交錯躍遷Hofstadter梯子的量子流相*

劉彪 周曉凡? 陳剛3)? 賈鎖堂

1)(山西大學激光光譜研究所,量子光學與光量子器件國家重點實驗室,太原 030006)

2)(山西大學,極端光學協同創新中心,太原 030006)

3)(山東師范大學物理與電子科學學院,光場調控及應用中心,濟南 250358)

為玻色Hofstadter梯子模型引入交錯躍遷,來擴展模型支持的量子流相.基于精確對角化和密度矩陣重整化群計算發現,無相互作用時,系統中包含橫流相、渦旋相和縱流相;橫流相來自均勻躍遷時Hofstadter梯子模型的Meissner相,縱流相是交錯躍遷時才可見的流相.強相互作用極限下系統的超流區也包含橫流相、縱流相和渦旋相,但存在更多的相變級數;超流區的橫流相、縱流相之間存在相變但Mott區的不存在,把Mott區的“橫、縱流相”稱為Mott-均勻相,在Mott區只存在均勻相和渦旋相.躍遷的交錯會壓縮渦旋相存在的區域,使Mott區最終只剩下均勻相;躍遷的交錯不僅能驅動Mott-超流相變,還使磁通的改變也能夠驅動系統的Mott-超流相變.對這一系統的研究豐富了磁通系統中的量子流相,同時為研究拓撲流特性提供了模型支持.

1 引 言

打破時間反演對稱性的準一維梯子系統因其與量子霍爾效應[1]、拓撲絕緣體[2?4]間的聯系,并作為實現手性流[5]的最小系統,近年來在凝聚態物理和冷原子量子模擬實驗中備受關注.冷原子實驗中用超晶格、數碼微鏡分離[6]從高維晶格中分離晶格[7?13],以及基于一維系統用原子內態構建人造維度來構建梯子系統[14?18];使用運動光場、激光輔助躍遷[7]或拉曼光驅動內態耦合[14]實現人造磁通[19],以此來模擬磁場下的梯子系統.實驗中觀察到了手性邊界態[15],淬火演化中手性流的產生過程[7],以及Meissner相到渦旋相的流相相變[8].

Hofstadter梯子模型是描述準一維梯子晶格中均勻磁通下全同粒子物理的緊束縛模型.作為Hofstadter模型[20?22]的準一維情形,它能用研究一維系統的理論工具來求解,以展示其強相互作用時的多體物理.使用玻色化[23]解析方法和密度矩陣重整化群[24?26](DMRG)數值方法,能展示Hofstadter梯子在玻色或費米強相互作用時會產生類似二維情形[27?30]的分數霍爾態[31?33].玻色強相互作用時,除了超流區,甚至Mott絕緣體也會產生Meissner和渦旋流相[34?36].流是系統存在磁通時出現的物理量,Meissner流以正對著相反的流出現在梯子的邊界上,渦旋流以局部旋渦的形式出現在梯子的內部和邊界上,兩種流都具有手性來抵抗外磁場,并在超導體中有對應的物理現象[37?39].Meissner和渦旋流相存在于Hofstadter梯子的無相互作用、超流、Mott全部的相區中,是模型中極為廣泛的性質,然而人們在Hofstadter梯子模型中對流相的研究僅限于這兩種,所以證明在Hofstadter梯子中引入交錯躍遷能產生更豐富的流相,從而為流相的廣泛研究提供模型支持.

交錯躍遷是將Hofstadter梯子長方向的躍遷幅度從均勻的改成 t1,t2交錯的(如圖1),把均勻躍遷改成交錯躍遷來自SSH模型[40,41]的啟發,這樣做能否在模型中產生新的拓撲效應還是未知的,但能產生更多的流相卻是已知的.我們使用精確對角化[42]和密度矩陣重整化群理論地分析了 t1≥t2無相互作用和強相互作用的情形,觀察到交錯的躍遷強度會使Meissner相和渦旋相流的圖案變形,產生新的流圖案,結合相變行為分出的相區域,可將新的相叫作橫流相、縱流相和渦旋相,這些流相廣泛存在于交錯躍遷時的無相互作用和強相互作用超流區.交錯躍遷時Mott區的流相擁有很獨特的流特征和相變特征,可以將其稱為Mott-均勻相,通過探討Mott-均勻相從均勻躍遷到交錯躍遷的過渡過程,可以發現交錯躍遷對Mott相、超流相和渦旋相的存在都有顯著影響.

圖1 哈密頓量中躍遷項示意圖Fig.1.Sketch of the hopping term of the Hamiltonian.

2 哈密頓量和流算符

交錯躍遷的Hofstadter梯子的哈密頓量為

其中,a和a+為玻色產生湮滅算符;l為梯子橫欄數;下標 lodd,leven分別為奇數、偶數橫欄數.t1,t2為奇偶鍵的躍遷系數,t1=t2為均勻躍遷,t1／=t2為交錯躍遷,均勻躍遷時模型為標準的Hofstadter梯子.哈密頓量前三項為躍遷項(圖1),第四項為玻色排斥相互作用項.

流是描述模型中各種相的關鍵物理量[33],(1)式中各個鍵上的流定義為

交錯躍遷時模型中出現的相在腿間都會有流,所以均勻躍遷時的腿間是否有流的分相依據不再適用,需要使用流和密度空間分布均勻性來區分基態是否是渦旋態.下面定義流的周期2不均勻性、密度不均勻性.流圖案沿著梯子長方向周期為2,即在各個元胞中一樣分布時周期2不均勻性為0,密度在所有格點相等時密度不均勻性為0,二者分別量化為

其中 u=L,R,var是方差,{ } 是集合.流有為 2 的周期性的相被定義為流均勻的相,密度全格點均勻的相定義為密度均勻的相,這兩個性質在系統中是共生的,沒有這兩種均勻性的相則是渦旋相.最后,為了區分均勻相中存在的兩種相,還需要定義平均流,分別為橫向手性流 jc//和縱向手性流 jc⊥:

3 無相互作用

無相互作用(U=0)時,可以將哈密頓量(1)式傅里葉變換到動量空間,得到動量空間哈密頓量:

圖2 (a)用來識別相變的基態能導數的突變,數據?取自t1/K=1,t2/K=0.3;(b)無相互作用相圖;(c1)(c3)區分三種相的流圖案.圖中箭頭表示流,點表示密度,箭頭的方向和粗細代表流的方向和強度,點的大小表示密度的大小,箭頭的粗細和點的大小都已經除以當組最大的流或密度歸一.數據取自t1/K=1,t2/K=0.3,φ /π=0.1,0.6,0.9,精確對角化Fig.2.(a)Singularities in derivative of ground state energy indicate phase transitions.Data is from t1/K=1,t2/K=0.3;(b)phase diagram for non-interacting case;(c1)?(c3)the current pattern used to distinguish the 3 phases.Direction and thickness of an arrow indicate the direction and strength of the current on the plotted bond.The strengths are normalized by the strongest local current.The sizes of the points indicate the density strengths and are normalized by the largest density.The current patterns are from ED calculations for φ /π=0.1,0.6,0.9 when t1/K=1,t2/K=0.3 .

根據基態能突變的相變行為(圖2(a)),可以將系統分為三個相: 橫流相、渦旋相和縱流相,分別對應最低能帶最小值的不同k位置(圖2(b)).橫、縱流態的流分布都具有2的周期,體密度全格點均勻分布,橫流相橫向的流強于縱向的流,縱流相縱向的流強于橫向的流;渦旋相的流分布不具有為2的周期性(圖2(c1)—圖2(c3)).橫流相和縱流相的基態不簡并,渦旋相的基態是二重簡并的.橫流相到渦旋相的相變和縱流相到渦旋相的相變都是二階相變,其基態能對參數二階導不連續.能引起這些相變的,可以是交錯躍遷,也可以是磁通 φ 或者腿間躍遷系數K.

圖3 (a)無相互作用時掃描φ計算出的最近鄰內積,數據取自t1/K=1,t2/K=0.3;(b)保持t1/K=1,逐漸改變 t2/K時,橫流相和縱流相的態和t1/K=t2/K=1時態的內積;(c)一般的,系統在 φ=π 處整個流圖案的流會逆轉方向,交錯躍遷會讓流換向以一階相變的形式進行,數據取自t1/K=1Fig.3.(a)Nearest overlaps from ED calculations.Data is from t1/K=1,t2/K=0.3;(b)when t1/K=1,as t2/K decays,the overlap with t1/K=t2/K=1 state decays from 1 smoothly;(c)generally all local currents in the system reverse sign in φ=π .The staggered hopping makes the process the first order phase transition.Data is from t1/K=1.

橫流相、渦旋相和縱流相之間的相變還可用最近鄰內積 | 〈 ψ1/ψ2〉| 來斷定,最近鄰內積是數值上連續均勻掃描模型參數、計算基態時,最相鄰參數基態間內積的模(文中內積的模簡稱為內積).如圖3(a)所示,發生相變時,基態之間的最近鄰內積也會突變,系統進入渦旋相后最近鄰內積會突變為0并振蕩,最近鄰內積能找到和手性流計算能夠得到一致的相變臨界點.此外,內積能說明交錯躍遷時態的起源.接近Meissner的基態與Meissner態內積接近1而沒有突變,并且之后緩緩變小(圖3(b)),結合此時橫向手性流的平緩變化,說明此區域從 t1=t2到 t1／=t2沒有相變,橫流相是均勻躍遷(t1=t2)時的Meissner相漸變過來的.Meissner態連續變化的過程從觀察到的流圖案上可以理解為 t2減小時通過梯子長方向的流受到阻隔,為了依舊能抵抗外磁場,流改從橫欄間經過形成橫流態.同樣的推理能說明縱流態是從均勻躍遷時 φ=π 處的單個點漸變過來的,但事實上這個態以前沒有被關注過,是交錯躍遷(t1／=t2)擴大了其相區域才使我們注意到它.另外,磁通 φ經過π時,流的方向會反向翻轉,和均勻躍遷時的平緩過渡不同的是,交錯躍遷時的流反向過程是劇烈的一階相變過程(圖3(c)).

4 強相互作用

有相互作用時,交錯躍遷會產生更為豐富的多體物理效應.使用DMRG方法能計算強相互作用極限 U → ∞(hard core Boson,HCB)下系統的基態,歸納其全部的量子相.接下來先展示交錯躍遷時的量子相,再展示其中Mott區域獨特的量子相從均勻躍遷到交錯躍遷的過渡過程.

4.1 交錯躍遷時的量子相

選取 t1/K=1,t2/K=0.3 來展示交錯躍遷時的量子相,相圖見圖 4(a).此情形下 n=0.25 的倍數填充會產生Mott相,其余填充為超流相.超流相之中也分為橫流相、縱流相和渦旋相,對應流和密度的特征和無相互作用時一樣.超流區的中部出現了一個三相匯聚的區域,靠近 n=0 的區域橫流相需通過渦旋相再到達縱流相,接近 n=0.25 的區域橫流相直接相變成縱流相.有趣的是,橫流相直接相變成縱流相的邊界在數值上是一條很精確的直線,此區域內不論填充是多少,系統在相同的φ處發生橫流相-縱流相相變.

有相互作用時可以用中心荷(central charge)識別不同的相.中心荷描述了無能隙模式(gapless mode)的數目,可以從基態的糾纏熵(Von Neumann entropy)分布中擬合得到[43?45],為了減小糾纏熵的額外振蕩對擬合效果的影響,根據文獻[46]將振蕩解釋為切割處的躍遷能量,改進擬合公式:

其中 d(j)=(L/π)sin(πj/L),c 為中心荷,A,B 為待定常數,L為系統一分為二左邊的長度,S為對應的糾纏熵,開邊界時公式的前導是 c /6,周期邊界時是 c /3 .DMRG計算糾纏熵比計算局域量需要更大的態數(如開邊界時態數達到了800);模型中使用更大的系統尺寸能發現中心荷會趨于變成整數.將DMRG得到的糾纏熵分布數據用上述公式擬合(如圖4(b)),得到超流區的橫流相 c=1,渦旋相 c=2,縱流相 c=1,這和均勻躍遷時超流-Meissner 相 c=1,超流-渦旋相 c=2 的結果是類似的.

超流區橫流相-縱流相之間的相變和渦旋相到橫、縱流相之間的相變呈現不同的相變類型.橫流相直接相變成縱流相時,手性流(正比于基態能量的一階導)會直接突變,因此這是一階相變(圖4(c));進出渦旋相時,系統會發生二階相變.不論Mott還是超流,和無相互作用時一樣,在交錯躍遷、 φ 越 過 π 時的流換向都會以一階相變的形式進行.另外,內積的計算表明,超流-橫流態是從超流-Meissner態平緩形變過來的.但是縱流區靠近流換向相變處DMRG難以收斂,渦旋相區域基態會振蕩,難以證明這兩個相起源于均勻躍遷時的相.

圖4(a)的相圖中,Mott和超流是通過在巨正則系綜中掃描 n(u)[36]得到的,n=N/(2L),u 是化學勢.但交錯躍遷時 n(u)曲線不再有能識別相變的突變(cusp),只能使用平均手性流或者最近鄰內積(圖4(d))得到各種流相的相邊界,后二者得到的相邊界是一致的.另外在 0 .25≤n≤0.5 的區域內,相和圖4(a)中的相大致關于 n=0.25 線鏡像對稱,但相邊界稍微有左移.我們也對t1/K=1,t2/K=0.5時的相圖進行了同樣的計算,所得的相一致,只是相邊界有移動.

4.2 均勻躍遷到交錯躍遷的過渡過程

接下來論述交錯躍遷較強時的Mott相,再展示其是如何從均勻躍遷時過渡而來的.均勻躍遷時,Mott 線出現 在 n=0.5的整數倍填充上,其n=0.5 Mott線上存在Mott-Meissner相和Mott-渦旋相.但交錯躍遷時的Mott態與之相比很奇怪:t1/K=1,t2/K=0.3 相 圖 中 n=0.25 Mott線 上不包含渦旋相,和均勻躍遷時不同,這條線上只存在一個相,這個相中心荷為0,流和密度均勻;另外從流的圖案和相變特征來看,這個Mott相不分橫、縱流相,其基態從橫流態不經相變地變成前面定義的縱流態(圖5(c)),這也和交錯躍遷時的超流區不同,令人不解.因此改變 t1,t2的差,觀察這條Mott線是如何從均勻躍遷時轉變過來的.

圖4 (a)t1/K=1,t2/K=0.3 強 相互作用極限(HCB)相圖,n=N/(2L)為填充;(b)該相圖中三個相對應的糾纏熵分布與擬合結果,φ /π=0.3,0.64,0.8 分別取自橫流相、渦旋相和縱流相,散點是有限尺寸系統中計算的糾纏熵(S),實線和中心荷(c)是將散點用公式(7)擬合的結果.交錯躍遷導致了糾纏熵空間分布的起伏,數據取自周期邊界,L=64,N=12;(c)橫流相-縱流相相變時橫向手性流和縱向手性流的突變,突變后二者強弱交換;數據取自 L=64,N=25,在手性流的計算中為了減小開邊界帶來的邊界效應,只截取了中間 L /2部分;(d)橫流相-渦旋相-縱流相相變;掃描 φ 時,最近鄰內積進入渦旋相時會突變,并且數值上類似于無相互作用時一樣振蕩;數據取自N=4Fig.4.(a)Phase diagram for HCB when t1/K=1,t2/K=0.3,n=N/(2L);(b)VN entropy and the corresponding fitted central charge for three phases in the phase diagram above.φ /π=0.3,0.64,0.8 are from horizontal current,vortex and vertical current phase respectively.The points are VN entropy data in PBC finite system.Solid lines and central charge are fitted from formula(7).The staggered hopping has made the VN entropy also staggered.Data is from L=64,N=12;(c)horizontal current phase to vertical current phase transition for L=64,N=25 .The average horizontal current and average vertical current will swap their strong and weak relations in the transition point.In order to reduce the boundary effect in average currents,we used the L /2 part in the middle of the ladder;(d)horizontal current to vortex and vortex to vertical current phase transition.The nearest overlap shows that in horizontal and vertical current phases the ground state changes smoothly,and numerically oscillates in the vortex phase.Data is from N=4 .

轉變過程涉及超流(SF)-Mott相變,需要引入物理量電荷能隙 Δ(chargegap),電荷能隙是系統產生粒子-空穴對所需的能量[47],超流-Mott相變能用電荷能隙是否為0展示.在熱力學極限下,超流區電荷能隙為 0,Mott區非 0.將有限尺寸DMRG得到的電荷能隙外推到熱力學極限,通過觀察電荷能隙發現,取 n=0.25 填 充,系統在t1,t2差別大時為 Mott 相,t1,t2差別小時為超流相,交錯躍遷的變強導致了超流到Mott的相變(圖5(a)).交錯躍遷越強電荷能隙越大,這和無相互作用時能帶能隙的經驗是一致的[48].是否是渦旋相是用第2節(3)式中流的周期2均勻性來衡量的(圖5(b)).渦旋相只存在于交錯躍遷弱的區域,而交錯躍遷足夠強,如之前論述的 t1/K=1,t2/K=0.3 時,系統將不存在渦旋相.盡管超流區中橫、縱流相間以一階相變分隔,但在Mott區二者間不存在相變(如圖5(c)),所以將Mott區的這些均勻相稱為Mott-均勻相.

圖5 (a)n=0.25相圖,t1/K=1,虛線圈出的是vortex相;(b)相圖中均勻相與渦旋相是用量化的流的周期 2不均勻性區分的,數據取自 t1/K=1,t2/K=0.9;(c)t1/K=1,t2/K=0.3 的 n=0.25 Mott線,系統基態平緩地從橫流相變成縱流相,這個過程中流圖案的周期一直為2Fig.5.(a)Phase diagram for n=0.25 filling when t1/K=1;(b)the homogenous phase and vortex phase are distinguished from the inhomogeneity of densities and currents.Data is from t1/K=1,t2/K=0.9;(c)the n=0.25 Mott line for t1/K=1,t2/K=0.3 .The average vertical current surpasses the average horizontal current smoothly,during the process the current patterns have perfect periodicity of 2 and the density is homogenous.

由于數值上難以用電荷能隙得到清晰的Mott-超流相邊界,下面進一步通過取散點計算中心荷來確定 n=0.25 Mott、超流模糊邊界兩邊各種流相的存在.可以發現 Δ 小的深處的均勻相c=1,Δ 大 的深處的均勻相 c=0,Δ 大的深處的渦旋相 c=1,Δ 小 的深處的渦旋相 c=2(表 1),這和均勻躍遷時的超流-Meissner、Mott-Meissner、Mott-渦旋相、超流-渦旋相的中心荷[36]規律—各種流相在Mott中的中心荷比在超流中少1—是一致的.系統在超流區存在橫、縱流相,渦旋相的基礎上,在Mott區額外分出了Mott-均勻和Mott-渦旋相.n=0.25 情形中,交錯躍遷弱時改變磁通 φ,系統存在豐富的相變行為,其中改變磁通能引起Mott-超流相變,還是均勻躍遷時不存在的現象.但交錯躍遷強時,系統就只剩下Mott-均勻相,改變 φ 不再產生相變了.

表1 在有代表性的區域取點,精確計算中心荷(c)來驗證各個流相的存在,系統取周期邊界來減小糾纏熵振蕩.表格列出了散點在相圖中的位置，對這些點的電荷能隙和流相性質的判斷，以及對應的中心荷判據，L=64—100,t1/K=1Table 1.PBC central charges(c)are accurately checked in several points in typical regions.The table has listed the points' position in the phase diagram,the judged charge gap and current phase properties,and the corresponding central charge evidence,L=64–100,t1/K=1.

5 總 結

本文研究交錯躍遷時Hofstadter梯子模型的流相,著重關注系統與均勻躍遷時的不同.無相互作用時,系統會產生橫流相、縱流相、渦旋相三種相,橫流相、縱流相是躍遷變得交錯的過程中態連續變化產生的.強相互作用時超流區也分為這些相,但擁有更豐富的相變類型;以 n=0.25 為例來展示交錯躍遷時的Mott相,能發現渦旋相僅僅存在于交錯躍遷弱的區域,交錯躍遷的變強會漸漸壓縮渦旋相存在的區域,導致最終產生的Mott區不包含渦旋相;這個Mott區不存在相變來區分橫流相、縱流相,因此叫作Mott-均勻相;交錯躍遷除了本身能驅動Mott-超流相變外,還使系統改變磁通時能驅動Mott-超流相變.對這一模型的研究豐富了流相的種類,為實現人造規范場的各種新穎平臺[19,49,50]中手性流的進一步的研究提供了基礎.