試玉要燒三日滿，辨材須待七年期

劉松

【編者按】數學模型，是指用數學所創造出來的概念、原理、方法，來理解、描述和解決現實世界中的一類問題。幫助學生建構數學模型，在實踐中應用數學模型解決問題，進而培養模型思想提升數學素養，是教師在教學中的關鍵任務。但在實際教學中，只重結論與應用，忽視學生在模型建構中的真實體驗，弱化模型思想的培養等問題時有發生。本期話題圍繞“重視模型建構過程，強化模型思想培養”展開。

何為“數學模型”？目前尚無公認的定義。按廣義解釋，一切數學概念、數學理論體系，各種數學公式、各種方程式以及由公式系列構成的算法系統等，都可稱之為數學模型。按狹義解釋，只有那些反映特定問題或特定具體事物系統的數學關系結構，才叫數學模型。這也正是當今應用數學中數學模型的原意。

從歷史角度看，有了數的概念，就有了數學模型。例如，原始人“結繩”計數，本質上就是對數學模型的運用。在數學發展的漫長過程中，從源于丈量土地所建立的幾何學，到為解決力學、天文學問題而誕生的微積分，都可以說是數學模型。“建模”是數學發展最初的原動力。當然，作為一門思維科學，數學的發展不僅僅止于模型的建構。

對小學生而言，不必細究數學模型的廣義與狹義之分，關鍵是在日常的學習中，在平時的問題解決中，要逐步養成模型意識，慢慢地形成模型思想，這才是數學學習之要義，也是教師教學中的關鍵任務。

關于模型思想，《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課程標準》）中的闡述是：“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識。

這里對數學建模的刻畫，刪繁就簡，突出了三個主要環節，即讓學生經歷“問題抽象→建立模型→解釋應用”的全過程。同時，也間接表明了這里采納的是數學模型的狹義解釋。顯然，從操作層面，《課程標準》中已明確指出了模型建構的具體方法，三個環節缺一不可，尤其是前面兩個環節，更不能缺少。學生如果缺少了在模型建構中的真實體驗，就不太可能有效地形成模型思想。上述數學建模的三個主要環節，恰似“整條魚”。“問題抽象”和“建立模型”相當于魚頭和魚身，“解釋應用”處于魚尾的位置。試想，只有魚尾，沒有了魚頭和魚身，這條魚何來生命？怎么可能有力量？

對于雞兔同籠問題，大家再熟悉不過，許多教師都有精彩的教學演繹。現在我們從模型建構的視角來分析，究竟怎樣的教學才是真正意義上的好教學。

雞兔同籠問題：在一個籠子里，有雞和兔子，從上面數，頭有35個，從下面數，腳有94只，請問雞和兔子各有幾只？

這個問題最早出現在中國南北朝時期的《孫子算經》，書中給了一個不太好理解的算法。具體如下：（1）將所有動物的腳數除以2，也就是94÷2=47。每只雞有一對腳，兔子有兩對腳。（2）假設所有的動物都是雞，就應該有35對腳，但事實上有47對腳。（3）如果將一只雞換成一只兔子，用47-35=12，說明需要有12只雞被換成兔子，這就是兔子的數目。（4）知道了兔子的數目，也就知道了雞的數目。

現實的教學中，教師們的方法要比《孫子算經》中的方法好理解，且更加“機妙”。比如：假設所有的動物同時舉起兩只腳，那么由于有35個頭，所以一共舉起了70只腳。由于雞只有兩只腳，那么多出來的94-70=24只腳，全屬于兔子，所以兔子一共有12只，剩下的都是雞。

還有的教師方法和上述方法具有異曲同工之妙：假設雞用兩只翅膀撐地，相當于有了4只腳，一共有35×4=140只腳，那么多出來的140-94=46只腳，全屬于雞，每只雞多算了2只腳，所以雞有23只。

上述《孫子算經》的方法，不缺巧妙性，但不太直觀，或者說不具備結構性。不具備結構性的結果，就是沒有通用性，無法讓人舉一反三，因為這個方法只針對這個特定的問題有效。若把問題改一下：假如若干輛三輪車和汽車（四輪），一共有20輛車，有65個輪子，請問汽車和三輪車各有多少輛？這個問題就無法用上面的方法解決，無論先把車輛的輪子除以3，或者除以4，都不可以，因為65既不能被3整除，也不能被4整除。“舉腳”和“撐地”兩種巧妙的方法似乎也不太適用。

這道題在古代就沒法解了，中國古代有不少數學著作流傳下來，里面解決了不少問題，但是中國的這些數學論著有一個缺陷，就是它們給出的都是一個個具體的解法，而不是一套系統的方法（或者說模型）。

今天小學里教的方法在通用性方面要比古代的方法好了不少。通常學校里會這么教：（1）假設籠子里全是雞，那么應該有35×2=70只腳。（2）但是現在有了94只腳，多出24只，就應該是由4只腳的兔子造成的。（3）如果我們用一只兔子替換一只雞，就會多出兩只腳，那么，替換24只腳需要多少只兔子呢？（4）24÷2=12，于是就有12只兔子，剩下的就是雞。這個方法可以直接解決上面汽車和三輪車的問題。

今天在學校里，如果遇上一個好老師能把雞兔同籠問題講透，學生是能做出汽車和三輪車問題的。當然會有一些同學不會做，因為他們只是記住了雞兔同籠算法，不會應用到其他問題上。這些學生要考高分，只好多做題，把三輪車的題目做一遍，再把其他相似的題目也做了，于是就很辛苦。但是即使能夠靈活運用雞兔同籠的解法，大部分人也還是不能解決所有這類問題，比如再出一道題還是做不出來：紅皮雞蛋5元3個，白皮雞蛋3元2個，小明花了19元，買了12個雞蛋，問紅皮和白皮雞蛋各有幾個？這個問題其實是雞兔同籠問題的變式，但是上面改進的雞兔同籠的解法也不管用。那么能不能針對所有這些問題，提供一個尋找答案的思路呢？或者說搭建出結構化的模型呢？

美國人的教法很有趣，在小學里他們不教學生那些需要技巧的解法。對于雞兔同籠問題，就是列表的笨方法。比如，在第一個例子中，他們先讓學生明白，兔子的數量不能超過94÷4=24只，然后就列一張表，從24只開始往下試驗，看看腳的數量有多少。（表1）

吳軍先生說，當時看了他們的教科書，就想美國人真笨，果然數學學不好。但是，發現他們再做其他相似的問題時，就可以從上述過程中受到啟發，比如前面的雞蛋問題，美國人也是列表。（表2）

事實上，只要是有整數解的各種二元一次方程的問題，都可以用列表這種笨方法解決。也就是說，美國小學的做法實際上是交給了學生一個很笨的，但是很通用的工具。這樣，能解決一個就能解決很多，雖然辦法很笨，很花時間，但總不至于讓學生們無從下手。至于那些解題技巧，他們很少在小學里教，省得大家學不會，有挫敗感。上述笨方法的另一個好處是，學生在列表的過程中，感受到數據變化的趨勢，慢慢地就會知道大約從多少開始試驗，而不是永遠從零開始。相比之下，中國學校里教的那些聰明辦法，常常和具體問題有關，除非是悟性很好的學生，普通學生并不容易舉一反三，因此家長總是責怪孩子笨。

在這一類問題中如果數據很大，列表或者畫圖就不現實了。這時，教師會告訴學生，別著急，到了中學（或者小學高年級），學了解方程自然就會了。

很多人在離開了學校之后，除非輔導孩子，可能一輩子不會用到解方程了，以至于質疑為什么要在中小學里學習它。因為他們并不知道，方程是現實世界中，刻畫相等關系的最美麗的模型，是一個強大的解決實際問題的工具，它可以讓我們腦子里很多想不清楚的數學問題變得富有結構性，從而變得直觀簡單。

還是以上面的雞兔同籠問題為例，我們只要假設雞有x只，那么兔子就有（35-x）只，于是就有方程2x+（35-x）×4=94。或者列兩個方程，假設雞有x只，兔子有y只，就有方程組x+y=352x+4y=94。對于汽車和三輪車的問題，相應的方程是3x+（20-x）×4=65，或者x+y=203x+4y=65。

對于雞蛋的問題，我們可以稍微轉換一下條件：紅皮雞蛋5元3個，也就是每個■元;白皮雞蛋3元2個，也就是每個■元。設紅皮雞蛋x個，則白皮雞蛋為（12-x）個。于是就有方程■x+■（12-x）=19。我們也可以把問題稍微變一下，也是一樣的解法。原題改為：紅皮雞蛋3個一盒5元，白皮雞蛋2個一盒3元，一共花了19元買了12個雞蛋，問紅皮雞蛋和白皮雞蛋各有幾盒？

假設紅皮雞蛋x盒，白皮雞蛋y盒，就有下面兩個方程：3x+2y=125x+3y=19，x和y分別是2和3，于是我們就知道兩盒紅皮雞蛋有6個，白皮雞蛋三盒也是6個。

上述三個（組）方程，對于高年級的學生來講，解出來總是不難的。如果不教會他們建立方程這個模型，掌握這個工具，讓他們苦思冥想，這幾個問題還真有點燒腦筋。從這三個例子中，我們可以體會到，方程是一種數學模型，是一種解題工具。這種工具有一整套合乎邏輯的解法，只要通過一個問題掌握這個解法，就能把成千上萬的問題解決掉。這才是學習數學的正道，而不是去做更多的題。

綜上，關于雞兔同籠類問題的教學，比較理想的教學方式可以這么統計下：（1）不排斥上述若干特殊性解法的巧妙性及部分通用性（比如雞兔情境不變，只變相關數據），但要出示上述三輪車與汽車的變式題，讓學生自悟到特殊性解法的局限性。（2）不否認假設都是雞（兔）的“通法”，但要讓學生意識到，這樣的通法僅是“局部有效”，面對上述雞蛋類變式問題，又顯得束手無策。（3）重點做好三件事——①讓學生經歷從具體實際問題中抽象出純數學問題。上述雞兔同籠問題的實質就是，在■+▲=35，且■×2+▲×4=94的前提下，求■和▲各等于多少的問題。②讓學生充分體驗“列表法”看似麻煩、其實有效的好處，感受數據變化的趨勢，體會列表模型的通用價值。③讓學生自己感受列表法的瑕疵，產生需要更高級工具（模型）的欲望，適時引出方程，讓學生充分體驗方程工具在解決此類問題中無所不能的強大性。（4）適當練習。重在把形形色色的題目抽象成同一類問題，把自然語言描述的現實世界的問題，變成用數學語言描述的問題，列出方程。

如此，教師的主要教學精力在于強化學生在模型建構中的真實體驗，學生學會把具體問題抽象成數學模型，然后觸類旁通，自己就可以解決更多更難的新問題。這大概就接近了教學的最高境界，這可能才是數學教學的王道。

唐代大詩人白居易在其經典詩作《放言五首·其三》中寫道：試玉要燒三日滿，辨材須待七年期。對于學生模型思想的培養，非“一日之功”，教師不可“急于求成”。“魚尾”需要，但“魚頭”和“魚身”更需要。如此，方可水到渠成。

（作者單位：浙江省杭州錢塘新區教師教育學院）