高中生數學核心素養發展水平分析與教學建議
——2019 年高考（天津卷）數學（理工類）考試評價

劉 勇 沈 婕 傅 劍

2019 年普通高等學校招生全國統一考試（天津卷）數學（理工類）試卷（以下簡稱“2019 年高考數學（理）天津卷”）以《普通高中數學課程標準（實驗）》為依據，以《普通高中數學課程標準（2017 版）》（以下簡稱“《新課標》”）為參考，堅持能力立意的指導思想，將數學必備知識、關鍵能力和數學核心素養的考查融為一體，試題設計注重基礎性、綜合性、應用性和創新性相互融合，充分考查了學生的基礎知識、基本技能、基本思想方法和基本活動經驗，充分考查了學生的數學核心素養水平，也考查了學生發現提出問題和分析解決問題的能力。2019 年高考數學（理）天津卷保持了以往的框架結構，突出主干知識與通性通法的考查，突出關聯情境的創設，突出源于教材的命題特點。考后數據顯示，試卷難度為0.71，區分度為0.51，ALF 系數為0.86，試卷總體難度適當且保持穩定，具有較高的區分度和信度。采用安戈夫法，將考生分為精通水平（G4 組）、熟練水平（G3 組），基本水平（G2 組）以及基本水平以下（G1 組）四組，其分數段分別為128-150 分、106-127 分、84-105 分、84 分以下；全體考生記為G5 組。

一、試卷特點分析

（一）突出數學基礎知識、基本技能的考查

2019 年高考數學（理）天津卷以高中數學內容為主線，對高中數學主干知識進行了考查，函數與導數、數列、不等式、三角函數、概率、立體幾何、解析幾何等主干知識保持了較高的比例，既突出了基礎性，又達到了必要的深度。從試題的解題方法上看，全面考查了基礎知識與基本技能，引導教學要夯實基礎知識、提高基本技能、提煉通性通法。

（二）突出數學思想方法的考查

試卷體現了基礎知識與思想方法相融合解決問題的特點。例如，第2 題關于線性規劃、第5 題關于雙曲線與拋物線、第8 題關于分段函數、第14 題關于平面向量、第18 題關于直線與橢圓，考查了數形結合思想；第10 題關于二項式展開式、第12 題關于參數方程、第17 題第（III）問關于求空間線段長、第19 題關于數列的通項，考查了方程思想；第8 題考查了分類討論思想；第20 題考查了函數思想及轉化與化歸思想。這一特點引導了教學要注重數學思想方法的提煉、總結與應用，提高學生從數學思想方法的維度認識數學本質的能力。

（三）突出基本活動經驗的考查

試卷立足于學生較為熟悉的題型和方法，突出了對于學生基本活動經驗的考查。試卷題目情境學生較為熟悉，有些題目是將教材中的例題、練習、習題、復習參考題融合、嫁接而成的，例如第1、2、3、6、7、9、10、11、12、15 題；有些題目是學生常用的解題方法的整合，例如第13、14、18、19 題；另外有些題目涉及的知識點與以往試卷具有較高的相似度。這說明學生的基本活動經驗與答題效果有著密切的關系。這一特點引導了教學中要注重幫助學生總結、積累、應用和反思基本活動經驗，同時要重視研究教材的學習功能，挖掘教材資源的多用價值。

（四）突出數學核心素養的考查

試卷以設計關聯情境為載體，全面考查了學生數學學科核心素養的水平。試卷通過設計一些新情境，考查學生選擇和應用數學方法解決問題的能力，從而考查出學生的數學抽象素養水平。 例如第20題，需要考生從數量與數量關系中抽象出概念之間的關系，發現規律做出新的判斷，并用數學語言予以表征。試卷通過所設置的問題，考查了考生在探索與表達過程中重論據、有條理、合乎邏輯的理性思維能力，體現了對邏輯推理素養的考查。再如第17 題證明線面平行、第20 題證明不等關系，均需要考生通過對條件與結論的分析，探索論證思路，選擇合適的論證方法和準確的數學語言予以證明。數學建模和數據分析的考查主要以第16 題為載體，考查了二項分布在解決實際問題中的應用，考查了考生在實際問題情境中從數學視角發現問題和分析問題的能力，以及從數據中提取信息，運用概率模型解決問題的能力。數學運算素養的考查貫穿試卷始終，既考查了學生對運算對象的理解、運算思路的探究、運算方法的選擇能力，也考查了學生思維能力與運算技能相結合的能力。例如第18 題，需要考生結合橢圓與直線的幾何特征，尋找和設計合理、簡捷的運算途徑。試卷以立體幾何、平面向量、解析幾何、函數的圖象等內容為載體，考查了學生的直觀想象素養。考生在解題中要利用圖形描述、分析數學問題，建立形與數的聯系。這一特點引導了教學要將數學核心素養的培養貫穿始終，不僅要重視如何教，更要重視如何學。

二、學生數學核心素養發展的過程及表現

（一）義務教育階段學生數學核心素養的整體水平分析

學生數學核心素養的發展不是一蹴而就的，它是從小學到高中逐步積累和連續發展的過程。義務教育階段通過設置“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”“綜合與實踐”這四部分課程的學習，使學生的數學核心素養發展到一定程度。例如：①在數學運算素養方面，初中畢業生能從問題中抽象出數量關系，能根據法則和運算律進行加減乘除、乘方、開方的運算，能解較為簡單的方程（組）和不等式，初步理解了運算算理，能進行簡單的估算，能嘗試尋求合理簡潔的運算途徑。但他們缺乏對含有字母的代數運算程序的設計能力，不能駕馭較復雜的含有字母的運算。②在直觀想象素養方面，初中畢業生能借助幾何直觀把較為復雜的數學問題變得簡明、形象，特別是能夠運用數形結合的方法解決一次函數、反比例函數及二次函數的相關問題。此外，他們也具備了根據物體抽象出幾何圖形的能力，具有識別、畫出和想象簡單的平面及立體圖形的能力，能夠解決一些圖形變化問題，能夠分析平面圖形中元素的相關關系。但通過圖形探索解決問題的思路較為狹隘，對數形結合思想的理解并不透徹，用運動的觀點分析圖形的能力欠缺，還不能建立圖形與數量之間的關系。③在邏輯推理素養方面，初中畢業生能進行簡單的歸納推理，能根據已知、定理、公理、運算法則等進行證明和計算的演繹推理；特別是平面幾何的證明問題培養了學生的邏輯推理能力，但駕馭較復雜問題的推理能力較弱，推理中的轉化能力不強，不具備通過構造中間量完成推理的能力。

（二）數學核心素養的實測數據分析

2019 年高考數學（理）天津卷突出考查了數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算、數據分析及數學建模等數學核心素養，試題所體現的核心素養既相對獨立又相互融合。其中，考查數學運算素養的題目有 第 1、6、9、10、13、15_I、15_II、17_II、17_III、19_I、19_II（i）、20_I 題，共59 分，得分率為0.81，主要體現了“思維先導把控數學運算”的特點，突顯運算思路的探究與運算程序的設計能力；考查直觀想象素養的題目有第2、5、7、8、11、12、14、18_I、18_II 題，共48分，得分率為0.68，主要體現了“直觀分析發現數形關系”的特點，突顯數形結合思想的應用能力；考查邏 輯 推 理 素 養 的 題 目 有 第3、4、17_1、19_II（ii）、20_II、20_III 題，共30 分，得分率為0.46，主要體現了“建立關系探究思路”的特點，突顯發現提出問題、分析解決問題能力；考查數據分析及數學建模素養的題目是第16 題，共13 分，得分率為0.92，主要體現了“應用模型與數據分析相結合”的特點，突顯數學在生活中的應用。

以試題特點及試題得分數據作為評價高中畢業生數學核心素養水平的依據，以考生高中入學時的數學核心素養水平為參考，可分析學生在高中階段數學核心素養的發展情況。據此可評價高中數學教學的得失，從中吸取經驗，對今后教學產生指導意義。

三、數學運算素養發展水平分析

學生進入高中后，在不同的知識領域中提高了數學運算素養，主要涉及集合運算、解不等式、指數對數運算、三角函數運算、解三角形、數列、運用空間向量解決立體幾何問題、解析幾何中的運算、概率統計中的運算等內容，不同的知識點其運算特點各有千秋。例如，解三角形的運算特點有直接運算、消去運算、整體運算等，函數運算的特點有變量整理、解析式的整理與變形等，三角函數有三角公式、三角值運算等，數列的運算特點有構造模型、基本量（方程思想）運算等，解析幾何的運算特點有消變量、解方程等。這些運算均以加減乘除四則運算為基礎。學生在高中學習過程中，不斷提高形成運算思路和設計運算程序的能力，同時運算的準確性也在提高。

例1：2019 年高考數學（理）天津卷第6 題

已知a=log52，b=log0.50.2，c=0.50.2，則a、b、c 的大小關系為

A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b

【內涵分析】本題考查指數和對數的運算，及運用指數函數和對數函數的單調性進行估值。當一次估算不能解決問題時，要提高估算的精確度，于是與二分法的相關思想關聯，進行進一步估值。此題需要考生會設計運用估算比較大小的運算程序，考查了考生的數學運算素養。

【考生表現】本題得分率為0.77，屬于簡單題。

表1 2019 年高考數學（理）天津卷第6 題各水平組得分

從考生答題情況看，G1 組考生對指數、對數運算及函數單調性的基礎知識理解不到位，部分G2 組和少數G3 考生不能正確比較出與的大小關系，即不能找到以為中間量，進行比較大小。

【素養發展】學生在義務教育階段具備利用估值法比較實數的大小的數學運算素養，也能運用“中間量法”比較兩個實數的大小關系，例如比較兩個無理數（式）的大小。學生對比較大小的過程是從代數運算的角度進行的，并不能以函數的圖象與性質作為工具。在高中的學習中，學生對估值運算發展到以熟悉的函數為工具，進行適當的估值，并能以“二分法的相關思想”探索估值的思路并設計估值程序。

【教學啟示】教學中要注重指數、對數運算，并能結合指數、對數函數的圖象與單調性進行估值，用“二分法的相關思想”提高估值的精確度，要使學生理解估值運算的基本程序。

例2：2019 年高考數學（理）天津卷第13 題

【內涵分析】本題主要考查運用基本不等式求最值。其中，基本數學運算是解題的關鍵，考生需要熟悉基本不等式求最小值的“模型”，即通過數學運算構造“倒數關系”，這樣能產生積為“定值”，從而求最小值。

【考生表現】 本題得分率為0.51，屬于中等難度題。

表2 2019 年高考數學（理）天津卷第13 題各水平組得分

【素養發展】學生在義務教育階段能夠運用基本數學運算對代數式變形從而構造“基本模型”是較為熟悉的，例如構造平方關系、倒數關系等。在高中的學習過程中，G3 和G4 組大部分考生運用運算變形代數式的能力日益增強，但G1 和G2 組考生對運算的觀察能力仍然較弱，即事先預判運算過程的能力沒能得到較好發展。

【教學啟示】教學中要強調基本運算在解題中的作用，特別是在構造“基本模型”時的作用。教學中要通過設計數學運算與基本不等式、函數、數列等相關聯的問題情境，讓學生體會到數學運算是解題的重要工具，增強學生的運算意識，提高學生對數學運算的觀察能力。

例3：2019 年高考數學（理）天津卷第15 題

在△ABC 中，內A，B，C 角所對的邊分別a，b，c為．已知b+c=2a，3csin B=4asin C．

（Ⅰ）求cos B 的值；

【內涵分析】本題設計了正余定理、同角三角函數的基本關系、兩角和的正弦公式、二倍角公式的關聯情境，考查了學生的數學運算素養水平，特別是在運用余弦定理求時，需要帶有變量進行消去運算，這是評價考生數學運算素養水平的重要依據。

【考生表現】本題得分率為0.91，屬于簡單題。

表3 2019 年高考數學（理）天津卷第15 題各水平組得分

從解題情況看，學生能夠結合定理及公式進行求值運算，基本達到了《新課標》中數學運算素養水平二的要求。只有少部分G1 組的考生，缺乏對含有a，b，c 三個變量的運算的規劃能力，也有個別考生在基本運算上出現失誤。

【素養發展】學生在義務教育階段數學運算發展到具體數值運算、代數式整理的運算水平，并不能對含有多個變量的代數式設計出消去運算程序。通過高中的學習，學生能夠對含有多個變量的代數式設計合理的運算途徑，數學運算素養得到了提高。

【教學啟示】教學中，要幫助學生分析運算的特點，從為何算、如何算、由何算的角度對數學運算進行分析。

可見，學生在高中階段的數學運算素養明顯提高，主要表現在運用數學運算解決問題的意識、數學運算技能、數學運算方法以及設計運算程序、調節運算思路等方面的能力得到了提高。不過，學生對基本運算有時會出現錯誤，影響了數學運算素養的表現水平，同時G1 組考生運算程序的設計水平較低。

四、直觀想象素養的發展水平分析

學生進入高中后，直觀想象素養的發展機會最多，也是最先發展起來的。特別是在高一學習函數概念與性質及應用和指數函數、對數函數、三角函數的圖象、性質及其應用時，對直觀想象在解決問題中的作用有了較為系統的理解，同時對數形結合的思想方法的認識也得到了提升。高二學習立體幾何，發展了學生的空間想象力；學習解析幾何，提高了學生幾何與代數之間的轉化能力，發展了分析圖形的能力；學習導數時，學生再次體會函數圖象在解題中的作用，又一次提升了直觀想象素養。

例4：2019 年高考數學（理）天津卷第11 題

【內涵分析】本題主要考查棱錐的性質和圓柱的體積等基礎知識，考查考生“識圖”、“畫圖”和“想圖”的空間想象能力。解題的關鍵在于正確理解并想象出題目中四個中點的外接圓，并求此圓的半徑和圓柱的高。

【考生表現】本題得分率為0.47，屬于中等難度題。

表4 2019 年高考數學（理）天津卷第11 題各水平組得分

【內涵分析】本題考查平面向量基本定理和平面向量的數量積運算。運用平面向量基本定理將所求向量用已知向量表示是解題的出發點，運用平面幾何知識挖掘圖形中的幾何條件是解題的關鍵，上述

考生總體表現水平低于預期， 其中G1 和G2組考生不能想象出圖形的形狀，想象和構建幾何圖形的能力較弱。 部分G3 組考生將棱錐看成實物，所以將題目想象成從棱錐中截取圓柱，即將四個中點的外接圓想象成了內切圓，這部分考生對圖形的抽象能力有待提高。另外，有些考生在求圓柱的高時出現錯誤，主要原因是沒能發現圓柱高與圓錐高的關系。

【素養發展】學生在義務教育階段建立了基本的空間觀念，認識了簡單的幾何體。在平面幾何的學習中，能夠分析平面幾何中圖形與圖形的關系、圖形與數量的關系。在高中階段，G3、G4 組考生已經發展到具備想象并構建立體幾何圖形的能力，并能發現空間圖形之間的關系，能分析立體圖形與平面圖形之間的關系。G1 和G2 組考生在關聯情境中想象和建構空間的能力仍然較弱，未能達到《新課標》中直觀想象素養水平二的要求。

【教學啟示】立體幾何的教學要進一步培養學生的空間觀念，教學要在提高學生“識圖、畫圖、想圖”的能力上下功夫，在提高探索圖形與圖形之間關系上下功夫，在運用平面幾何知識挖掘截面圖形的性質上下功夫。

例5：2019 年高考數學（理）天津卷第14 題兩點均需要學生達到《新課標》中直觀想象素養水平二的要求。若本題運用平面坐標的坐標運算，通過挖掘幾何條件寫出坐標仍然是解題的關鍵。

【考生表現】本題得分率為0.43，屬于中等難度題。

表5 2019 年高考數學（理）天津卷第14 題各水平組得分

G1、G2 組考生對平面向量的理解不夠清晰，運用平面向量基本定理解決問題的能力較差，解題也就無從入手。G3 組考生主要由于缺乏運用平面幾何知識探索圖形中條件的經驗，沒能意識到可以求三角形中的邊和角，所以確定基底出現了困難。另外，在利用坐標運算解此題時，考生解題難點也在于運用平面幾何知識探索出圖形的邊和角，進而寫出點的坐標。

【素養發展】學生在義務教育階段解決平面幾何問題時，能借助全等、等量代換等方法將線段和角進行轉化，即能夠發現較為明顯的圖形與圖形間的關系，這反映出學生已達到了在熟悉的或關聯的幾何情境中發現三角形的邊的關系、角的關系的水平。高中階段通過平面向量基本定理與運算的學習，G4 及部分G3 組考生能在向量與平面幾何的關聯情境中，探索出向量與向量的關系，能正確選擇基底，將向量進行合理的轉化，其直觀想象素養達到了在關聯情境中發現圖形與圖形、圖形與數量關系的水平。但G1 和G2 組考生在向量與平面幾何的關聯情境中，沒有達到正確選擇基底轉化向量的水平。

【教學啟示】向量的教學要以理解向量的概念為出發點，以平面向量的基本定理為抓手，以向量運算為工具，提升學生的直觀想象素養。 教學中要將選擇基底并運用基底表示向量作為重點和難點，要讓學生理解 “為何運用基底”“如何選擇基底”“由何確定基底”等問題。同時，還要訓練學生在平面幾何與平面向量的關聯情境中，注重平面幾何條件的挖掘和平面向量基本定理的應用。對于G1 和G2 組考生還要落實向量的概念、 向量線性運算和數量積運算等基礎知識， 循序漸進地對平面向量進行學習。

例6：2019 年高考數學（理）天津卷第18 題：

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設點P 在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點M 為直線PB 與x 軸的交點，點N 在y 軸的負半軸上．若（O 為原點），且OP⊥MN，求直線PB 的斜率．

【內涵分析】本題主要考查由橢圓性質求橢圓的標準方程，考查了直線與橢圓相交時，通過交點坐標所滿足的條件和直線與直線的垂直關系，列方程并求參數的方法。解答此題需要考生具備將幾何圖形及圖形之間的關系用代數形式表達的能力，還要具備用方程思想解決幾何圖形相關問題的能力。由于此題僅涉及一個參數，所以只需列一個方程即可解決，難度并不大。

【考生表現】本題得分率為0.69，屬于中等偏易題。其中第（Ⅰ）問占4 分，得分為率為0.93；第（Ⅱ）問占9 分，得分率為0.58。

表6 2019 年高考數學（理）天津卷第18_Ⅱ問各水平組得分

從答題情況上看，考生基本掌握了橢圓的方程與性質，以及用代數法表達直線與橢圓相交問題。在熟悉的情境中，大部分考生能通過列等式、解方程的方法求得參數。但部分考生未能求出交點坐標，也有部分考生不能將圖形中的幾何條件用代數式正確表達，還有部分考生在運算中出現錯誤。

【素養發展】在義務教育階段，學生能從函數角度解決直線與直線、直線與拋物線相交時的相關問題，也能運用待定系數法求函數中的參數，學生初步了解圖形與數量的關系，對數形結合思想也有了初步的認識。高中階段通過解析幾何的學習，學生從數學原理的角度認識了曲線與方程的關系，大部分學生能夠掌握將圖形關系轉化為數量關系的基本方法，理解并會運用解方程來研究圖形問題的基本方法，形成了系統的數形結合思想，直觀想象的素養得到更為全面、細致、深入的發展。

【教學啟示】解析幾何的教學要使學生形成用代數法解決幾何問題的意識，強化學生將圖形轉化為代數式的技能。要讓學生掌握“建參”與“消參”的技巧，理解圖形的特征與建立等式（或不等式）的關系，理解參數個數與方程個數間的關系。還要讓學生能夠從運動變化的觀點分析圖形，進而分析圖形中變量與變量之間的代數關系。

總之，學生在高中階段直觀想象素養有較大提升，無論是運用數形結合解決函數問題，還是運用代數方法解決幾何問題，學生均形成了一定的解題模式。不但數形結合的應用意識增強了，還能分析數與形為何能結合、如何進行數形結合等問題。但部分考生的空間想象力還存在一定的差距，建立空間圖形間聯系的能力以及在較復雜的關聯情境中挖掘平面圖形幾何性質的能力有待進一步加強。

五、邏輯推理素養的發展水平分析

邏輯推理是數學的“靈魂”，也是衡量學生數學能力的最重要的標志。學生在義務教育階段，通過參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數學活動，發展了合情推理和演繹推理能力，并能較為清晰地用數學語言表達自己的思考過程與結果。例如，在解決簡單的探索規律問題、幾何證明問題和函數綜合問題時，學生能運用合情推理和演繹推理的方法，也能運用“分析法”尋找解決問題的思路；但不同水平組學生邏輯推理素養水平的差異較大。

在高中階段，邏輯推理貫穿學習的始終，特別是含參的代數問題、幾何證明問題、轉化與化歸的問題等，均能提升學生的邏輯推理素養。高中數學強調在關聯的情境中通過分析問題的條件與結論的關系，以相關概念、命題、定理為工具，探索論證思路，并用準確的數學語言進行表達。

例7：2019 年高考數學（理）天津卷第19 題

設{an}是等差數列，{bn}是等比數列．已知a1=4，b1=6，b2=2a2-2，b3=2a3+4，．

（Ⅰ）求{an}和{bn}的通項公式；

【內涵分析】本題主要考查等差等比數列的通項公式及其前項和公式等基礎知識。在第（Ⅱ）問的第（ii）小問中，需要考生將所研究的數列轉化為能求和的數列，這是一個具有創造性思維的推理過程，考查了數列求和的基本方法和化歸與轉化等數學思想方法，以及邏輯推理素養。

【考生表現】本題得分率為0.53，屬于中等難度題。其中第（Ⅰ）問占6 分，得分為率為0.93。第（Ⅱ）問的第（i）小問占3 分，得分率為0.46；第（ii）小問占5 分，得分率為0.08。

表7 2019 年高考數學（理）天津卷第19_Ⅱ_i小問各水平組得分

考生的主要問題表現為沒有轉化的意識，即不能通過構造的方法將所求數列與結論中的特殊數列建立聯系。

【素養發展】在義務教育階段，學生具有將所求轉化為熟悉“模型”從而解決問題的能力。通過高中階段的學習，大部分學生能在關聯情境下將所求與熟悉的概念、定理、結論和方法相聯系，通過邏輯推理的思考過程將問題進行合理的化歸與轉化。但學生對于將所求問題轉化為一些不常見的“模型”缺乏經驗，特別是像本題中要綜合運用數學運算與邏輯推理解決問題的情況，只有G4 組中三分之一的考生能夠達到該水平。

【教學啟示】教學中要提高學生的轉化與化歸意識，提高學生用“分析法”探索解題方法的能力，讓學生分析或反思解題思路的形成過程，將思維的推理過程呈現出來。幫助學生積累轉化的“模型”和“經驗”，還要幫助學生理解并運用數學符號語言求解或證明。

例8：2019 年高考數學（理）天津卷第20 題

設函數f（x）=excosx，g（x）為f（x）的導函數．

（Ⅰ）求f（x）的單調區間；

【內涵分析】本題綜合考查了函數與導數等基礎知識，圍繞函數的單調性、最值和零點設計問題，三個設問間具有很強的層次性和關聯性。第（Ⅱ）問要建立不等關系與最值的聯系，轉化為運用導數求最值的問題。第（Ⅲ）問要通過換元與第（Ⅰ）（Ⅱ）問建立聯系，從而構造出不等關系，再運用不等式的性質進行放縮。考查了函數思想和化歸思想以及考生的邏輯推理素養水平。

【考生表現】本題得分率為0.13，屬于難題。其中第（Ⅰ）問占3 分，得分為率為0.47，第（Ⅱ）問占4分，得分率為0.10，第（Ⅲ）問7 分，得分率為0.00，本問G4 組得分率為0.01。第（Ⅰ）問，考生知道用求導數的方法判斷函數的單調性，但部分考生未掌握求導公式，還有部分考生不會解三角不等式。第（Ⅱ）問，考生知道用求最小值的方法進行證明，但考生不具備運用抽象函數形式表達導數的能力，在用具體函數求導后分析導函數的符號有些復雜。第（Ⅲ）問，由于問題形式較復雜， 考生沒能將所證問題與第（Ⅰ）（Ⅱ）問的結論建立聯系，對本問無從入手。

【素養發展】義務教育階段學生對不等式關系的證明，只能運用“作差法”和解不等式的方法，推理的思路是將比較轉化為數學運算。高中階段學生對不等式證明的邏輯推理有了新的發展，其中有兩個實數大小關系的基本事實、不等式的性質、函數的單調性、求最值、放縮法等。在探究推理思路時，大部分學生能聯想到將所證轉化為函數最值和函數單調性解決問題，但在較復雜的情境中，學生的論證思路就有些紊亂，不能將所證問題與已知的結論或方法等建立聯系，用數學符號表達的能力也存在問題。

【教學啟示】教學中要增強學生的“論據”意識，強調推理方法的形成過程，強調轉化思想在證明中的作用，幫助學生總結和體會證明方法的特點。G4組考生要厘清復雜情境中條件之間、結論之間的關系，要重視運用“構造法”建立條件與結論間的聯系，增強數學符號語言的表達能力。

高中階段，學生的邏輯推理素養得到了一定程度的提高，學生具有將所證與已知、定理、公理或數學思想方法建立聯系的意識，能將問題進行適當的化歸與轉化。但在較為復雜的情境中，學生建立聯系的能力不能發揮出來，數學語言表達推理過程的能力較弱。對比各水平組發展空間，G4 組考生遠遠高于其他水平組。

六、教學建議

（一）研讀“課程標準”，根據學生實際確定教學目標

“課程標準”既是教學的依據，也是衡量教學質量的工具。高中學習目標的確定要以課程內容相關要求為標準，突出重點問題與核心問題。為此，教師要能夠衡量“了解”“理解”“掌握”“運用”等描述結果的行為動詞所表示的程度，要反思“經歷”“體驗”“探索”等表述過程的目標是否達成。教學目標的制定既要關注基礎知識、基本技能力，又要強調數學思想方法及基本活動經驗。同時還要通過研讀課程內容，提煉其中蘊含的數學核心素養，并融入到學生知識與技能的發展之中，逐步落實和滲透。教師還要認真研究數學核心素養的水平劃分，以其中的“水平二”作為高考要求，用水平劃分的標準來衡量教學內容和練習題目所達到的水平，分析每位學生的實際水平與高考要求的差距和問題所在。

教學目標的制定還要依據學生的實際水平，根據學生的學習水平及數學核心素養水平，制定適合學生學習又接近課程要求的目標。達到高考要求的教學目標不是一步到位的，要以學生實際水平為起點，著眼于發展學生的數學素養，關注主干知識的學習效果，關注數學思想方法的落實。教學目標的制定，要注重分析情境與問題的水平，即學生可以解決什么水平的情境與問題；要注重分析知識與技能的達成程度，即學生可以運用什么知識與技能解決問題；要注重分析思維與表達所要達到的水平，即學生思考問題的能力與表述過程的水平；要注重分析交流與反思的水平，即對學生運用數學語言解釋、交流、反思問題的水平進行評價。根據上述四個方面學生的表現水平，評價學生數學核心素養的水平。

（二）以落實“四基”為抓手，發展數學核心素養

高中學習以高中數學主干知識為載體，全面落實基礎知識、基本技能、基本思想方法和基本活動經驗，即以建立主干知識結構為核心，梳理基礎知識，培養基本解題技能，反思知識中所蘊含的數學思想方法，并從數學核心素養的角度審視知識的特點及學生學習水平。教學中既要從知識層面對主干知識進行細致學習，又要從數學思想方法的角度分析知識與練習題目的特點。

1.梳理框架，創設適宜的問題情境

教師要梳理主干知識框架，形成思維導圖，并在學習過程中不斷充實思維導圖。幫助學生在教師的引領下，最終形成個人的思維導圖。教師要經常思考知識間的關聯，將單元內部和單元之間的知識關聯起來創設問題情境，幫助學生理解并找到解決關聯問題情境的要點，使學生達到數學核心素養的水平劃分中“水平二”的要求。教學中，教師把握好試題的難度及容量，適當引入一些具有應用性、開放性、探究性的問題，不可走入“題海戰術”的誤區。

2.夯實基礎，提高技能

基礎知識一直是高考主要的考查內容。2019 年高考數學（理）天津卷考后數據顯示，容易題共99分，占試卷總分值的三分之二。這些題目涵蓋高中數學的每個主題，因此，掌握基礎知識、提高解題基本技能是高中學習的重中之重，也是發展學生數學素養的保障與途徑。

基礎知識的學習要全面、有效。以課標要求為依據，對相關概念、定理、公式的學習要厘清其脈絡，讓學生能夠理解知識的來龍去脈，形成探究知識的基本活動經驗和典型題目的解題經驗。基礎知識的學習要全面，不能存在盲區，對教材中例題、習題、學習參考題等提到的問題，均要重視起來，以免造成學生遇到問題感到陌生，對解題無從入手。基礎知識的學習還要追求高效，教學中要直擊主題，題目設計以課標要求為依據，不偏不怪，幫助學生融會貫通地理解知識，特別是對基本水平及以下的學生，要做好面向全體教學與個別輔導相結合，對最重要的知識點要逐個落實，逐人幫扶。

高三學習是形成解題基本技能的關鍵時期。教學中要讓學生理解并體會基本技能在解題中的作用。學生基本技能的形成不是一蹴而就的，要在各個單元的學習中螺旋式地提高。教師也要根據單元特點提前做好規劃，循序漸進地提升學生的基本技能。例如運算求解能力，首先要讓學生要理解并體會數學運算在解題中作用，體會運算過程的表現形式，再結合單元知識特征分析本單元運算的特點，逐步積累運算的經驗，讓學生經歷并體驗運算程序的設計、運算思路的探究以及運算過程執行過程。在各單元的教學中都要訓練學生運算的準確率，讓學生積累運算技巧的經驗。這樣就能系統地培養學生的運算求解能力。提高解題基本技能要根據學生特點嘗試運用適當的教學方法，例如“點播總結”“練習體驗”“誤試”“反思”等方法，讓學生親身經歷解題過程，形成基本技能，積累解題技巧和經驗。

3.提煉數學思想方法，知識與思想方法相互融合

數學思想方法是解決數學問題的精髓，是發展學生數學核心素養的抓手。學生要達到數學核心素養的水平劃分中“水平二”的要求，就必須能夠從數學思想方法的維度分析和解決問題。滲透數學思想方法，首先，教師要幫助學生進行提煉，使學生理解思想方法表現的形態，并體會其在解題中的作用。其次，要讓學生將知識與思想方法相結合，體會思想方法在每個單元內容中的特點。例如，數形結合思想在函數與解析幾何單元中的表現特點不同，教學中要讓學生理解其在解決函數問題中“以形助數”的功能，在解決解析幾何問題中“由形到數”的轉化功能，最后還要幫助學生整體地理解數形結合，提高學生的直觀想象能力，這樣就能讓學生逐步深入、層層遞進地理解和運用數形結合思想。再有，教學中要經常開展解題反思活動，讓學生從數學思想方法的維度分析題目，從“為何用”“如何用”“由何用”等方面分析數學思想方法在解題中的作用。

4.積累基本活動經驗，形成“模型”思想

積累基本活動經驗是提高數學素養的重要標志，也是學生學會用數學思維思考世界的基礎。高三學習中，學生養成積累活動經驗的良好習慣是提高學習效率的有效途徑。幫助學生積累活動經驗要做好以下三個方面。第一，積累活動經驗靠教師 “點撥”。即教師要對基本圖形、基本題型、常見條件、常見問題的處理方法輕車熟路，教學中要強調其重要性，并指導學生把這些活動經驗納入到認知結構中，形成基本的解題“模型”。第二，運用活動經驗要靠學生“嫁接”。即在關聯情境中將不同的活動經驗嫁接在一起，找到情境之間的關聯，發揮每種經驗的作用。第三，豐富活動經驗要靠學生“轉化”。即增強學生將陌生問題轉化為熟悉經驗的意識，教師可通過提問引導的方式，幫助學生將新問題轉化為熟悉的“模型”。另外，活動經驗的積累要呈螺旋式上升的結構。即由積累解決單一知識的經驗，逐步發展到積累解決知識點交匯問題的經驗，由積累解決簡單問題方法的經驗，逐步發展到積累復雜問題方法的經驗，這樣知識與方法層面的活動經驗逐步提升、相互整合，最終形成高中數學整體的活動經驗。

（三）以單元教學思想為指導，形成高中數學整體知識結構

數學的學習是逐漸建構起來的一個整體，高中學習要著眼于此整體結構的建構過程。該結構可分為函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模與數學探究活動四大主題，每個主題又可分成若干個單元。高考所考查的內容以創設單元內或單元之間的關聯情境為載體，考查學生抽象概念、推理論證、數形結合、空間想象、運算求解、數據分析等解題能力，以及發現提出問題和分析解決問題的能力，從而考查學生的數學核心素養水平。由此可見，高中學習要以單元教學思想為指導，即將高中數學知識中“具有某種內在關聯性”的內容進行分析、重組、整合，有目標、有計劃、有控制地組織整體性教學。這種學習具有知識的整體性、問題的關聯性、目標的規劃性、難點的分散性、結構的彌漫性等特點，體現出高中學習要在學生原有的認知基礎上進行遞進式、螺旋式、交織式的建構。

1.注重單元內整體性的教學

高三學習要以主題為單位，整體布局內容，突出知識間的聯系性和主題的整體性。教學中要將以往教學設計的“線性結構”轉變為“網狀結構”，將關注課時的局部化設計轉變為關注全局的整體式設計。教學中要找到單元的核心內容和核心數學思想方法，找出一條串聯整個單元的“邏輯線”。通常以知識結構圖為工具，根據結構圖分解單元內容，合理布局、布點，將知識目標及數學思想方法目標合理地分布在各課時中，時刻關注分解后的知識間的關聯。另外，教學中例題和練習題的選取要體現單元內容交匯的關聯情境，圍繞“交匯點”設計問題，以點帶面，強化訓練，培養學生綜合解決問題的能力。

2.注重單元內關鍵數學素養的提升

高三學習中，各單元內容所要培養的數學素養往往具有共性和一致性。教學中首先要提煉教學內容所要培養的關鍵數學素養，然后依據學生已有的數學素養水平，設計遞進式的培養計劃，即從縱向聯系的角度規劃課時之間的關系，關注學生數學素養的起點和目標間的關系，通過適當問題的探究、反思等活動，有計劃有目的地提高學生在單元學習中的關鍵數學素養。例如，解析幾何單元所培養的關鍵素養是數學運算和直觀想象素養。教師要從整體設置好直線、圓和圓錐曲線三個小單元的“職能”。在直線學習中，學生要體會數學運算解決幾何問題的作用，體會解析幾何中運算的特點，培養學生簡單的“由形到數”的轉化能力；在圓的學習中，學生要再次體會圖形與方程的關系，提高學生數形結合分析問題的能力，進一步理解運算中“消參”的方法及意義。在圓錐曲線的學習中，再次提高學生運用代數法解決幾何問題的意識，提高學生運算程序的設計及運算思路的探究能力，理解運用“建參”和“消參”解決解析幾何問題的方法，培養學生對較復雜問題的“由形到數”的轉化能力。這樣在此單元的學習中，就有計劃地提升了學生的數學運算與直觀想象素養。

總之，高三學習要以學生已具備的認知水平和數學素養水平為出發點，以達到課標中數學核心素養水平劃分的“水平二”的要求為目標，以鞏固“四基”、提高“四能”為抓手，以單元教學思想為指導，通過創設適當的情境，鞏固基礎知識，提高解題技能，讓學生體會數學思想方法，積累基本活動經驗，從而有計劃有目的地提高學生的數學核心素養水平。