求離散型隨機變量期望與方差的常見策略

■江蘇省鹽城市時楊中學

離散型隨機變量最重要的特征數是數學期望與方差,反映了隨機變量取值的平均水平與波動幅度,它們都是建立在分布列基礎之上,與概率相聯系,因而成為高考的重點。通常情況下,求解離散型隨機變量的數學期望與方差,都是先求出隨機變量取每個值時的概率,再得其分布列,最后用數學期望與方差的定義求解。

一、利用離散型隨機變量的期望與方差的定義求解

例1(2019年北京理數第17題)改革開放以來,人們的支付方式發生了巨大轉變,近年來,移動支付已成為主要支付方式之一。為了解某校學生上個月A,B兩種移動支付方式的使用情況,從全校學生中隨機抽取了100人,發現樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人,樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如表1：

表1

(1)從全校學生中隨機抽取1人,估計該學生上個月A,B兩種支付方式都使用的概率。

(2)從樣本中僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人,以X表示這2人中上個月支付金額大于1 000元的人數,求X的分布列和數學期望。

(3)已知上個月樣本中學生的支付方式在本月沒有變化,現從樣本中僅使用A的學生中,隨機抽查3人,發現他們本月的支付金額都大于 2 000。根據抽查結果,能否認為樣本中僅使用A的學生中本月支付金額大于2 000的人數有變化? 請說明理由。

解析：(1)由題意知,從全校所有的1 000名學生中隨機抽取的100人中,A,B兩種支付方式都不使用的有5人,僅使用A的有30人,僅使用B的有25 人,故A,B兩種支付方式都使用的人數為100-5-30-25=40。

則從全校學生中隨機抽取1 人,估計該學生上個月A,B兩種支付方式都使用的概率。

(2)從樣本中僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人,以X表示這2人中上個月支付金額大于1 000元的人數,則X的可能取值為0,1,2。樣本中僅使用A的學生有30人,其中支付金額在(0,1 000]的有18人,超過1 000元的有12人。樣本中僅使用B的學生有25 人,其中支付金額在(0,1 000]的有10人,超過1 000元的有15人。

故X的分布列如表2：

表2

(3)不能認為樣本中僅使用A的學生中本月支付金額大于2 000 元的人數有變化,理由如下：從樣本知僅使用A的學生有30人,其中27人月支付金額不大于2 000,有3人月支付金額大于2 000,隨機抽查3 人,發現他們本月的支付金額都大于2 000的概率為,但也有發生的可能。

故不能認為樣本中僅使用A的學生中本月支付金額大于2 000的人數有變化。

點評：本題考查概率、離散型隨機變量的分布列、數學期望的求法,又考查古典概型、相互獨立事件概率乘法公式等基礎知識,也考查同學們的推理能力與計算能力,是中檔題。

練習1：某市有甲、乙、丙3個旅游景點,一位客人游覽這3個景點的概率分別是0.4,0.5,0.6,且客人是否游覽哪個景點互不影響,設ξ表示客人離開該城市時游覽的景點數與沒有游覽的景點數之差的絕對值。

(1)求ξ的分布列及數學期望;

(2)記“函數f(x)=x2-3ξx+1在區間[2,+∞)上單調遞增”為事件A,求事件A的概率。

解析：用A1表示游覽了第一個景點,表示沒游覽第一個景點;A2表示游覽了第二個景點,表示沒游覽第二個景點;A3表示游覽了第三個景點,表示沒游覽第三個景點。

(1)由分析得,P(ξ=3)=P(A1·A2·A3)+=P(A1)·P(A2)·P(A3)+=2×0.4×0.5×0.6=0.24。

P(ξ=1)=1-0.24=0.76。

所以ξ的分布列如表3：

表3

故E(ξ)=1×0.76+3×0.24=1.48。

(2)因為f(x)=,所以 函 數f(x)=x2-3ξx+1 在區間上單調遞增。要使f(x)在[2,+∞)上單調遞增,當且僅當,即ξ≤。從而P(A)==P(ξ=1)=0.76。

二、利用特殊分布的數學期望與方差求解

例2(2019 年天津理16)設甲、乙兩位同學上學期間,每天7：30之前到校的概率均為。假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響,且任一同學每天到校情況相互獨立。

(1)用X表示甲同學上學期間的3天中7：30之前到校的天數,求隨機變量X的分布列和數學期望;

(2)設M為事件“上學期間的3天中,甲同學在7：30 之前到校的天數比乙同學在7：30之前到校的天數恰好多2”,求事件M發生的概率。

解析：(1)甲同學上學期間的3天中到校情況相互獨立,且每天7：30之前到校的概率均為,故X～,從而P(X=k)=。

X的分布列如表4：

表4

(2)設乙同學上學期間的3天中7：30到校的天數為Y,則Y～。

由題意知M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}。并且{X=3,Y=1}與{X=2,Y=0}互斥,{X=3}與{Y=1},{X=2}與{Y=0}相互獨立,由(1)知,P(M)=P({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})=P({X=3,Y=1})+P({X=2,Y=0})=P(X=3)·P(Y=1)+P(X=2)·P(Y=0)==。

點評：本題主要考查離散型隨機變量的分布列與期望,互斥事件與相互獨立事件的概率計算公式,也考查特殊分布的期望與方差公式,同時考查同學們應用概率公式解決實際問題的能力。

蘇佩斯對科學理論問題的研究始于邏輯經驗主義學派向歷史主義學派的轉型期，這便決定了其問題論證的出發點必然是基于對邏輯經驗主義“公認觀點”的批判，但他秉持一種多元論的包容性觀點，并未對其完全加以否定，而是針對其簡單性提出了質問。此外，蘇佩斯基于自身多年來對集合論的研究，把較強的數學元素引入討論中，這使得對理論的闡述在一階邏輯范圍內得以實現。再者，模型作為蘇佩斯科學理論研究中的重要基點，“集合論模型”的構建為直接描述科學理論問題提供了更為深入理論本質的探討。

練習2：一家面包房根據以往某種面包的銷售記錄,繪制了日銷售量的頻率分布直方圖,如圖1 所示。將日銷售量落入各組的頻率視為概率,并假設每天的銷售量相互獨立。

(1)求在未來連續3天里,有連續2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率;

(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100 個的天數,求隨機變量X的分布列、數學期望E(X)及方差D(X)。

解析：(1)設A1表示事件“日銷售量不低于100個”,A2表示事件“日銷售量低于50個”,B表示事件“在未來連續3天里,有連續2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個”,因此：

P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,P(A2)=0.003×50=0.15,P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108。

(2)X可能取的值為0,1,2,3,其相應的概率為：

X的分布列如表5：

因為X～B(3,0.6),所以數學期望E(X)=3×0.6=1.8,方差D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72。

三、利用離散型隨機變量的數學期望與方差解決其他問題

例3有一幢樓房共19 層,若選擇其中某一層作為會議室,開會時每層去1 人,則會議室設在第幾層時,可使每人所走過的路程最短?(每層樓高度相同)

解析：大部分的同學拿到該題首先想到利用等差數列的前n項和公式建立與路程之間的關系,然后求最值,這是一種常規的思路。如果我們換一個角度思考：會議室設在哪一層都是隨機的,而設在任一層樓的概率都為。這樣,與上面兩個問題完全相同,所以我們“希望”會議室所在的樓層即為隨機變量的數學期望。

由題意得會議室所在的樓層的分布列如表6：

表6

會議室設在第10層滿足題意。

點評：換一種角度,海闊天空,利用離散型隨機變量的分布列的數學期望可解決上述問題的最值問題。若把19改為n,則可進一步引申出更為一般的結論：當n為奇數時,會議室應設在層;當n為偶數時,會議室設在層均滿足題設要求。

練習3：設n把外形完全相同的鑰匙,其中只有1 把能打開大門,用它們去試開門上的鎖,若抽取鑰匙是相對獨立且等可能,每把鑰匙用后都不放回,試求開鎖次數的數學期望與方差。

解析：求P(ξ=k)時,由題意知前k-1次沒有打開,恰好第k次打開,取ξ=1,2,3,發現規律后,再推廣到一般。ξ的可能取值為1,2,3,…,n。

故ξ的分布列如表7：

表7

故E(ξ)==。

若按一般方法求方差,顯然相當麻煩,我們換作D(X)=E(X2)-(EX)2。

四、利用數學期望和方差制定出正確的方案

例4受轎車在保修期內維修費等因素的影響,每輛轎車產生的利潤與該轎車首次出現故障的時間有關,某轎車制造廠生產甲、乙兩種品牌轎車,保修期均為2 年,現從該廠已售出的兩種品牌轎車中隨機抽取50輛,統計數據如表8：

表8

將頻率視為概率,解答下列問題：

(1)從該廠生產的甲品牌轎車中隨機抽取一輛,求首次出現故障發生在保修期內的概率;

(2)若該廠生產的轎車均能售出,設生產一輛甲品牌轎車的利潤為X1,生產一輛乙品牌轎車的利潤為X2,分別求X1,X2的分布列;

(3)該廠預計今后這兩種品牌轎車銷量相當,由于資金限制,只能生產其中一種品牌轎車,若從經濟效益的角度考慮,你認為應該產生哪種品牌的轎車,并說明理由。

解析：(1)設“甲品牌轎車首次出現故障發生在保修期內”為事件A,則P(A)=。

(2)依題意得,X1的分布列如表9：

表9

X2的分布列如表10：

表10

(3)由(2)得,E(X1)==2.86(萬元);

E(X2)==2.79(萬元)。

因為E(X1)＞E(X2),所以應生產甲品牌轎車。

點評：利用數學期望來作出決策,在實際問題中有非常重要的比較價值。解決實際應用問題時,關鍵是正確理解隨機變量取每一個值時所表示的具體事件。