基于APDL語言的拱軸系數m優化分析

田振生，崔文杰，楊柄楠，袁良東

(鄭州市交通規劃勘察設計研究院 鄭州市 450000)

常見的拱軸線形有圓弧線、拋物線和懸鏈線三種。拱軸線選取的原則，就是盡可能減小由壓力線與拱軸線偏離產生的彎矩值[1]。最理想的拱軸線是與拱上各種荷載作用下的壓力線相吻合，此時主拱截面只有軸向壓力而無彎矩及剪力，截面應力分布均勻[2]，能充分發揮材料的抗壓性能，此時的拱軸線即為合理拱軸線[3]。

由于主拱同時受到恒載、活載等作用，當恒載壓力線與拱軸線相吻合時，在活載作用下其壓力線與拱軸線便不再吻合；此外相應于活載的不同布置，壓力線亦是不同的[4]。在大跨度拱橋中，恒載往往在總荷載中所占比例較大[5]，此時采用恒載壓力線作為拱軸線，顯得較為合理。此外，溫度變化、材料收縮、基礎變位等影響也會引起一定的主拱截面彎矩，故選擇拱軸線只能盡量減小主拱截面的彎矩[6]。

通過某一工程實例，首先基于APDL參數化語言進行懸鏈線拱軸系數優化，然后分別將圓弧線、拋物線及優化后的懸鏈線作為拱軸線進行對比分析，獲取適用于本工程的最優拱軸線形。

1 拱軸系數計算原理

為使拱軸線與恒載壓力線盡可能地接近，通常采用“五點重合法”確定懸鏈線拱的拱軸系數m，即要求拱軸線在拱圈的拱頂、兩個1/4跨及兩個拱腳位置與三鉸拱恒載壓力線重合，此時五個截面中僅有軸向力，彎矩和剪力為零。利用上述五點彎矩為零的條件，就可迭代確定m值。

由拱頂彎矩為零及恒載對稱條件可知，拱頂只有通過截面重心的恒載推力Hg，彎矩及剪力為零時，拱腳彎矩為零，得：

(1)

同理，由1/4跨截面彎矩為零，得

(2)

由式(1)、式(2)，得

(3)

式中：∑Mj—半拱恒載對拱腳截面的力矩；

∑M1/4—自拱頂至拱跨1/4點的恒載對1/4截面的力矩。

(4)

由于拱軸系數m本身就是一個未知值，因此需要通過若干次迭代試算后方可確定。先假定一個m值，根據拱軸線坐標布置拱上建筑，計算拱圈和拱上建筑恒載對L/4截面和拱腳截面的力矩∑M1/4和∑Mj，由式(4)得到新的拱軸系數m1，若m1和假定的m不符，以m1值作為新假定值重新計算，直至兩者接近為止。

2 拱軸系數優化算法

根據拱橋的受力特點和拱軸線的選取原則，應盡可能降低由荷載產生的彎矩值，因此可考慮采用最小彎曲能量法和壓力線與拱軸線偏離最小法來優化拱軸線[7]。

2.1 最小彎曲能量法

最小彎曲能量法是用來確定斜拉橋成橋狀態下最優索力的一種方法，當彎曲能量最小時，主梁所受的彎矩較小且趨于均勻。由于拱與斜拉橋的主梁受力狀態類似，均為壓彎構件，因此可將最小彎曲能量法應用于拱軸系數的優化中。當拱軸系數達到最優時，拱軸線能最大限度地接近壓力線。而衡量逼近程度的好壞就是以拱圈的彎曲應變能是否最小為準則，即

(5)

式(5)即為目標函數來優化拱軸系數。由于ANSYS后處理中沒有提供現成的彎曲應變能，因此需在后處理中先提取各個梁單元彎矩值，然后通過式(6)計算式(5)中的彎曲應變能。

(6)

為保證積分有較高的精度，需將單元劃分足夠細。一般情況下，單元長度取1m即可。

2.2 壓力線與拱軸線偏離最小法

壓力線是指拱圈各截面合力點的連線，而拱軸線是指拱圈各截面形心的連線，如圖 1所示。拱圈是以受壓為主的結構，截面中有軸向力、彎矩和剪力等內力。除了拱腳截面外，其余截面剪力較小，可忽略不計。圖1中的i-i截面，在截面形心處有彎矩M和軸力N，這兩個內力可用一個偏心合力來表示，合力點距離截面形心為：

(7)

從式(7)可看出，在N值不變的情況下，彎矩M越小，相應的偏心距e也越小，當M=0時，偏心距e=0，此時合力點便與截面形心點重合，也就是壓力線與拱軸線重合。實際工程中不存在合理拱軸線，因而選擇拱軸線也只能盡量使壓力線與拱軸線偏離最小，即偏心距e最小，其可用主拱截面彎矩和軸力的比值M/N的絕對值來表示。

采用壓力線與拱軸線偏離最小法，只需提取拱圈各個截面彎矩和軸力，就可得到各截面的偏心距和優化目標，而采用最小彎矩應變能法，需將結果中提取的彎矩值通過積分的方法才能得到優化目標值。因此，采用壓力線與拱軸線偏離最小法更容易在ANSYS程序中實現，本文即采取該方法進行拱軸系數優化的。

3 基于APDL語言的拱軸系數優化

優化分析采用大型通用有限元軟件ANSYS。在ANSYS優化模塊中，有三大優化變量，即設計變量、狀態變量和目標函數[8]。拱軸系數優化的策略是以需要優化的拱軸系數作為設計變量，同時指定其上、下限，鋼管混凝土拱橋采用范圍多為1.2～2.8；以拱腳截面的最大、最小應力及主拱截面的最大偏心距為狀態變量；以壓力線與拱軸線偏離最小為目標函數進行求解。利用軟件的優化技術來確定最優拱軸系數的關鍵在于計算結果中如何提取目標函數，而采用壓力線與拱軸線偏離最小法，只需提取拱圈各個截面彎矩和軸力，就可得到各截面的偏心距和優化目標。

以下為優化策略的控制流程

第一步：建立模型分析文件。該文件必須包含整個分析過程，且須滿足以下條件：以拱軸系數m為設計變量建立參數化模型(PREP7)；求解(SOLUTION)；提取并指定狀態變量和目標函數(POST1)。

第二步：構建優化控制文件。該文件包含：進入OPT處理器，指定分析文件(OPANL)；聲明優化變量；選擇優化方法；指定優化循環控制方式；優化迭代分析；查看優化的設計序列結果。其中選取的優化變量如下所示。

4 工程實例

以某下承式鋼管混凝土梁拱組合市政橋梁為依托，開展拱軸系數優化研究。

該橋拱肋計算跨徑90m，計算矢跨比1/5。全橋共設兩榀鋼管混凝土拱肋，每榀拱肋由2根Φ1000mm×16mm鋼管和16mm厚的鋼腹板組成高為2.4m的啞鈴型斷面，兩榀鋼管混凝土拱肋橫向間距21.06m，橋面結構采用縱橫梁體系、整體橋面板，以提高結構的整體剛度。大橋總體布置及有限元模型如圖2、圖3所示。

選取m=1.500作為初始拱軸系數，以壓力線與拱軸線偏離最小為優化目標，由圖4可看出，經過6次優化迭代后收斂于最優解；目標函數反應的是拱肋壓力線與拱軸線逼近的程度，也間接反映出拱肋的整體彎矩水平。迭代步驟如圖4所示。

優化后的拱軸系數m=1.054，優化前后的拱肋彎矩圖如圖5～圖6所示。

由圖5～圖6可知，優化前拱肋最大正彎矩為3350kN·m，最大負彎矩為3600kN·m，優化后拱肋最大正彎矩為2550kN·m，最大負彎矩為2610MPa，優化后拱肋整體正彎矩水平相比優化前減小23.9%；優化后拱肋整體負彎矩水平相比優化前減小27.5%，優化效果顯著。

分別選取圓弧線、拋物線及優化后拱軸系數m=1.054的懸鏈線三種線形作為拱軸線，開展主拱各截面(由于拱肋左右對稱，僅取一半拱肋)偏心距對比分析，三者偏心距結果如圖7所示。

圓弧線拱肋和拋物線拱肋彎矩圖如圖8～圖9所示。

由圖7～圖9可知：

(1)鋼管拱計算跨徑不大時，拋物線與懸鏈線拱肋偏心距基本一致，兩者拱肋彎矩數值也基本相等，這主要是由于懸鏈線拱軸系數(m=1.054)基本接近拋物線拱軸系數(m=1)，導致力學性能也基本接近。

(2)拱腳區域，圓弧線拱肋偏心距為8.6cm，在拱腳產生的彎矩值為949kN·m；而拋物線和懸鏈線拱肋偏心距相對較小，分別為0.4cm和1.2cm，兩者在拱腳處均產生相對較小的彎矩，彎矩值分別為330kN·m和577kN·m。拱頂區域，圓弧線拱肋偏心距為11.4cm，拱頂處彎矩值為1728 kN·m；而拋物線和懸鏈線拱肋偏心距相對較大，分別為16.1cm和17.0cm，導致兩者在拱頂處均產生相對較大的彎矩，彎矩值分別為2372kN·m和2483kN·m。綜上所述，小跨徑拱橋拱軸線采用圓弧線時，較采用拋物線與懸鏈線，可改善拱肋拱頂區域受力，但卻是以犧牲拱腳處受力為代價。

(3)為簡化設計，針對小跨徑鋼管混凝土拱橋，建議選擇拋物線作為其拱軸線形。

5 結論

以拱軸系數計算原理為基礎，在對比分析最小彎曲能量法“壓力線與拱軸線偏離最小法”兩種拱軸系數優化算法優缺點的基礎上，結合APDL參數化語言，采用“壓力線與拱軸線偏離最小法”對某下承式鋼管混凝土梁拱組合市政橋梁進行懸鏈線拱軸系數優化分析；并將圓弧線、拋物線及優化后的懸鏈線分別作為拱軸線進行拱肋計算分析，對比分析各狀態下主拱各截面偏心距以獲取適用于本工程的最優拱軸線形。最終結論總結如下：

(1)“壓力線與拱軸線偏離最小法”避開了最小彎曲能量法的復雜積分運算，基于該方法對拱軸系數進行優化，經過6次迭代可得到合理拱軸系數，降低了主拱肋正、負彎矩達25%左右，顯著改善了拱圈的受力狀態。

(2)分別選取圓弧線、拋物線及優化后拱軸系數m=1.054的懸鏈線三種線形作為拱軸線，開展主拱各截面偏心距對比分析，拋物線與懸鏈線拱肋偏心距基本一致，兩者拱肋彎矩數值也基本相等。

(3)拱腳區域，圓弧線拱肋偏心距為8.6cm，在拱腳產生的彎矩值為949kN·m；而拋物線和懸鏈線拱肋偏心距相對較小，分別為0.4cm和1.2cm，兩者在拱腳處均產生相對較小彎矩值，分別為330kN·m和577kN·m。拱頂區域，圓弧線拱肋偏心距為11.4cm，拱頂處彎矩值為1728 kN·m；而拋物線和懸鏈線拱肋偏心距相對較大，分別為16.1cm和17.0cm，導致兩者均在拱頂處產生相對較大的彎矩，數值分別為2372kN·m和2483kN·m。綜上所述，小跨徑拱橋拱軸線采用圓弧線時，較采用拋物線與懸鏈線，可改善拱肋拱頂區域受力，但卻是以犧牲拱腳處受力為代價。

(4)綜合考慮施工的方便性及拱肋的受力性能后，本橋拱肋最終采用拋物線作為拱肋線形。為計算方便，在設計時，建議選擇拋物線作為小跨徑鋼管混凝土拱橋拱軸線形。