統計與概率的綜合例說

■山東省棗莊二中

概率是近幾年高考的熱點之一,主要考查隨機事件的概率、古典概型、幾何概型、隨機變量及其分布等知識,近幾年高考對概率的考查由單一型向知識交匯型轉變,且多為古典概型、隨機變量及其分布與莖葉圖、頻率分布直方圖、回歸分析、獨立性檢驗等交匯考查。

一、古典概型與獨立性檢驗的交匯考查

例1(2019 年高考新課標Ⅰ卷文數)某商場為提高服務質量,隨機調查了50名男顧客和50名女顧客,每位顧客對該商場的服務給出滿意或不滿意的評價,得到列聯表：

表1

(1)分別估計男、女顧客對該商場服務滿意的概率;

(2)能否有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異?

附：K2=。

表2

解析：從題中所給的2×2列聯表中讀出相關的數據,利用滿意的人數除以總的人數,分別算出相應的頻率,即估計得出的概率值;利用公式求得觀測值與臨界值比較,得到能有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異。

(1)由題中表格可知,50 名男顧客中對商場服務滿意的有40人,所以男顧客對商場服務滿意率估計為。

50名女顧客中對商場滿意的有30 人,所以女顧客對商場服務滿意率估計為P2=。

(2)由列聯表可知K2=≈4.762 ＞3.841,所以能有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異。

點睛：解答此類問題的策略：(1)解決古典概型的概率問題,關鍵是正確找出基本事件總數和所求事件包含的基本事件數,然后利用古典概型的概率計算公式計算;當基本事件總數較少時,可用列舉法把所有的基本事件一一列舉出來,要做到不重不漏,有時可借助表格,樹狀圖列舉,同時注意判斷是古典概型還是幾何概型,基本事件前者是有限的,后者是無限的。

(2)獨立性檢驗是用來考查兩個分類變量是否有關系,計算隨機變量的觀測值K2,K2越大,說明兩個分類變量有關系的可能性越大。

該題考查的是有關概率與統計的知識,涉及的知識點有利用頻率來估計概率,利用列聯表計算K2的值,獨立性檢驗,屬于簡單題目。

二、古典概型與用樣本估計總體交匯考查

例2(貴州省2019屆高三聯考試題)隨機抽取某校高一100名學生的期末考試英語成績(他們的英語成績都在80分～140分之間),將他們的英語成績(單位：分)分成：[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140]六組,得到如圖1所示的部分頻率分布直方圖,已知成績處于[90,100)內與[100,110)內的頻數之和等于成績處于[110,120)內的頻數,根據圖中的信息,回答下列問題：

(1)求頻率分布直方圖中未畫出的小矩形的面積之和;

(2)求成績處于[110,120)內與[100,110)內的頻率之差;

(3)用分層抽樣的方法從成績不低于120分的學生中選取一個容量為6 的樣本,將該樣本看成一個總體,從中任選2人,求這2人中恰有1人成績低于130分的概率。

解析：(1)由題意可知,成績處于[110,120)內的概率為1-(0.010+0.015+0.025+0.005)×10=0.45,所以頻率分布直方圖中未畫出的小矩形的面積之和為0.45。

(2)設成績處于[100,110)與[110,120)內的頻率分別為a,b。

因為成績處于[90,100)內與[100,110)內的概率之和等于成績處于[110,120)內的頻率,所以：

所以成績處于[110,120)內與[100,110)內的頻率之差為0.3-0.15=0.15。

(3)由題意知,成績處于[120,130)內的學生數為100×0.25=25,成績處于[130,140)內的學生數為100×0.05=5。所以用分層抽樣的方法從身高不低于120分的學生中選取一個容量為6 的樣本,需從成績處于[120,130)內的學生中選取5人,記為A,B,C,D,E;從成績處于[130,140)內的學生中選取1 人,記為F。從中任選2 人：(AB),(AC),(AD),(AE),(AF),(BC),(BD),(BE),(BF),(CD),(CE),(CF),(DE),(DF),(EF)共有15種情況,這2人中恰有1人成績低于130 分的共有5 種情況,這2 人中恰有1人成績低于130分的概率P==。

點睛：求解此類問題的三步驟：

(1)識圖,即能讀懂已知頻率分布直方圖或莖葉圖所隱含的信息并進行信息提取。

(2)轉化,即對文字語言較多的題,需要根據題目信息耐心閱讀,步步實現文字語言與符號語言間的轉化。

(3)計算,即對頻率分布直方圖或莖葉圖所反饋的信息進行提取,并結合古典概型的概率公式進行運算。

三、隨機變量及其分布與用樣本估計總體交匯考查

例3(廣西百色市高三年級2019 屆摸底調研)在十九大“建設美麗中國”的號召下,某省級生態農業示范縣大力實施綠色生產方案,對某種農產品進行改良,為了檢查改良效果,從中隨機抽取100件作為樣本,稱出它們的重量(單位：g),重量分組區間為[10,20],(20,30],(30,40],(40,50],由此得到樣本的重量頻率分布直方圖(如圖2)。

(1)求a的值;

(2)根據樣本數據,估計樣本中個體的重量的眾數與平均值;

(3)以樣本數據來估計總體數據,從改良的農產品中隨機抽取3 個個體,其中重量在[10,20]內的個體的個數為X,求X的分布列和數學期望。(以直方圖中的頻率作為概率)

解析：(1)由題意,得(0.020+0.032+a+0.018)×10=1,解得a=0.030。

(2)由最高矩形所對應區間中點的橫坐標為25,可估計樣本個體重量的眾數約為25g。而100 件樣本重量的平均值為x=0.2×15+0.32×25+0.3×35+0.18×45=29.6(g),故估計樣本中個體重量的平均值約為29.6g。(3)利用樣本估計總體,該樣本中個體的重量在[10,20]內的概率為0.2,則X～。

故X的分布列如表3：

表3

則E(X)=。

點睛：本題考查了利用頻率直方圖求平均數與眾數和概率的計算,也考查了二項分布,是中檔題。

四、古典概型與隨機變量及其分布的交匯考查

例4(河北省唐山市2019 屆高三摸底考試數學試題)甲、乙兩位工人分別用兩種不同工藝生產同一種零件,已知尺寸在[223,228](單位：mm)內的零件為一等品,其余為二等品,測量甲、乙當天生產零件尺寸的莖葉圖如圖3所示：

(1)從甲、乙兩位工人當天所生產的零件中各隨機抽取1個零件,求抽取的2個零件等級互不相同的概率;

(2)從工人甲當天生產的零件中隨機抽取3個零件,記這3個零件中一等品數量為X,求X的分布列和數學期望。

解析：(1)由莖葉圖可知,甲當天生產了10個零件,其中4 個一等品,6 個二等品;乙當天生產了10個零件,其中5個一等品,5個二等品。所以抽取的2個零件等級互不相同的概率P=。

(2)X可取0,1,2,3。

X的分布列如表4：

表4

因此,E(X)=。

點睛：本題主要考查古典概型概率公式以及離散型隨機變量的分布列與數學期望,屬于中檔題。求解數學期望問題,首先要正確理解題意,其次要準確無誤地找出隨機變量的所有可能值,計算出相應的概率,寫出隨機變量的分布列,正確運用期望、方差的公式進行計算,也就是要過三關：(1)閱讀理解關;(2)概率計算關;(3)公式應用關。