極化電場對可激發介質中螺旋波的控制*

潘軍廷 何銀杰 夏遠勛 張宏?

1)(浙江大學海洋學院,舟山 316021)

2)(浙江大學物理學系,浙江近代物理中心,杭州 310027)

螺旋波在不同的物理、化學和生物系統中普遍存在.周期外場,比如極化電場,尤其是具有旋轉對稱性的圓極化電場可對螺旋波動力學產生重要影響.本文綜述了極化電場對可激發介質中螺旋波的控制,包括共振漂移、同步、手征對稱性破缺、多臂螺旋波的穩定、次激發介質中的螺旋波、三維回卷波湍流態的控制、心臟組織中螺旋波的去釘扎、心臟組織中螺旋波湍流態的控制等.

1 引 言

許多生物膜、生理組織、化學反應系統都具有“可激發”的性質[1].當此類系統的局部區域處于靜息狀態時,對微擾是穩定的;但對于較強的擾動將有一個快速的響應,呈現激發狀態,最后回到靜息狀態.螺旋波廣泛地存在于各類可激發介質,包括Belousov-Zhabotinsky(BZ)化學反應[2]、一氧化碳在鉑金表面的氧化反應[3]、心臟組織[4]等系統中.心臟實驗表明,心律失常與螺旋波的自組織及螺旋波湍流態有密切關系[4,5],螺旋波的深入研究對心臟病研究將會產生重要影響.另外,與人們所熟悉的行波表現為平行的波前和波背完全一致地傳播的情形不同,螺旋波的波前和波背在頂點處融為一體,形成具有奇異性結構的螺旋波端點.此端點構成了螺旋波的組織中心,是一個時空點拓撲缺陷(相位奇點),研究螺旋波可為人們研究拓撲缺陷動力學提供一種有效的途徑.

電場對螺旋波影響的實驗和理論工作比較豐富,包括直流電場和交流電場.在BZ反應實驗中,Steinbock等[6]發現直流電場可使螺旋波的漂移速度形成分別與電場方向平行和垂直的兩個分量,且其垂直分量的方向會因螺旋波的手征性不同而各異.Mu?uzuri等[7]指出,當交流電場頻率成兩倍于螺旋波頻率時,螺旋波會產生共振漂移.Zhang等[8]研究了直流、交流電場作用下的螺旋波漂移行為,得到了螺旋波漂移速度的一個近似解析公式.

上述研究的外加電場,只具有一個方向指向.由于螺旋波繞其端點旋轉,具有旋轉對稱性,人們希望外加的電場也具有旋轉對稱性.Chen等[9]通過把兩個相互垂直且頻率相同的交流電場疊加,理論上提出了一個極化電場(圖1),實現了外電場具有旋轉對稱性的特性.通過調節兩交流電場間的相位差,可以得到不同模式的極化電場,比如線極化、橢圓極化、圓極化電場等(圖2).近來,Ji等[10]在BZ反應實驗中實現了外加極化電場.

圖1 極化電場示意圖[11] Ex,Ey 表示兩個相互垂直的交流電場,E0,ωe 分別是交流電場的振幅和頻率,φe,φxy分別是初相位和相位差Fig.1.Realization sketch of a polarized electric field[11]: Ex,Ey are two ac electric fields perpendicular to each other,where E0,ωe are the amplitude and the frequency of the electric field,respectively,and φe,φxy are the initial phase and the phase difference,respectively.

描述螺旋波動力學的反應擴散方程一般可表述為[12]

其中 u,v 是系統變量;f,g 代表反應函數(f,g 的具體形式可參見文獻[12]);ε 描述介質的可激發性;Du,Dv是擴散系數.系統(1)式可外加一極化電場 Ex=E0cos(ωet+φe),Ey=E0cos(ωet+φe+φxy),其中 Ex,Ey表示兩個相互垂直的交流電場.

如果研究的系統是化學系統,比如BZ反應,極化電場對系統的影響表現為[13]: 方程(1)中,第一個方程的右邊加入第二個方程的右邊加入其中 Mu,Mv表示離子遷移率.本文第2—7節所研究的系統為化學系統.

如果研究的系統是心臟系統(Dv為零),極化電場只對系統中的缺陷邊界產生影響,表現為在缺陷邊界有一零流邊界條件[14]: n ·?(u+E ·r)=0,其中n是缺陷邊界處的法向矢量,r 為缺陷邊界處的點,u 為跨膜電壓,E=(Ex,Ey)為極化電場.本文第8節和第9節所研究的系統為心臟系統.

2 螺旋波的共振漂移

極化電場下,Chen 等[9]研究得出,當電場頻率是螺旋波頻率的2倍時,螺旋波呈直線漂移,即共振漂移.當電場為圓極化電場,且與螺旋波同向旋轉時,螺旋波的漂移速率最大;反之,當圓極化電場與螺旋波反向旋轉時,螺旋波不發生漂移.另外,通過改變極化電場的相位差,可改變螺旋波的漂移速度.

近來,Li等[15]基于響應函數理論[16?18],考慮方程(1)受弱電場擾動作用,研究了弱極化電場下螺旋波的漂移行為.研究解析給出了螺旋波的漂移速度公式,且該公式適用于強激發及弱激發介質(圖3).當圓極化電場頻率是螺旋波頻率的2倍時,研究得到順時針旋轉螺旋波的漂移速度公式為

圖2 不同相位差的極化電場[9]Fig.2.Polarized electric fields at different phase differences[9].

圖3 無電場作用下,順時針旋轉的螺旋波[15](a)強激發介質;(b)弱激發介質Fig.3.Clockwise(cw)rotating spiral waves without electric field[15]:(a)Highly excitable medium;(b)weakly excitable medium.

3 螺旋波的同步

若周期外力使系統的振動模式受迫變為與外力驅動同頻,即出現了鎖頻現象.鎖頻狀態中,外力振幅與頻率差呈現出舌狀關聯,即存在Arnold tongue區域[19].Chen等[20]數值研究了圓極化電場對螺旋波頻率的影響,發現當圓極化電場和螺旋波同向旋轉,且二者頻率較為接近時,原來處于嚴格旋轉或漫游狀態的螺旋波均可被圓極化電場同步(圖5),并與圓極化電場保持著恒定的旋轉方向偏角.鎖頻后,圓極化電場強度與頻率之間,出現了 Arnold tongue區域.

圖4 極化電場作用下順時針旋轉螺旋波的漂移[15](a),(b)順時針(φxy=0.5π)、逆時針(φxy=1.5π)旋轉的圓極化電場作用下螺旋 波的漂移,其中,ωe=2ω,φe=0,Φ =0,ω 是 螺旋波的頻率;(c),(d)漂移 速率與相位 差 φxy 的關系,實 線為理論結 果,圓圈為數值結果;(e),(f)漂移角與相位差 φxy 的關系,實線為理論結果,圓圈為數值結果.當漂移速率為0(φxy=1.5π),無漂移角;(a),(c),(e)強激發介質;(b),(d),(f)弱激發介質Fig.4.Drifting behaviors of cw spirals under the influence of a polarized electric field[15]:(a),(b)Drifting behaviors of spirals under the influence of a cw(φxy=0.5π)and a counterclockwise(ccw)(φxy=1.5π)circularly polarized electric fields(CPEFs)with ωe=2ω,φe=0,Φ=0,and ω being the frequency of the spiral waves;(c),(d)dependence of theoretical(lines)and numerical(circles)drift speeds on the phase difference φxy;(e),(f)dependence of theoretical(lines)and numerical(circles)drift angles on the phase difference φxy .When the drift speed is 0(φxy=1.5π),the drift angle cannot be defined.(a),(c),(e)Highly excitable medium;(b),(d),(f)Weakly excitable medium.

圖5 螺旋波端點軌跡[20](a)?(e)無圓極化電場作用;(f)?(j)有圓極化電場作用,同一列上下兩個圖的介質尺寸相同Fig.5.Trajectories of spiral tips without control(a)?(e)and under control(f)?(j)of CPEF[20].The size in the same column is identical.

近來,Li等[21]基于響應函數理論,對 Chen 等[20]的發現進行了理論研究,解析給出了圓極化電場作用下,螺旋波的穩定區域及同步條件,從理論上得到了圓極化電場的 Arnold tongue區域(圖 6),理論和數值結果符合較好.

圖6 圓極化電場強度與頻率之間的 Arnold tongue 區域[21]實線為理論結果,圓圈為數值結果Fig.6.Arnold tongue of the(ωe,E0)-plane of CPEF[21]:Lines and circles denote the theoretical and the numerical results,respectively.

4 手征對稱性破缺

螺旋波湍流態下,系統中具有順時針、逆時針旋轉方向的螺旋波數目一般情況下一樣多,系統總體上呈現出手征對稱性,即零旋轉手征對稱性.早年,Nicolis和Prigogine[22]預言,若反應擴散系統受手征性外場作用,可能產生手征對稱性破缺.近來,Li等[23]研究了圓極化電場對反應擴散系統中螺旋波湍流態手征性的影響,發現外加的圓極化電場,可使原先具有零旋轉手征對稱性的系統出現手征對稱性破缺,且使系統具有與圓極化電場的旋轉手征性一致的手征性(圖7).研究利用漫游螺旋波,進一步發現其原因在于,外加的圓極化電場,可使系統中與其同向旋轉的螺旋波同步,進而產生頻移,從而壓制住具有另外旋轉方向的螺旋波,使得系統出現了手征對稱性破缺(圖8).對于嚴格旋轉的螺旋波,Li等[24]理論分析和數值模擬發現,與圓極化電場同向、反向旋轉的螺旋波,均可通過調節電場頻率對其手征性進行控制.

5 多臂螺旋波的穩定

兩個或多個相同手征性的螺旋波可以形成一個多臂螺旋波[25],其穩定性與它的周期密切相關[26].比如,當雙臂螺旋波的周期小于一定臨界值時,兩個螺旋波之間的排斥作用會增強,使其衰退變成兩個單臂螺旋波.Deng等[27]研究發現,與雙臂螺旋波反向旋轉的圓極化電場,可使雙臂螺旋波的周期增大,進而減弱兩個螺旋波之間的相互作用,從而可使其處于穩定狀態(圖9).進一步研究表明,外加的圓極化電場,需要具有合適的強度和頻率,才可使雙臂螺旋波穩定(圖10給出了詳細的相圖).

圖7 螺旋波湍流態中的手征對稱性破缺[23](a)螺旋波湍流態中逆時針(黑點)、順時針(白點)旋轉的螺旋波;(b)在逆時針旋轉的圓極化電場作用下,系統中僅存留逆時針旋轉的螺旋波;(c)當(b)中的圓極化電場變成順時針旋轉后,系統中僅存留順時針旋轉的螺旋波.ωe=1.25,E0=0.20Fig.7.Coherent state out of defect-mediated turbulence accompanied by chiral symmetry breaking[23]:(a)An initial defect-mediated turbulence state consists of ccw spiral defects(black dots)and cw ones(white dots);(b)coherent state with only ccw spiral waves exists in the asymptotic state when the system is coupled to a ccw CPEF with ωe=1.25 and E0=0.20;(c)similar to(b)but with a cw CPEF,and in such a case,only cw spiral waves survive in the system.

6 次激發介質中的螺旋波

若介質的激發性只能維持平面波的傳播,但不能讓螺旋波旋轉起來,則介質屬于次激發介質[28].Jung和Mayer-Kress[29,30]提出,噪聲作用可助次激發介質產生螺旋波.Cai等[11]發現,圓極化電場可使次激發介質中原先不斷收縮的半平面波不再收縮,而是發生卷曲形成螺旋波(圖11).所形成的螺旋波可處于嚴格旋轉狀態,且與圓極化電場同步.基于運動學關系[31]

圖8 逆時針旋轉圓極化電場作用下,漫游螺旋波對的手征對稱性破缺[23](a)E0=0;(b)E0=0.10,ωe=1.350＞ω0ms(ω0ms≈ 1.309),其中 ω0ms 是無圓極化電 場作用下,漫游螺旋波的主頻率;(c)E0=0.24,ωe=1.307＜ ω0ms;(d)圓極化電場作用下,逆時針旋轉螺旋波頻率 ωsccw(實心圓圈)及順時針旋轉螺旋波頻率 ω scw(空心圓圈)與圓極化電場頻率 ωe 的 關系,其 中 E0=0.10;(e)圓極化電場作用下,逆時針旋轉螺旋波頻率 ωsccw(實心圓圈)及順時針旋轉螺旋波頻率 ωscw(空心圓圈)與圓極化電場強度 E 0 的關系,其中 ωe=1.307Fig.8.Symmetry breaking of a meandering spiral pair under a ccw CPEF[23]:(a)E0=0;(b)E0=0.10,ωe=1.350＞ω0ms(ω0ms≈ 1.309),where ω0ms is the principal frequency of the meandering spiral without the CPEF;(c)E0=0.24,ωe=1.307＜ ω0ms;(d)dependence of ωsccw(the frequency of the ccw spiral wave)(full circles)and ωscw(the frequency of the cw spiral wave)(open circles)on ωe with E0=0.10;(e)dependence of ωsccw(full circles)and ωscw(open circles)on E0 with ωe=1.307 .

圖9 圓極化電場對雙臂螺旋波的穩定作用[27](a)無外場作用;(b)有圓極化電場作用,E0=1.0,ωe=1.22Fig.9.Stabilization of two-armed spiral by CPEF[27]:(a)Without external fields;(b)in the presence of a CPEF with E0=1.0,ωe=1.22 .

研究給出了圓極化電場使次激發介質產生螺旋波的定量解釋.方程(3)中,ct是半平面波端點的切向速度,c0表 示平面波的速度.cB=c0(B-Bc)/K,其中,表征介質的激發性,Δ=δ3-3δ由系統參數 δ 確 定;Bc=0.535 是區分次激發介質(B ＞Bc)和激發介質(B ＜Bc)的臨界值;K≈0.63是常數.cE=γ//E//+γ⊥E⊥,其中 E//=E0cosθ,E⊥=E0sinθ分別是與ct平行和垂直的電場分量;γ//≈-0.850,γ⊥≈0.929是常數;θ 是 ct與電場E 之間的夾角(圖 12(a)).Hakim和Karma[31]提出,方程(3)中,若 ct＜c0,則介質可產生螺旋波.Cai等[11]通過半解析分析,得出與圖11中的螺旋波對應的方程(3)中,cB+cE＜0(圖 12(b)),即ct＜c0,從而使得次激發介質中形成了螺旋波,且數值與半解析結果取得了一致的結果(圖12(c)).值得提出的是,圖11中的系統參數 B=0.5515,c0≈0.8887,從而可有 cB＞0 .因此,cB+cE＜0是圓極化電場作用的結果.

圖10 圓極化電場對雙臂螺旋波作用的相圖[27] BU,TS分別表示破碎、穩定區域;SS表示電場過弱,不足以穩定雙臂螺旋波而使其衰退為單臂螺旋波的區域;ω0=1.24是單臂螺旋波的頻率Fig.10.The phase diagram for the effects of CPEF on twoarmed spiral[27]: BU,TS denote the breakup and the stabilization regions,respectively,and SS means the region where the electric field is not strong enough to stabilize the two-armed spiral and it decays into two single-armed spirals.The frequency of the single-armed spiral ω0=1.24 .

圖11 次激?發介質中半平面波的演化[11](a)?(c)無外場作用;(d)(f)有圓極化電場作用.E0=0.2,ωe=0.2Fig.11.The evolution of a broken plane wave in the subexcitable system without(a)?(c)and with(d)?(f)CPEFs[11].E0=0.2,ωe=0.2 .

圖12 圓極化電場使次激發介質產生螺旋波的機制分析[11],E0=0.1(a)圓極化電場對螺旋波端點的作用示意圖;(b)cB+cE 隨 ωe的變化關系;(c)ct的半解析解與數值解的比較Fig.12.The mechanism analyses for spiral waves sustained by CPEF in subexcitable media[11],E0=0.1 :(a)The sketch of a spiral wave tip submitted to a CPEF;(b)results of cB+cE v arying with ωe;(c)the comparison of the semi-analytical ct with the numerical ct .

7 三維回卷波湍流態的控制

回卷波會因其奇異線張力為負而失穩成湍流態[32],相反,若奇異線張力為正,則可使回卷波處于穩定狀態.在系統全空間加周期信號[33],或在系統的某一局部加一個較強的周期信號[34],這種張力為負引起的回卷波湍流態可以被控制到空間均勻狀態.最近,Li等[35]發現,圓極化電場可抑制因張力為負引起的回卷波湍流態,而使其從無序湍流態走向有序回卷波態(圖13).其原因在于圓極化電場可使回卷波鎖相,進而將奇異線張力由負變為正,以及具有較原先高些的頻率.研究進一步發現,在圓極化電場頻率與回卷波頻率較為接近的范圍內,如此的回卷波湍流被抑制現象存在一定的范圍(圖 14).另外,基于響應函數理論,研究發現圓極化電場下,奇異線張力滿足以下關系[35]:

其中 Γ1,γ1分別表示回卷波在有、無外電場作用下的奇異線張力,E0為 電場強度,Δ ω 表征電場與回卷波之間的頻差.M,g//,g⊥三個參數可由理論計算得到.數值計算與理論值取得一致的結果(圖15).

圖13 圓極化電場作用下,回卷波湍流態從無序走向有序[35] E0=0.4,ωe=ω0=1.2455,其中 ω0 表 示螺旋波的頻率;t=0,施加圓極化電場作用;黃線表示奇異線Fig.13.Ordering of scroll wave turbulence by switching on a ccw CPEF at t=0 with E0=0.4 and rotation frequency ωe=1.2455 equal to the natural spiral wave frequency ω0[35].Filaments are shown in yellow.

圖14 圓極化電場抑制(實心圓圈)回卷波湍流態的參數區域中,電場強度 E 0 與 歸一化頻率 ωe/ω0 的關系[35],交叉表示不能抑制回卷波湍流態Fig.14.Parameter region of scroll wave turbulence suppression(full circles)as a function of external field amplitude E0 and normalized frequency ωe/ω0[35].Crosses denote failure of ordering turbulence.

圖15 鎖相回卷波的奇異線張力[35]Fig.15.Filament tension of phase-locked scroll waves[35].

8 心臟組織中螺旋波的去釘扎

心臟系統中,螺旋波會引起心動過速,若螺旋波被缺陷釘扎住而無法驅趕走,則可能導致更嚴重的心臟疾病.為了使螺旋波去釘扎,人們研究發現,勻強電場在缺陷邊界處可產生激發波[36?39],進而可使螺旋波去釘扎.Feng等[40]發現,相比于勻強電場,圓極化電場作用下缺陷邊界的膜電勢分布呈動態的“太極圖”狀(勻強電場下,呈靜態的對稱偶極子狀),且與圓極化電場同步旋轉(圖16).研究發現,圓極化電場能有效地使螺旋波去釘扎(圖17).由于圓極化電場作用產生的“太極圖”式的膜電勢分布,即去極化及超極化區域可與電場動態同步旋轉,使得螺旋波的去釘扎較勻強電場更有效、所需的外加電壓更低,以及有更大的適用范圍(圖18).

9 心臟組織中螺旋波湍流態的控制

心臟組織中的螺旋波湍流態,會引起嚴重的心臟病,比如心顫[41].人們通常采用單個高壓電擊作用于心臟而使其恢復正常心電活動[42?44],但因其副作用太大[43,44]而局限過大.缺陷激發波法[36?39]利用低電壓勻強電場在缺陷邊界產生激發波,從而可以去顫.但該方法只能在缺陷鄰近處有效而使其效率受限(需要較多缺陷,才能產生出較多的激發波去顫).Feng等[45]發現,圓極化電場在低電壓下,可使缺陷組織激發形成不斷向外傳播的圓形波,且其頻率可高于湍流波的頻率(圖19).這些具有較高頻率的圓形波可抑制住心臟組織中的湍流態,從而可以去顫(圖20).相對而言,勻強電場雖也可使缺陷組織激發出圓形波,但其頻率幾乎都是低于湍流波的頻率(圖21),從而很難實現對湍流態的有效控制.

圖16 圓極化電場(a)(c)和勻強電場(b)(d)作用下的膜電勢分布[40](a)Luo-Rudy 模型,E0=0.05V/cm,ωe=0.2 rad/ms;(b)Luo-Rudy 模型,E0=0.05V/cm;(c)Barkley模型,E0=0.05,ωe=4;(d)Barkley 模型,E0=0.05 .R 表示缺陷半徑,Luo-Rudy 模型中,R=0.32cm;Barkley模型中,R=3 .紅色點箭頭表示電場方向,紅色曲線箭頭表示圓極化電場逆時針旋轉.圍繞著缺陷的紅色、藍色分別表示去極化、超極化區域Fig.16.Distribution of the membrane potential induced by CPEF and uniform electric field(UEF)[40]:(a)CPEF in Luo-Rudy model,E0=0.05V/cm,ωe=0.2rad/ms;(b)UEF in Luo-Rudy model,E0=0.05V/cm;(c)CPEF in Barkley model,E0=0.05,ωe=4;(d)UEF in Barkley model,E0=0.05 .In Luo-Rudy model,the obstacle size R=0.32cm,and in Barkley model,R=3 .The red dotted arrows represent the directions of electric fields.The red curved arrows mean CPEFs rotate counterclockwise.The red and the blue regions around obstacles demonstrate de-polarizations and hyper-polarizations,respectively.

圖17 圓極化電場去除順時針旋轉的釘扎螺旋波[40](a)Luo-Rudy模型,螺旋波頻率ωs=0.136rad/ms,圓極化電場E0=0.7V/cm,ωe=0.1rad/ms;電場作用時間 t=0—46.2 ms,圓極化電場相對于 x 軸的初相位為 φe;螺旋波相對于 x 軸的初相位 φs=0;(b)Barkley模型,螺旋波頻率ωs=1.024,圓極化電場E0=1.8,ωe=3.686;電場作用時間t=0—6.N和N' 表示不同時刻圓極化電場激發產生的激發波,S和S' 分別表示初始的釘扎螺旋波、去釘扎后的螺旋波.白色箭頭表示波的傳播方向Fig.17.Unpinning the cw rotating anchored spiral by CPEF[40]:(a)Luo-Rudy model,the frequency of spiral ωs=0.136rad/ms;E0=0.7V/cm,ωe=0.1rad/ms;CPEF is applied from t=0 to t=46.2ms .φe is the initial phase of CPEF relative to x axis;φs is the initial phase of the anchored spiral front relative to x axis and sets as zero;(b)Barkley model,ωs=1.024,E0=1.8,ωe=3.686;CPEF is applied from t=0 to t=6 .N and N' represent different new waves nucleated by CPEF in different time.S and S' represent the initial anchord spiral and the new free spiral,respectively.White arrows are the propagation directions of waves.

圖18 Barkley 模型中,圓極化電場(灰色區域)和勻強電場(陰影區域)去除釘扎螺旋波的適用范圍[40] SW,NW,RW和BI分別表示螺旋波、無波、收縮波和雙穩區域;圓極化電場 E0=1.8,ωe=3.6ωs;勻強電場E0=7Fig.18.Unpinning scope of CPEF(gray)and UEF(shaded)in Barkley model[40]: SW,NW,RW and BI regions represent spiral waves,no wave,retracting waves and bi-stability,respectively;for CPEF,E0=1.8,ωe=3.6ωs and for UEF,E0=7 .

圖19 靜息態下圓極化電場及其激發產生的圓形波列之間的頻率關系[45] E0=1.0V/cm,0.065rad/ms≤ ωCPEF≤0.22 rad/ms;ωcir 是 圓形波列的頻率;ωtur 是螺旋波湍流態的主頻率Fig.19.The frequency relations between the circular wave train and CPEF in a two-dimensional quiescent medium[45]:E0=1.0V/cm,0 .065rad/ms≤ ωCPEF≤ 0.22 rad/ms;ωcir is the frequency of the circular wave trains,and ωtur is the dominant frequency of the spiral turbulence.

圖20 圓極化電場抑制螺旋波湍流態[45]E0=1.0V/cm,ωCPEF=0.14rad/ms(a) t =0;(b)t=1000 ms;(c)t=1800 ms;(d)t=2800 msFig.20.Suppression of spiral turbulence by CPEF[45]:E0=1.0V/cm,ωCPEF=0.14rad/ms :(a)t=0;(b)t=1000 ms;(c)t=1800 ms;(d)t=2800 ms.

圖21 靜息態下勻強電場及其激發產生的圓形波列之間的頻率關系[45] E0=1.0V/cm,0.065rad/ms≤ ωUEF≤0.22 rad/ms;脈沖間隔為10ms;ωcir是圓形波列的頻率;ωtur是螺旋波湍流態的主頻率Fig.21.The frequency relations between the circular wave train and UEF in a two-dimensional quiescent medium[45]:E0=1.0V/cm,0 .065rad/ms≤ ωCPEF≤ 0.22rad/ms;the pulse duration is 1 0ms;ωcir is the frequency of the circular wave trains,and ωtur is the dominant frequency of the spiral turbulence.

10 結 論

本文著重介紹了圓極化電場對可激發介質中螺旋波的控制.由于具有旋轉對稱性,圓極化電場可對螺旋波動力學產生獨特而有效的影響,并可基于運動學、響應函數等理論,給出相應的理論解釋.

近來,人們通過對兩對相互垂直的電極板通以交流電,在BZ反應實驗中實現了外加極化電場[10].心臟實驗方面,人們一般把兩對正負電極分別放置于心臟的四周,然后通以直流電來對心臟產生作用(文獻[38]的圖5(D)).很顯然,只要把其中的直流電換成交流電,就可以類似于BZ反應實驗一樣,在心臟實驗中實現外加極化電場.因此,極化電場在心臟病研究方面,也具有重要的意義.希望本文介紹的數值及理論結果可以在實驗上實現.