整體法，想說少你不可以

韓光東

整體法廣泛應用于初中數學中，對于因式分解，更是不可或缺。簡單來說，其就是把問題或某些條件當成一個整體來處理，在解題時，不是著眼于問題的局部，而是有意識地放大考慮問題的“視角”。下面，我們主要從利用平方差公式分解因式方面，讓同學們體會如何使用整體法。

我們都知道，因式分解中的平方差公式是：a²-b²=（a+b）（a-b）。為了讓同學們更深刻地認識這個公式，明確公式中a、b可以代表的具體內容，我們換一種形式表達：A²-B²=（A+B）（A-B）。這里的A、B既可以指一個數字或字母，也可以指一個復雜單項式或多項式。當A、B指代的是一個復雜單項式或多項式時，我們就需要把這個單項式或多項式當作一個整體來看待，即公式中的A或B，這就應用了整體法的思想。

一、體會整體法

例1 因式分解：16a²-9b²。

【分析】運用整體法不能脫離公式，所以同學們在解決問題前要對所學公式熟練記憶，認清公式的結構特點;要去思考，問題是不是符合公式使用的結構特點，或能不能輕松轉化成對應的結構。平方差公式的結構特點：有兩項，且是“平方”減去“平方”。對于本題，我們發現16a²能夠轉化為（4a）²，9b²可以轉化為（3b）²，這里的4a、3b就相當于公式中的A、B，這樣我們就可以應用公式來處理了。

【分析】觀察式子，若把（2a+b）和（a-2b）看作一個整體，即公式中的A，B，則（2a+b）²-（a-2b）²可看作兩項，符合平方差公式的條件，故可以用整體思想來因式分解。同學們要注意分解以后對式子的化簡與分解徹底。

【分析】對于部分同學來說，這道因式分解題有一點難度。主要是因為他們沒有整體意識，拿到問題就想著展開，殊不知這是“南轅北轍”。因式分解是把多項式化成幾個整式積的形式，而不是把它計算、化簡出來。只要掌握了整體法的處理方式，再復雜的因式分解也不再困難。本題在結構上有兩個部分，能看出來是“平方”減“平方”的形式。我們考慮用平方差公式進行解決，接下來，要找的就是公式中的A，Bo9（a+b ）2可以化成[3（a+b）]²，4（a-b）²可以化成[2（a-b）]

二、整體法的靈活運用

例4 已知4m+n=90，2m-3n=10。求（m+2n）²-（3m-n）²的值。

【分析】本題看上去像是代人求值的問題，但一看條件，并不能直接代人。再觀察要求的式子的結構特點，把m+2n、3m-n當成整體，看作A、B，符合平方差公式，因此考慮先因式分解。至此，問題得到解決。

【分析】若把a^z+b^z-c^z和2ab看作整體，當成公式中的A、B，則（a^z+b^z-c^z）²-4a²b²可以看作兩項，符合平方差公式的結構。由此，可想到利用平方差公式因式分解，然后利用三角形的三邊關系，從而解決問題。

【總結】運用整體法進行因式分解，關鍵是能夠把要分解的多項式與公式對應起來，找準公式中的A、B，再套用公式就可以了。這里，同學們對公式的結構特點要認識透徹，如果對應不準確，到頭來就是竹籃打水—一場空。

（作者單位：蘇州工業園區獨墅湖學校）