考慮通脹風險的個人最優行為投資決策

郭文旌, 蔣海雯

(南京財經大學金融學院，南京 210023)

1 引言

Merton[1]開創性地在連續時間模型下研究了個人最優投資組合選擇的問題.之后，許多學者對Merton 經典連續時間模型進行了拓展和研究.但是，傳統的投資組合選擇理論一般是以期望效用最大化模型(EUM)為基礎，即假設投資者是理性的，當他們面對不確定性時是風險厭惡的.然而，在現實生活中，投資者并非是完全理性的.Kahneman 和Tversky[2-4]發現，在許多情況下，投資主體的行為會與經典的投資組合選擇理論(Merton, 1969)中的標準路徑相偏離.在收益時，投資主體是風險厭惡的，但在遭受損失時，卻表現出了風險偏好，并不是傳統模型中簡單的風險厭惡.同時，相對于收益，投資主體對損失更為敏感，這就是所謂的損失厭惡.為了彌補期望效用最大化模型的這個缺點，Tversky 和Kahneman[4]提出了累積前景理論(CPT).作為累積前景理論的核心，損失厭惡能夠解釋許多現象，比如：稟賦效應、現狀偏見和股權溢價之謎，而這些現象與傳統投資組合選擇理論卻相互矛盾.因此，越來越多的學者把損失厭惡行為特質與最優資產配置問題相結合.Berkelaar 等[5]在考慮損失厭惡的前提下，研究了資產配置問題，在考慮兩段式的效用函數時得出了最優策略.Jin 和Zhou[6]建立了損失厭惡特質下的連續時間投資組合選擇模型.Zhang 等[7]進一步研究了這個模型，并假設其中的損失是先驗的，受限于給定水平，通過解決凹函數Choquet 最小值問題，得到了最優投資策略及最終財富水平.Mi 和Zhang[8]在不完全市場設定下考慮了相同的問題.Guo[9]則將該問題拓展到了保險市場，運用鞅方法求解了損失厭惡的保險公司的最優投資組合選擇問題.然而，上述行為投資組合方面的研究都未將通脹風險納入考量.

通脹風險是投資者面臨的基本風險之一，是會引起資產價值和投資收益縮水的風險.Campell 和Viceira[10]發現通貨膨脹的存在使得股票投資面臨更高的風險.馮蕾和梁治安[11]認為對于中長期投資而言，考慮通脹風險是十分有必要的.因此，國內外許多學者研究了在通脹風險背景下的最優投資組合問題.Fischer[12]研究了家庭資產最優化決策中通脹指數債券的需求，并強調了引入通脹指數債券的必要性.Brennan 和Xia[13]研究了考慮通脹的動態投資組合最優化問題，運用鞅方法求解了冪效用函數下的顯式解.丁傳明和鄒捷中[14]在考慮通貨膨脹影響前提下，運用動態規劃方法求解了最優消費投資策略問題，并得到了HARA 型效用函數下的顯式解.Gong 和Li[15]在通脹風險的情況下研究了投資的最優決策問題.呂會影等[16]在通脹環境下考慮隨機微分效用的最優消費投資問題，運用動態規劃方法推導出了最優策略.然而，上述文獻均假設投資者是風險厭惡的，目前還沒有文獻考慮到通脹風險對于損失厭惡型投資者在投資組合策略方面的影響.

因此，本文將考慮投資者的損失厭惡行為特質，并引入通脹指數債券來對沖通脹風險，求解考慮通脹風險的個人最優行為投資決策問題.本文的結構如下：第2 節介紹了本文的模型；第3 節詳細推導了最優投資策略以及最優的最終財富解析解；第4 節運用數學分析手段，對最優投資策略的解析解進行了性質分析；第5 節運用數值模擬來分析相關指標對最優投資策略的影響；第6 節是本文的總結.

2 模型介紹

由于通脹率的波動通常都是受金融市場以外的風險因素所影響，因此它與金融風險有所不同.通常，以消費者價格指數(CPI)來表示通脹率.本文假設通脹指數債券可以自由交易，以滿足投資者對沖通脹風險的需求，所以本文假設金融市場為完全市場.

在金融市場中共有三類資產可用于投資，分別為：一個無風險資產，一個股票和一個通脹指數債券.{(B1(t),B2(t),B3(t))}0≤t≤T為完全概率空間(?,F,P)上的標準三維布朗運動過程，{Ft}0≤t≤T為該布朗運動生成的σ域流.

無風險資產的價格過程滿足

其中R(t)為名義利率，是{Ft}-可測過程，S0(0)=1.

股票的價格變動過程為

其中μS(t),σS(t)分別為股票的預期收益率和波動率，均為{Ft}-可測過程，且S1(0)＞0.

價格指數滿足過程

其中μI(t)和σI(t)分別表示預期通脹率和通脹波動率，均為{Ft}-可測過程.

這樣，通脹指數債券的價格指數即為

其中r(t)為考慮了通脹影響后的實際利率，為{Ft}-可測過程，(r(t)+μI(t))為該債券的預期收益率.

為了經濟均衡，一般假設R(t)＜μS(t).同時，假定B1(t)和B2(t)的相關系數為ρ(t)∈(-1,1)，滿足

為了方便后文計算，假設存在一個獨立于B1(t)的一維標準布朗運動B3(t)，滿足

令π0(t),π1(t),π2(t)分別為投資于無風險資產，通脹指數債券和股票的財富比例，若πi(t),i=1,2 為{Ft}-可測過程，則投資組合過程可行，即對于任意T ＜∞，滿足

定義可行策略集為Π.

因此，得到名義財富過程如下

由于投資者的效用函數以實際價值定義，所以需要將名義財富過程轉換為實際財富過程X(t),X(t)與XN(t)有如下關系：X(t) =XN(t)/I(t)，對該式運用伊藤公式，可以得到真實財富過程滿足以下運動方程

其中X(0)=x為初始財富.

在實際財富過程中，第二項表示投資于股票所帶來的實際財富變化，第三項表示投資于無風險資產帶來的實際財富變化.

大部分文獻中的個人最優投資組合選擇決策主要運用的是期望效用最大化模型，并假定效用函數在(0,∞)上是平滑的、凹的、非遞減的.而本文使用的則是基于累積前景理論(CPT)下的S 型效用函數，即假設投資者是損失厭惡的.

定義如下

本文中所運用的S 型效用函數為如下的一種特殊形式

其中0＜γ1≤γ2≤1,β ＞α ＞0，β為投資者的損失厭惡系數.本文將運用Tversky 和Kahneman[4]給出的特例：γ1=γ2=0.88,α=1,β=2.25.

這樣，投資者的效用函數U(·)就可以定義為

其中ξ ＞0 為一個常數，代表參考點，該參考點決定了最終財富對于投資者而言，究竟是收益還是損失.1 為指示性函數.

設投資者的投資期為T，時間一般為半年以上，是一個中長期的投資.根據效用最大化原理，投資者的最優行為投資決策問題架構如下

其中X(t)≥0,?t ∈[0,T]表示投資者在投資期[0,T]內不會破產.

3 最優行為投資決策

這一小節，將使用鞅方法來求解(9)中的最優行為投資決策問題，并把(9)中帶有預算約束的動態最大化的問題轉化為一個靜態問題.這樣，就可以通過拉格朗日乘子法來求解這個有約束條件的動態最優化問題了.

在完全市場的假設下，會存在唯一的價格核(即折價因子)，定義為

其中θ1(t)和θ2(t)為{Ft}-可測過程，分別定義為

故H(t)有如下微分形式

運用伊藤公式，可以得到

對(12)兩邊積分可以得到

這表明，H(t)X(t)的伊藤積分為兩個標準布朗運動的形式，從而是一個P-鞅，同時也是一個上鞅.

根據上鞅的性質，可以得到如下的預算約束條件

該預算約束條件表明，預期最終財富的“折現”值不能超過投資者的初始財富.

定理1給定η ≥0 為{FT}-可測的隨機變量，滿足：E[H(T)η]=x，則存在投資組合策略(π1(t),π2(t))，使得(π1(t),π2(t))∈Π,t ∈[0,T]，且X(π1(t),π2(t))(T)=η.

證明 定義M(t)=E[H(T)η|Ft]為鞅，根據鞅表示定理，存在{Ft}-可測過程φi,i=1,2 滿足

使得

同時

在(13)式中，取t=T，分別與(16)中的dB1(t)和dB3(t)項進行對比，得到

為了檢驗(π1(t),π2(t))∈Π,t ∈[0,T]，需要證明

成立.

定義

可得

其中

其中

滿足

定理1 得證.

根據定理1，之前的動態最優化問題就等同于下面的靜態最優化問題

根據文獻[9]討論得出的結果，可以得到(18)的結果如下

與H(T)相乘，并對兩邊取條件期望，可以得到

根據H(t)X(t)為上鞅，可以將(20)改寫為

引入指數鞅如下

根據Z(t)，可以將改寫為

則(21)的右半部分可以改寫為

其中Z(0)=1.將其代回到(21)，又因為可以得到

對(22)兩邊求微分，得到

因為H(t)X?(t)也滿足(12)，給出如下

對比(23)和(24)的擴散項，可以得到

其中θ1(t),θ2(t)如前定義.

根據(22)，可以得到最優財富過程如下

同時，可以得到最優期望效用如下

其中E(Z(T))=1，將f(t)代入，投資者最終財富的最優期望效用為

定理2在有通脹風險的市場條件下，研究個人的最優投資決策問題，并假設投資者具有損失厭惡的行為特質，那么，最優投資策略t ∈[0,T]給出如下

其中θ1(t),θ2(t)如前定義.

對應的最優財富過程X?(t),t ∈[0,T]滿足

且最終財富的最大期望效用由(27)給出.

4 最優投資策略性質分析

根據(25)所得到的最優投資策略的解析解，可以進行進一步的性質分析，尤其是預期通脹率μI(t)、通脹波動率σI(t)、相關系數ρ(t)和參考點ξ的變化，對最優投資策略所帶來的影響.定義(名義)通脹風險溢價為PI(t) =R(t)-μI(t)-r(t)，(名義)股票溢價為PS(t) =μS(t)-R(t)，并假設股票溢價為正.分別對μI(t),σI(t),ρ(t) 和ξ求偏導，可以得到

由(30)可知，當市場出現較高的預期通脹率的時候，投資者會增加在通脹指數債券上的投資.

由(31)可知，預期通脹率對股票需求的影響僅僅取決于相關系數ρ(t)，如果ρ(t)＜0(即通脹指數債券和股票負相關)，當預期通脹率升高時，投資者將在增加通脹指數債券投資的同時，更多地投資于股票來進行多樣化投資；如果ρ(t)＞0(即通脹指數債券和股票正相關)，投資者在增加通脹債券投資的同時，將減少股票投資，來分散風險；如果ρ(t)=0，預期通脹率對股票需求沒有影響.

由(32)可知，通脹波動率σI(t)對通脹指數債券的需求影響取決于相關系數ρ(t)和通脹風險溢價PI(t).若兩者符號相反，那么就無法確定通脹波動率對通脹指數債券需求的影響；若兩者符號同為非正，那么通脹波動率越大，就應該越少投資于通脹指數債券；若兩者符號同為非負，那么情況相反.

由(33)可知，通脹波動率σI(t)對股票的需求影響也取決于相關系數ρ(t)和通脹風險溢價PI(t).若兩者符號相反，那么通脹波動率越大，投資于股票的份額就越高；若兩者符號相同，那么情況相反.

由(34)可知，相關系數ρ(t)對通脹指數債券的影響取決于相關系數ρ(t)和通脹風險溢價PI(t).若兩者同號，或兩者異號，且

由于大部分情況下股票溢價高于通脹風險溢價，故該式在大多數現實市場環境中成立，那么也就是說，相關系數越高，分散投資效果不佳，所以會帶來較少的通脹指數債券投資.

由(35)可知，相關系數ρ(t)對股票的需求影響取決于相關系數ρ(t)和通脹風險溢價PI(t).若兩者符號相反，那么就無法確定相關系數對股票需求的影響；若兩者符號同為非正，那么相關系數越大，股票投資越少；若兩者符號同為非負，那么情況相反.

由(36)可知，參考點ξ對通脹指數債券的需求影響取決于相關系數ρ(t)和通脹風險溢價PI(t).若兩者符號相反或同為非正，那么難以確定參考點對通脹指數債券的影響；若兩者符號同為非負，那么參考點越大，通脹指數債券投資越多.

由(37)可知，參考點ξ對股票的需求影響取決于相關系數ρ(t)和通脹風險溢價PI(t).若兩者同號，或者，兩者異號，且

同樣，由于大部分情況下股票溢價高于通脹風險溢價，故該式在大多數現實市場環境中成立，則

隨著參考點的提升，股票需求減少.

5 數值模擬

在這一節，考慮到相關變量變化對最優投資策略影響的復雜性，無法通過理論分析直接得到，擬通過數值分析方法，研究預期通脹率μI、通脹波動率σI、相關系數ρ和參考點ξ對最優投資策略的影響.為此，假設初始真實財富為X(0) =x= 10 萬元，名義利率R= 0.04，實際利率r= 0.02，股票的預期收益率和波動率分別是μS= 0.08 和σS=0.3，預期通脹率μI= 0.023，通脹波動率σI= 0.15,γ1= 0.88，兩類資產的相關系數ρ=-0.07，參考點ξ=9.

從圖1 可以看出，隨著預期通脹率μI的增加，損失厭惡的投資者將選擇通過購買通脹指數債券的方式來進行風險規避，通脹指數債券的需求不斷增加.在ρ=-0.07＜0 的情況下，由于通脹指數債券和股票呈負相關，投資者也稍增加了對股票的投資來進行多樣化投資，但增長較不明顯.同時，無風險投資的減少主要被轉移到了通脹指數債券的投資上.因此，預期通脹率的變化對股票影響較少，投資者主要根據預期通脹率的多少，在無風險投資和通脹指數債券之間進行選擇.

從圖2 可以看出，當預期通脹率μI= 0.023 時，股票需求相對于相關系數的變化是U 型的：當ρ ＜0 時，隨著相關系數的減少，投資者將增加對于股票的投資來進行多樣化投資，分散風險；相反，當ρ ＞0 時，隨著相關系數的增加，投資者將減少股票投資；而當ρ= 0 時，預期通脹率對股票需求則沒有影響.在ρ=-0.07＜0 的情況下，隨著預期通脹率μI的增長，投資者也適當地增加了對股票的投資來進行多樣化投資.

圖1: 預期通脹率μI 對最優投資策略的影響

圖2: 預期通脹率μI 對股票需求的影響

從圖3 可以看出，隨著通脹波動率σI增大，通脹指數債券收益不確定性增大，作為損失厭惡的投資者，在這種情況下，將減少對通脹指數債券的投資.同時，股票需求基本不變，所以，減少的那部分投資則主要轉移到了無風險資產的投資上去.因此，當投資者面對通脹波動率的變化時，將不會影響其對股票的投資，而是在無風險投資和通脹指數債券之間進行權衡.這與預期通脹率變動的結論相仿，故得出：在考慮通脹風險的情況下，投資者將不會對股票的投資進行大的變動，而是在無風險投資和通脹指數債券之間進行選擇來規避通脹風險.同時，股票的輕微變動主要是由通脹指數債券及股票的相關性所帶來的，目的是為了更好地分散風險，進行多樣化投資.

由于股票投資不隨通脹風險相關指標的變動而變化，在此，通脹指數債券的功能主要體現為股票投資的補充投資手段，即起到多樣化投資的作用.從圖4 可以看出，相關系數越高，投資者會減少通脹指數債券投資來分散風險，而相關系數越低，投資者會增加通脹指數債券投資來進行多樣化投資.

圖3: 通脹波動率σI 對最優投資策略的影響

從圖5 可以看出，隨著參考點的增加，通脹指數債券投資增加，而無風險投資與股票投資減少.參考點越高，即說明投資者判斷收益損失的盈虧點就越高.而股票作為風險較大的投資，面對較高的收益要求，并不是損失厭惡的投資者的最佳選擇.而通脹指數債券的風險較小，且能起到對沖通脹風險的作用，可以減少投資者的損失，因此，作為損失厭惡的投資者會選擇增加對通脹指數債券的投資.之前結論提到，在考慮通脹風險的情況下，投資者將會在無風險投資和通脹指數債券之間進行選擇，因此，在增加通脹指數債券投資的同時，無風險投資也在減少.

圖5: 參考點ξ 對最優投資策略的影響

6 結論

考慮通貨膨脹的影響，本文研究了個人最優行為投資決策問題.假設投資者是損失厭惡的，并用累積前景理論中提出的S 型效用函數來刻畫投資者的這一行為特質.在此基礎上，引入通脹指數債券來對沖通脹風險，建立了個人最優行為投資模型.通過鞅方法求解出了最優投資策略以及最終財富的解析解，并根據合理的市場參數進行了數值模擬，得到了以下結論：

1) 在考慮通脹風險的情況下，投資者將不會對股票的投資進行大的變動，而是在無風險投資和通脹指數債券之間進行權衡選擇來對沖通脹風險.隨著預期通脹率的增加，投資者將增加通脹指數債券的購買來進行風險對沖.隨著通脹波動率增大，收益不確定性增大，損失厭惡的投資者將減少對通脹指數債券的投資；

2) 當通脹指數債券作為一種新的投資手段時，起到了多樣化投資的作用.當通脹指數債券和股票相關系數越高時，投資者會減少通脹指數債券投資來分散風險，而相關系數越低時，投資者則會增加通脹指數債券投資來進行多樣化投資；

3) 隨著參考點的增加，投資者會增加通脹指數債券的投資來對沖風險，減少損失，同時，減少對無風險投資與股票的投資.

雖然本文對帶有通貨膨脹風險的個人最優行為投資決策問題進行了較為詳盡的分析，但仍然存在一些研究的局限，比如沒有考慮到個人的消費、收入等過程，為了方便計算，假設也相對簡單.因此，當研究假設更貼近現實生活時，相關結果如何，仍是需要解決的研究課題，也是研究人員在未來擬開展的研究方向.