因式分解的簡單應用

田瀟

進入初中后，我們對數學的認識有了質的飛躍，學會了用字母表示數。類比數的運算，我們研究了式的運算。在式的運算中，單項式乘單項式、單項式乘多項式、多項式乘多項式是常見的運算，這讓字母的一般性發揮到了極致。同學們對整式的運算很容易理解，但往往不能把握因式分解恒等變換的本質。如規定某一矩形的長和寬分別為（a+1）和（b+1），則同學們很容易理解兩個代數式的和為長與寬之和，兩個代數式的積為該矩形的面積。但同學們如果見到（ab+a+b+1），卻不易思考到該代數式的意義和價值。因此，我們在初中數學中學習整式乘法這章內容時，還學習了另外一部分恒等變換內容——因式分解。本文將介紹因式分解在數學中的作用，以供同學們參考。

一、化繁為簡

因式分解可化繁為簡。例如，同學們在學習因式分解之前，得到x²+3x+2/x+1這種式子后便不能再化簡了，而在學習因式分解后，還可將x²+3x+2化為（x+1）（x+2），于是上述式子便最終化簡為（x+2）。因式分解在后續圖形的數據運算或代數應用中都有很多用處，能把復雜的式子化為簡單的代數式，將數學的簡單美體現得淋漓盡致。

二、解高次方程

初中代數領域中，解方程占很大一部分內容。從一元一次方程，到分式方程，再到一元二次方程，甚至高次方程，用因式分解能很容易地解決。例如，解方程：x³+x²-2x=0。對于解一元三次方程，一般方法比較麻煩，初中階段也不涉及，感興趣的同學可以自行了解一下。這里，我們可以利用因式分解，將方程化為x（x+2）（x-1）=0。幾個因式的積為零，其中某個式子必為零。因此解得x₂=0，x₂=-2，x₃=1，這樣就將上述方程輕而易舉地解出來了。

三、解決面積問題

在初中數學中，因式分解還能使數形結合應用得更加順暢。例如，如何利用兩個邊長為x的正方形，3個邊長為y的正方形，5個邊長分別為x、y的長方形，拼接成一個面積最大的長方形？用因式分解，我們便能輕松地解決。無論如何拼湊，圖形的總面積不變，是2x²+3y²+5xy。我們可將上式因式分解，試著尋找拼接的長方形的邊長，可以得到（x+y）（2x+3y）。觀察此式，我們不難看出，拼接的長方形的長和寬分別為（2x+3y）和（x+y），因此構造長和寬如上的長方形即可。

（作者單位：蘇州工業園區星匯學校）