在結構化教學中建構數學模型

馬曉如

數學建模就是通過建立模型的方法來求得問題解決的數學活動過程。事實上，只有讓學生親身經歷了數學建模的全過程，才能更好地滲透模型思想。模型思想的建立是幫助學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑，模型思想注重數學應用，通過數學結構化解決現實世界中的各種問題;而數學課堂上通過結構化教學可以幫助學生把現實情境數學結構化，理解和掌握相關的知識技能，將表層學習引向深度學習，積累活動經驗、提高分析和解決問題的能力，分析、抽象、建立模型，感悟數學思想。

一、創設結構化的生活情境是建構數學模型的紐帶

數學知識點環環緊扣，在教學中，我們不能創設單一的情境，因為實際生活中的問題并非如此簡單。問題是什么需要自己去界定，有用的條件有哪些需要自己去尋找，目標也需要自己選擇和把握。因此教學中教師要設計一些需要對信息進行選擇、分析、加工與處理的結構化生活情境，使學生建立從現實生活中抽象出數學模型，主動應用自己所學的數學知識去解決問題的意識。

例如，教學“長方體、正方體的體積”后，教師出示長方體容器說：“淘氣的媽媽要用這個容器裝滿牛奶，能夠裝多少牛奶？”讓學生動手探究，在尺子、繩子等學具的幫助下，很快從容器里面測量出尺寸（長40 cm、寬30 cm、高25 cm）算出容積，即滿杯后牛奶的體積。接著拋出第二個生活情境：淘氣的媽媽往容器中倒入10000 cm3的牛奶，這時牛奶的高度是多少厘米？第三個生活情境：小淘氣將這個容器密閉后，翻轉容器，原來的底面變成了前側面，這時10000 cm3的牛奶高度有多少厘米？第四個生活情境：小淘氣繼續翻轉容器，原來的右側面變成了底面，這時10000 cm3的牛奶高度有多少厘米？第五個生活情境：如果淘氣在第一種擺放的長方體的基礎上把10000 cm3牛奶的一部分倒入一個正方體容器中，使兩邊的牛奶高度一樣，這個正方體的棱長是20 cm，這時候牛奶的高度是多少厘米？

通過對以上結構化的生活情境的探究，學生不但掌握了求牛奶的高度時，要用牛奶的體積除以它所對應的底面積，而且深化理解了牛奶的體積與它所占底面積的對應關系。牛奶的體積總量可能由幾部分組成，牛奶所占的底面積也可能由幾部分組成，關鍵要把握住用牛奶的體積除以它所對應的底面積，就可以求出牛奶的高度。在生活情境五中，由于長方體與正方體容器中都有牛奶，牛奶所占的底面積改變了，現在的底面積應該是長方體的底面積與正方體的底面積之和，即40×30+20×20。牛奶的體積總量沒有改變，還是10000 cm3。用牛奶的體積除以牛奶所占的底面積，就可以求出牛奶的高度，所以這時牛奶的高度為：10000÷（40×30+20×20）=6.25 cm。

二、創設結構化的操作情境是建構數學模型的手段

基于現實生活原型，創設具體生動的結構化操作情境，對將要學的知識作適當的鋪墊，從學生的“最近發展區”出發，尋找知識的聯結點和生長點，借助數學的語言實現通過具體操作向抽象數學模型的有效過渡，為學生數學模型的建構提供可能。

例如，人教版四上“數學廣角——烙餅問題”的教學。教師通過創設“媽媽為了讓大家盡快吃上餅，要怎樣烙才最合理”的問題情境，先從學生容易理解的烙一張餅、烙兩張餅操作入手，讓學生說自己的方法;烙三張餅是本課的重點也是難點，教師通過讓學生小組合作，借用小圓片動手操作，建立數學模型，并對數學模型進行分析、優化。解決完三張餅的問題，繼續探究四張、五張、六張等數量餅的最佳（費時最少）烙法，接著通過列表幫助學生在多種方案中尋找最優方案，建立起烙餅問題的數學模型，歸納并表述方法——如果要烙的張數是雙數，2張2張地烙就可以了;如果要烙的張數是單數，可以先2張2張地烙，最后3張餅按上面的最優方法烙，最節省時間。進而引導學生通過不完全歸納發現烙餅所需的總時間與烙餅張數之間的關系：總時間=張數×3（張數﹥1）。在整節課的教學中，始終沒有出現“模型”一詞，而是由教師引導學生在結構化的操作情境中，尋找“數量關系與規律”，這個過程實際上是教師引導學生動手操作實驗或通過現代技術手段演示，進行數學模型的探究、建立和應用的過程。接著教師拋出一道習題：牛排店的鍋一次能煎10塊牛排，兩面都要煎，每面要5分鐘。現在一群客人點了15 塊牛排，請你想一想，廚師最快多長時間可以把15塊牛排全部煎好？

教師在一系列結構化操作活動后通過畫圖、列表等策略幫助學生發現、總結規律，并從中感悟數學模型的形成過程，經歷從現實對象到數學模型的構想過程;接著在應用拓展環節的教學中充分地放手讓學生進行大膽猜想、小心驗證，再經歷運用數學模型解決現實世界問題的過程，促進學生了解數學與日常生活的相互關系，有利于提高學生分析、抽象、建模和解決實際問題的能力，從而深刻領悟數學的應用價值，有助于培養學生數學應用意識和應用數學的基本能力，激發學生對數學學習的興趣和形成良好的情感態度與全面的價值觀。

三、創設結構化問題情境是建構數學模型的核心

數學教學應以學生為中心、以結構化的問題情境為核心，變單一講授為溝通聯系、啟發思維、感悟方法、激發興趣，不斷看到學生思維的“自我生長”，引導學生在分類、對比、歸納中，學會溝通知識間的聯系，實現知識結構化，由此構建數學模型。

例如，杭州市天長小學張麟老師執教“多邊形的面積整理與復習”一課，他通過結構化的問題情境串把如散落的珍珠一般的多邊形的面積公式串成一條美麗的“知識項鏈”。張老師通過前測問題情境1：出示在8厘米長的線段上作4厘米的垂線的圖，讓學生在此基礎上畫已學過面積公式的多邊形，并計算其面積;通過前測了解學生在該模塊的學習中存在怎樣的差異，讓這些差異構成學習資源，尋找學生在應用該模塊時出現的典型錯誤，利用學生的錯例來完善認知，構建數學模型。問題情境2：如果只留下一個多邊形面積計算公式，你會留下哪一個？為什么？展示學生從不同角度思考公式之間聯系的想法。問題情境3：生活中的多邊形多種多樣，形狀各異，我們只學習了這五個圖形的面積計算公式，你們覺得夠了嗎？為什么？通過這樣一個挑戰性的問題，引發師生共同舉例，對這個問題進行探索思考和轉化，在解決問題的過程中進一步鞏固組合圖形面積的計算方法，以及滲透等積變形的思想。

本案例通過結構化的大問題串針對學生學習的難點和薄弱點，引導他們按照一定的規律把已經學過的知識進行分類梳理、整合，弄清知識間的來龍去脈，溝通其縱橫聯系，從整體上把握知識，使多邊形的面積計算公式結構化，利于構建多邊形面積計算的數學模型。

（作者單位：福建省福州市鼓樓區教師進修學校 本專輯責任編輯：王彬）