高考中統計與概率試題最新命題趨勢

■福建省泉州市第七中學

概率決策思想,突出學科素養導向,著重考查同學們的理性思維能力以及綜合運用數學思維方法分析問題、解決問題的能力,試題貼近生活,聯系社會實際,反映了數學應用廣泛,體現了數學的應用價值,在考試評價中落實立德樹人根本任務,對同學們的素質教育有很好的導向和促進作用。縱觀近幾年高考和省市模擬題,概率好題不勝枚舉,它們像一顆顆璀璨的珍珠在數學題海中閃閃發光,下面特精選幾例予以分類解析,旨在探究題型考查特點,僅供同學們參考,希望大家能決勝于高考。

一、概率與幾何圖形牽手，重點考查幾何概型

例1(2018 年全國Ⅰ卷)如圖1,來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形。此圖由三個半圓構成,三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,AC。△ABC的三邊所圍成的區域記為Ⅰ,陰影部分記為Ⅱ,其余部分記為Ⅲ。在整個圖形中隨機取一點,此點取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分別記為p1,p2,p3,則( )。

A.p1=p2B.p1=p3

C.p2=p3D.p1=p2+p3

解析：不妨設△ABC為等腰直角三角形,AB=AC=2,則BC=。所以區域Ⅰ的面積即△ABC的面積,S1=×2×2=2,區域 Ⅱ 的面積S2=π × 12-=2,區域Ⅲ的面積S3==π-2。根據幾何概型的概率計算公式,得,所以p1≠p3,p2≠p3,p1≠p2+p3,選A。

也可以令AB=2r1,AC=2r2,BC=2r3,代入對應關系式計算,得答案A。

例2在棱長為2 的正方體ABCDA1B1C1D1中,點O為底面A1B1C1D1的中心,在正方體ABCD-A1B1C1D1內隨機取一點P,則點P到點O的距離大于1的概率為_____。

解析：如圖2,與點O距離等于1 的點的軌跡是一個半球面,其體積V1=。

事件“點P與點O距離大于1的概率”對應的區域體積為,根據幾何概型概率公式得,點P與點O距離大于1 的概率P=。

點評：考查幾何概型計算公式：P(A)=。

二、以統計圖表為情景材料，通過實驗、計算機模擬呈現，考查隨機數和估值

例3若采用隨機模擬的方法估計某運動員射擊擊中目標的概率,先由計算器給出0到9之間取整數的隨機數,指定0,1,2,3表示沒有擊中目標,4,5,6,7,8,9 表示擊中目標,以4個隨機數為一組,代表射擊4次的結果,經隨機模擬產生了20組如下的隨機數：

根據以上數據估計該運動員射擊4次至少擊中3次的概率為______。

解析：根據數據得該運動員射擊4 次至少擊中3次的數據分別為7527 9857 8636 6947 4698 8045 9597 7424,共8個,所以該運動員射擊4次至少擊中3次的概率為=0.4。

例4已知0≤a＜2,0≤b＜4,為了估計在a＞1 的條件下,函數f(x)=x2+2ax+b有2 個相異零點的概率P,用計算機產生了[0,1)內的兩組隨機數a1,b1各2 400個,并組成了2 400個有序數對(a1,b1),統計這2 400 個有序數對后得到2×2 列聯表的部分數據如表1：

表1

則根據表中的數據,計算出概率P的估計值為( )。

解析：依題意可得數據如表2：

表2

因為0≤a＜2,0≤b＜4,函數f(x)=x2+2ax+b有2 個相異零點,所以Δ=4a2-4b＞0?a2-b＞0。取變換,因為在a＞1 的條件下,所以滿足的數對個數共為1 200 對。又函數f(x)=x2+2ax+b有2 個相異零點,滿足Δ=4a2-4b＞0?a2-b＞0,即(2a1)2-4b1＞0?-b1＞0?≥b1,故滿足b1＜的數對個數共有650對。則根據表中的數據,計算出概率P的估計值為P=,選C。

點評：本題是源于課本但又被適當改造的一道好題! 試題來源于教材,高于教材,有所創新,難點在于取變換,這體現了數學課本本源思想和學以致用的宗旨。

三、考查回歸直線，相關系數，2×2列聯表，獨立性檢驗

例5某芯片公司為制定下一年的研發投入計劃,需了解年研發資金投入量x(單位：億元)對年銷售額y(單位：億元)的影響。該公司對歷史數據進行對比分析,建立了兩個函數模型：①y=α+βx2,②y=eλx+t,其中α,β,λ,t均為常數,e為自然對數的底數。現該公司收集了近12年的年研發資金投入量x1和年銷售額y1的數據,i=1,2,…,12,并對這些數據作了初步處理,得到散點圖(圖3)及一些統計量的值。

令ui=,vi=lnyi(i=1,2,…,12),經計算得如下數據(表3、表4)：

表3

表4

(1)設{ui}和{yi}的相關系數為r1,{xi}和{vi}的相關系數為r2,請從相關系數的角度,選擇一個擬合程度更好的模型。

(2)(i)根據(1)的選擇及表中數據,建立y關于x的回歸方程(系數精確到0.01);

(ii)若下一年銷售額y需達到90億元,預測下一年的研發資金投入量x是多少億元。

附：①相關系數r=,回歸直線=a+bx中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：

解析：(1)r1====0.86,r2==≈0.91,則|r1|＜|r2|,因此從相關系數的角度來說,模型y=eλx+t的擬合程度更好。

(2)(i)先建立v關于x的線性回歸方程。由y=eλx+t,得lny=t+λx,即v=t+λx。

由于λ=≈0.018,t==4.20-0.018×20=3.84,所以v關于x的線性回歸方程為v=0.02x+3.84,即lny=0.02x+3.84,y=e0.02x+3.84。

(ii)下一年銷售額y需達到90億元,即y=90,代入y=e0.02x+3.84得,90=e0.02x+3.84。又e4.4998≈90,故4.499 8≈0.02x+3.84。

解得x≈=32.99。

所以預測下一年的研發資金投入量約是32.99億元。

點評：求回歸方程要求線性相關,如不是,應通過換元構造線性相關。

四、利用正態分布(μ,σ)原則進行數據分析，注意運算的技巧

例6(2017 年新課標Ⅰ卷)為了監控某種零件的一條生產線的生產過程,檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件,并測量其尺寸(單位：cm)。根據長期生產經驗,可以認為這條生產線正常狀態下生產的零件的尺寸服從正態分布N(μ,σ2)。

(1)假設生產狀態正常,記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件數,求P(X≥1)及X的數學期望。

(2)一天內抽檢零件中,如果出現了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況,需對當天的生產過程進行檢查。(i)試說明上述監控生產過程方法的合理性;(ii)下表是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：

表5

附：若隨機變量Z服從正態分布N(μ,σ2),則P(μ-3σ＜Z＜μ+3σ)=0.997 4,0.997 416≈0.959 2,≈0.09。

解析：(1)抽取的一個零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之內的概率為0.997 4,從而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率為0.002 6,故X～B(16,0.002 6)。因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997 416=0.040 8。X的數學期望E(X)=16×0.002 6=0.041 6。

(2)(i)如果生產狀態正常,一個零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.002 6,一天內抽取的16個零件中,出現尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.040 8,發生的概率很小。因此,一旦發生這種情況,就有理由認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現了異常情況,需對當天的生產過程進行檢查,可見上述監控生產過程的方法是合理的。

點評：運算求解能力主要是指會根據法則、公式進行正確運算和數據處理,能根據問題的條件尋找與設計合理、簡捷的運算途徑,能根據要求對數據進行估計和近似計算。從高考改卷反饋和運算方面看,有些同學不知從s=≈0.212中解出;不會由=9.97和s≈0.212計算出區間(-3σ,+3σ)的端點值9.334,10.606;計算=時,不懂得反向處理數據或各項統一分離10后轉化為;計算=時,不懂得先轉化為,再利用=9.97簡化運算;計算s2=[0.072+0.12+0.062+0.062+0.012+0.12+0.042+0.022+0.242+0.112+0.112+02+0.022+0.032+0.072]=0.008 13≈0.008,不懂各項統一提取0.012的技巧;計算s2=[16×0.2122+16×9.972-9.222-15×10.022]時,不懂得在保證精確度要求的前提下進行近似處理以簡化運算。

五、采用統計知識對比分析，為相應決策提供依據

例7(2018 年全國卷Ⅰ卷)某工廠的某種產品成箱包裝,每箱200 件,每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗,如檢驗出不合格產品,則需要換為合格產品。檢驗時,先從這箱產品中任取20 件作檢驗,再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗,設每件產品為不合格品的概率都為p(0＜p＜1),且各件產品是否為不合格品相互獨立。

(1)記20件產品中恰有2件不合格產品的概率為f(p),求f(p)取最大值時p的值p0。

(2)現對一箱產品檢驗了20 件,結果恰有2件不合格品,以(1)中確定的p0作為p的值。已知每件產品的檢驗費用為2 元,若有不合格品進入用戶手中,則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用。

(i)若不對該箱余下的產品作檢驗,這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X,求E(X);(ii)以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據,是否該對這箱余下的所有產品作檢驗?

解析：(1)20 件產品中恰有2 件不合格產品的概率為。

因此,f′(p)=[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=(1-p)17(1-10p)。

令f′(p)=0,得p=0.1。當p∈(0,0.1)時,f′(p)＞0;當p∈(0.1,1)時,f′(p)＜0。

所以f(p)取最大值時p=p0=0.1。

(2)由(1)知,p=0.1。(i)令Y表示余下的180件產品中的不合格品件數,依題意知Y～B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y。所以E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=490。(ii)如果對余下的產品作檢驗,則這一箱產品所需要的檢驗費為400元。由于E(X)＞400,故應該對余下的產品作檢驗。

點評：統計與概率問題與實際生活聯系十分密切,來源于實際生活,又服務于實際生活,因此在高考試卷中常扮演著考查同學們應用數學知識解決實際問題能力的角色,可依據統計學中的方法對數據進行分析,作出合理的決策。

六、統計與數列交匯，考查小概率事件，體現了統計與概率應用的廣泛性

例8(2019年高考新課標Ⅰ卷)為治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進行動物試驗。試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗。對于兩只白鼠,隨機選一只施以甲藥,另一只施以乙藥。一輪的治療結果得出后,再安排下一輪試驗。當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時,就停止試驗,并認為治愈只數多的藥更有效。為了方便描述問題,約定：對于每輪試驗,若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分,乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1 分,甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分。甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β,一輪試驗中甲藥的得分記為X。

(1)求X的分布列。

(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計得分為i時,最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率,則p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1)。假設α=0.5,β=0.8。

(i)證明：{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數列;(ii)求p4,并根據p4的值解釋這種試驗方案的合理性。

解析：(1)X的所有可能取值為-1,0,1,P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β),P(X=1)=α(1-β)。

所以X的分布列如表6：

表6

(2)(i)由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1。

因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即pi+1-pi=4(pi-pi-1)。

又因為p1-p0=p1≠0,所以{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)是公比為4,首項為p1的等比數列。

(ii)由(i)可得：

p8=p8-p7+p7-p6+…+p1-p0+p0=(p8-p7)+(p7-p6)+…+(p1-p0)=。

由于p8=1,故p1=。

所以p4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-p0)+p0=。

p4表示最終認為甲藥更有效的概率,由計算結果可以看出,在甲藥治愈率為0.5,乙藥治愈率為0.8時,認為甲藥更有效的概率為p4=≈0.003 9,此時得出錯誤結論的概率非常小,說明這種試驗方案合理。

點評：當創新性問題的情境很復雜時,靜下心來讀懂題意是第一要務,在讀懂題意的前提下抽象概括出數學模型,以便順利解題。

統計與概率進一步強化應用意識的考查,已成高考命題改革的必然趨勢。試題文字閱讀量的逐年增加,或成高考試卷的發展趨勢,因此,同學們在學習時關注生活背景、社會現實、經濟建設、科技發展等各個方面,注意培養大家善于從普通語言中捕捉信息、將普通語言轉化為數學語言的能力,加強平時的閱讀訓練和指導,應該呈現讀題提取關鍵信息、分析題形成解題思路、解題規范表達、反思積淀解題經驗的“四部曲”完整過程,才能充分發揮解題學習的效益。