透視全國卷真題，再攀解析幾何高峰

王先斌

解析幾何是高中數學的重點和難點，在高考中占有重要地位.從以往多年高考的內容來看，無論是大題還是小題都有對解析幾何的考查;從考試的難度來看，壓軸題都是以解析幾何題為主. 可以說，解析幾何題是學生高考的“攔路虎”，是學生在攀登解析幾何高峰的過程中的一大障礙. 下面，筆者介紹幾種具有針對性和簡潔性的解題方法與策略.

一、利用重要結論解決相關問題

在解析幾何部分中，高考全國卷不考查橢圓與雙曲線的第二定義，這使得拋物線的定義變得更加重要.那拋物線的定義在全國卷中又是如何考查的呢？筆者通過仔細分析后發現，高考全國卷中通常以過焦點的直線與拋物線相交所得的焦點弦或焦半徑問題進行考查. 如果同學們能熟記相關結論并靈活運用，那么解答也將變得得心應手.

結論一：拋物線y2=2px（ p>0），過焦點F的弦AB所在直線傾斜角為θ.可得上焦半徑，下焦半徑，弦長.

拋物線x2=2py（ p>0），過焦點F的弦AB所在直線傾斜角為θ. 可得左焦半徑，右焦半徑，弦長.關于拋物線另外兩種標準方程下的結論，利用對稱性可以求解. 以上就是拋物線中焦半徑、焦點弦與直線傾斜角之間的公式，我們把它稱為結論一.

下面我們來看高考真題應用：

【例1】（2017全國卷Ⅰ）已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為（ ）

A.16 ? ? ? B.14 ? ? ? C.12 ? ? ? D.10

【解析】設直線l1的傾斜角為α，運用結論一可得：，則，|AB|+|DE|=

.

所以|AB|+|DE|

. 答案為A.

關于拋物線的焦半徑和焦點弦問題，還有其他的一些結論和運用，下面我們從真題出發，探尋此類問題的重要推論.

結論二：在拋物線的標準方程下，以焦半徑為直徑的圓與不過焦點的坐標軸相切. 類似地，以焦點弦為直徑的圓必與準線相切.

【例2】（2013全國卷Ⅱ）設拋物線C：y2=2px（ p>0）的焦點為F，點M在C上，|MF|=5，若以MF為直徑的圓過點（0，2），則拋物線C的方程為（ ）

A.y2= 4x或y2= 8x ? ? ? ?B.y2= 2x或y2= 8x

C.y2= 4x或y2= 16x ? ? ?D.y2=2x或y2= 16x

【解析】設（0，2）為點N，該圓的圓心為點D，則點D為M、F中點. 由題意知該圓半徑為，，準線方

程為，|MF|=5.則由拋物線的定義可知，，所以由中點坐標公式得. 我們發現圓心D到y軸距離為，與該圓半徑相等，所以該圓與y軸相切. 以上推導方法具有一般性. 利用該結論可知N（0，2）為切點，所以DN與y軸垂直，可得，所以，代入拋物線方程可得p=2或p=8. 答案為C.

【例3】（2018全國卷Ⅲ）已知點M（-1，1）和拋物線C：y2=4x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點. 若∠AMB=90°，則k= ? ? ? ? ? ? ? ? ?.

【解析】因為∠AMB=90°，所以點M在以AB為直徑的圓上. 又因為點M在準線上，且該圓與準線相切，所以點M為切點. 設線段AB中點為N（該圓圓心），則中點N的縱坐標與點M縱坐標相同. 通過點差法可得.

在例3中我們用到了點差法，這是一種解決中點弦問題的普遍方法，下面筆者進行重點講解.

結論三：橢圓與斜率為k （k≠0）的直線l相交于不同的兩點A，B，其中AB的中點為M.設原點O與M連線的斜率為kOM，則.（點差法）

當上述橢圓C的方程變為時，利用點差法按同樣方式運算可得相似的結論：.當上述條件中的橢圓變為雙曲線時，結論為：;當雙曲線方程為時，結論為：.接下來我們看看高考真題中點差法的應用.

【例4】（2018全國卷Ⅲ）已知斜率為k的直線l與橢圓交于A，B兩點，線段AB的中點為M（1， m）（m>0）. 證明：.

【解析】寫出“點差法”的演算步驟可得，所以，. 由題設可知點M在橢圓內部且在x軸上方，所以，故.

利用點差法，我們能快速地找到弦中點、弦斜率及曲線方程間的聯系，從而簡化運算，快速而準確地解題.

二、距離問題與點坐標問題的互化

處理距離問題，關鍵在于將斜向的距離問題轉化為橫向或縱向的距離問題，這樣的轉化才能方便坐標與距離之間的相互表達，從而使題目的運算變得更簡單.

【例5】（2016全國卷III）已知O為坐標原點，F是橢圓C：的左焦點，A，B分別為C的左，右頂點. P為C上一點，且PF⊥x軸. ?過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經過OE的中點，則C的離心率為（ ）

A. ? ? ? ? ? ? B. ? ? ? ? ? ? C. ? ? ? ? ? ? D.

【解析】題目中動點較多，相似三角形也較多，多數線段長度不定并且表達復雜.但我們應該注意到A、F、O、B是定點且能寫出坐標，由此可以利用坐標快速地寫出這四個點相互間所成線段的長度.解題的思路就是利用三角形的相似性，將其余線段的長度關系轉到A、F、O、B所成線段的長度關系上.

設O、E中點為Q，易知△AFM∽△AOE，△BOQ∽

△BFM. 所以，，可得. ?答案為A.

【例6】（2014全國卷II）設F1， F2分別是橢圓C：的左右焦點，M是第一象限內C上一點，且MF2⊥x軸，直線MF1與C的另一個交點為N.若直線MN在y軸上的截距為2，且，求a， b.

【解析】本題的關鍵在于怎么處理條件，如果采用弦長公式進行求解，運算量極大.可作NN'⊥x軸于點N，注意到△NN'F1∽△MF2F1，由可得，根據相似三角形性質可將這組斜向線段之比轉為兩組橫向、縱向線段之比（橫向、縱向線段的長度方便用坐標表示），即. 然后，可以從這些線段的關系得到點N的坐標并代入橢圓方程，這樣整個運算將大大簡化，解答如下.

記直線MN與y軸交點為D，則MF2//OD且O為F1F2中點，所以MF2=2OD =4，而①，作NN'⊥x軸于點N，則有△NN'F1∽△MF2F1.

由可得.

所以點N的坐標為，代入橢圓方程C可得②，又因為c2=a2-b2③，聯立①②③可解得.

三、利用數形轉化

解析幾何的核心就是用代數方法研究幾何問題，解題過程中的一大難點就是如何將具體的幾何問題進行代數轉化，并且使得代數轉化后的運算盡量簡潔.下面我們就來探討幾種高考中常見的數形轉化.

類型一：對于已知直徑的圓，點與圓位置關系的向量表達.

【例7】（2017全國卷III）已知拋物線C：y2=2x，過點（2，0）的直線l交C與A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓.證明：坐標原點O在圓M上.

【解析】對于本題，我們可以聯立直線與拋物線的方程并利用韋達定理得到圓心，再通過弦長公式算出直徑，進而寫出圓的方程，最后將原點坐標代入圓的方程看是否成立. 這種解法的好處是不需過多的思考，使同學們能夠單刀直入地解題. 但“人無遠慮，必有近憂”，此種解法的計算量極大，不僅耗費時間，而且出錯的概率大大增加. 仔細審題，同學們會發現原點與A，B不重合，再思考圓上點的性質，能得到原點O在圓M上等價于∠AOB=90°. 關于此問題我們可以借助于向量或斜率的知識進行轉化，使整個代數運算大大簡化.

設直線l：x=my+2，A（x1， y1），B（x2， y2）.由，

可得y2-2my-4=0，y1+y2=2m，y1y2=-4，所以

.

因為O與A、B不重合，所以OA⊥OB，故坐標原點O在圓M上.

總結：在以AB為直徑的圓上，C是不同于A、B的點，則點C在圓內，圓上，圓外分別等價于，，.

【例8】（2015全國卷I）已知M（x0， y0）是雙曲線C：

上的一點，F1， F2是C上的兩個焦點，若，則y的取值范圍是（ ）

A.（，） ? ? ? ? ? ?B.（，）

C.（，） ? ? ? ?D.（，）

【解析】本題與例7正好形成反向轉化，由可知M在以F1， F2為直徑的圓的內部.

由C：，可得F1，F2為直徑的圓的方程為.

由，可得;由可知M在以F1，F2為直徑的圓的內部，所以.答案為A.

類型二：利用直線斜率與傾斜角的關系進行數形轉化.

【例9】（2015全國卷I）在直角坐標系xoy中，曲線C：與直線y = kx+a（a>0）交于M，N兩點. y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.

【解析】本題的關鍵在于解決“怎么用代數形式表達∠OPM=∠OPN？”這一幾何問題，因為點P是y軸上的點，所以當∠OPM=∠OPN時，直線PM、PN關于y軸對稱.由此可知，直線PM、PN的傾斜角互補，故直線PM、PN的斜率互為相反數，這樣就把問題轉為求證直線PM、PN的斜率相加為零的簡單代數問題.

證明：設P（0，b）為符合題意的點，M（x1， y1），N（x2， y2），直線PM，PN的斜率分別為k1， k2. 將y=kx+a代入C的方程整理得x2+4kx-4a = 0，所以x1+ x2= 4k，x1 x2=-4a.則.當b= -a時，有k1+ k2=0，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補，又因為點P在y軸上，所以∠OPM=∠OPN，P（0， -a）符合題意.

【例10】（2017全國卷II）過拋物線C：y2=4x的焦點F，且斜率為的直線交C于點M（M在x的軸上方），l為C的準線，點N在l上且MN⊥l，則M到直線NF的距離為（ ）

A. ? ? ? B. ? ? ? C. ? ? ? D.

【解析】因為直線的斜率為，所以傾斜角為60°，又因為MN與準線垂直，所以MN與x軸平行，所以∠NMF=60°. 由拋物線定義可知，故△NMF為等邊三角形.根據前文介紹的焦半徑與傾斜角公式，在邊長為4的等邊△NMF中可得M到直線NF的距離為.

點評：本題是對直線斜率與傾斜角關系、拋物線定義、焦半徑公式三個內容的完美應用.

通過以上內容，我們從三個方面總結了解析幾何的解題方法和策略. 從中我們可以體會到，解析幾何的解題不光只是復雜的計算，它還有很多有趣的結論和美妙的轉化.有了這些方法和策略，我們的解題可以變得高效又富有樂趣. 當然，奇妙的解析幾何中還有很多有趣的問題，還有很多的好結論、好技巧和好方法，希望同學們不斷努力、繼續開拓！