標系，把式(15)的空氣阻力分別分解在水平方向和豎直方向上，如圖2所示。

圖2 鉛球所受空氣阻力示意圖

根據牛頓第二定律F=ma=mΔv/Δt，即速度變化量除以時間變化量Δv/Δt與質量m的乘積等于物體所受的合外力，因而可分別在水平和豎直兩個方向上列寫牛頓第二定律方程，構成如下方程組：

其中，vx、vy分別為鉛球速度在水平和豎直兩個方向上的分量，θ為鉛球速度與水平方向的夾角，k為空氣阻力的比例系數。隨著鉛球的運動，鉛球速度的大小，方向都是變化的，因而當受到空氣阻力時，鉛球在空氣中做變加速曲線運動，即上式鉛球速度的兩個分量均為時間的函數。

通過查閱文獻資料，形如式(15)的方程描述了物體速度變化率與力之間的關系，稱為微分方程，由于方程中各項系數，如比例系數k以及鉛球的質量均為常數，因此上述微分方程為常系數微分方程，可直接利用常系數微分方程公式進行求解，從而得出鉛球兩個分速度隨時間的變化關系，如式(17)所示：

其中，vx、vy分別為鉛球速度在水平和豎直兩個方向上的分量，θ為鉛球拋出時的初速度與水平方向的夾角，k為空氣阻力的比例系數。

由式(17)可知，當鉛球受到空氣阻力作用時，其水平速度與時間呈負指數規律衰減，從而使鉛球水平速度逐漸減小，若鉛球在空中運動的時間足夠長，其水平速度將衰減為0，而僅剩下豎直方向速度做落體運動。

2.計算機數值分析

2.1 運動參數與初始條件

設運動員出手時鉛球的速度通常在30km/h左右，且此初速度越大鉛球的射程越遠。本文在Matlab軟件中設置鉛球拋出速度為10m/s，取重力加速度為9.8m/s2，認為鉛球運動員擲鉛球時的出手高度為1.75m

2.2 鉛球最佳出手角度理論驗證

將2.1節所設置的鉛球初始運動參數輸入Matlab中，利用Matlab軟件對0°～180°范圍內的拋擲角度進行射程計算，從而繪制“出手角度—射程”曲線如圖3所示，并在圖中標出極值點的位置如下。

圖3 鉛球“出手角度—射程”曲線

由圖3可見，在鉛球初速度為10m/s，出手高度為1.75m時，隨著鉛球出手角度的增大，其射程先增大后減小，存在極值。當出手角度為41°左右時，鉛球可獲得最大拋射距離。當出手角度增大為90°左右時，其射程降為0，即此時相當于豎直上拋，無水平位移。對比式(13)理論計算結果，可見豎直仿真與理論計算高度吻合，從而驗證了本文理論計算的合理性。

3.結論

鉛球作為一種廣受民眾喜愛的田徑運動，其背后還隱藏著非常豐富的物理學原理。本文應用拋體運動基本知識，對鉛球出手角度與落地距離之間的函數關系進行了研究，在此基礎上推導了最佳出手角度。理論計算結果表明，鉛球投擲距離還與其出手角度有關，在鉛球出手初速度以及出手高度一定的條件下，鉛球射程與出手角度曲線存在某一極值，運動員可通控制鉛球出手角度(通常為41°～43°)以獲得最佳比賽成績。