分組分解法：從局部分解到整體分解

朱坤燕

我們在“整式乘法與因式分解”這一章中，學習了提公因式法和公式法這兩種因式分解的方法。但在因式分解時，有些代數式不能直接采用提公因式法和公式法，這時我們可以考慮嘗試采用分組分解法。

分組分解法，顧名思義，就是將代數式分成若干組，先將各組分別分解，再對整體進行綜合分解。分組時要注意：分組后的各組代數式能進行因式分解，在各組分別分解因式后，能用提公因式法、公式法等方法完成對整個多項式的因式分解。

例如，因式分解：ac²+bd²-ad²-bc²。

將原式分為兩組：

原式=（ac²-bc²）+（bd²-ad²），

分組分解（提公因式）：

原式=c²（a-b）+d²（b-a），

整體分解（提公因式）：

原式=（a-b）（c²-d²），

公式法分解：

原式=（a-b）（c+d）（c-d）。

由此可見，第一步“分組”尤其重要。若分組不恰當，就無法進一步分解。當然，分組的方法并不唯一。常見的分組方法有以下幾種：

一、按字母分

將帶有相同字母的單項式分為一組。例如，ax-by+ay-bx可分組為（ax+ay）-（bx+by）或（ax-bx）+（ay-by）。方法不唯一，只要保證分組后可提公因式就行。

二、按公式分

將能夠使用公式法的多個單項式分成一組。例如，x²-2xy+y²-1可分組為（x²-2xy+y²）-1，先使用完全平方公式，再使用平方差公式進行因式分解。

三、按次數差值分

有時，分組后，每組每項的相同字母的次數差值相同。例如，a⁵-a⁴-a+1可分組為（a⁵曠-a⁴）-（a-1），每組每項的次數差為1;或（a⁵-a）-（a⁴-1），每組每項的次數差為4。接下來提公因式或運用公式法分解徹底。

總之，分組分解法的分解對象是無法直接提公因式或無法直接使用公式法分解的含有多個單項式的代數式。分組的目的是分組后可提公因式或使用公式法分解。這在多項式的因式分解中是一種常用的方法。

（作者單位：江蘇省蘇州外國語學校）