區間二型模糊邏輯系統質心降型及加權Nie-Tan算法*

陳 陽，王 濤

(遼寧工業大學理學院,遼寧 錦州 121001)

1 引言

近年來，發展和豐富區間二型模糊邏輯系統理論[1,2]并將其進行實時應用受到較多的關注。與傳統的一型模糊集相比，區間二型模糊集可以更好地建模并降低不確定性帶來的影響。最近的理論和應用研究也證實了區間二型模糊邏輯系統[3 - 7]在處理不確定性方面比相應的一型模糊邏輯系統具有優勢。區間二型模糊邏輯系統由模糊器、規則庫、推理機、降型器和解模糊器組成，如圖1[3,4]所示。其中，在推理機引導下的降型器在系統中起著很重要的作用，其主要功能是將二型模糊集轉變成一型模糊集。涉及降型運算的區間二型模糊邏輯系統比相應的一型模糊邏輯系統復雜。

Figure 1 An interval type-2 fuzzy logic system圖1 1個區間二型模糊邏輯系統

Mendel教授[8]提出了KM(Karnik-Mendel)算法來計算區間二型模糊集的質心或完成區間二型模糊邏輯系統降型。通常，KM算法需要2～6次迭代達到收斂。為了提高收斂速度和減少計算消耗，Wu等[9]提出了EKM(Enhanced Karnik-Mendel) 算法。大量仿真研究結果表明：與KM算法相比，EKM算法平均可節省2次迭代，從而減少不少于39%的計算時間。以上2種算法被稱為KM類算法。另一類算法不需迭代而直接計算出區間二型模糊邏輯系統的輸出，它們比迭代類算法計算速度快，更適合于實時應用，如NT(Nie-Tan)算法[6,10]、BMM(Begian-Melek-Mendel)算法[11]、UB(Uncertainty Bound)算法[12]等，其中NT算法在最近被證明為KM算法的零階估計[8,13]，即用NT算法的計算結果來估計KM算法的結果是較合理的。

受到文獻[6,10,14-18]的啟發，本文比較了離散版本的NT算法的求和運算和連續版本的NT算法的求積分運算，結合數值積分技術中的牛頓-柯斯特求積公式(Newton-Cotes quadrature formulas)將NT算法擴展成加權NT WNT(Weighted NT) 算法。在計算區間二型模糊邏輯系統的質心降型時，所提出的WNT算法比NT算法準確，而NT算法只是WNT算法在權重為常值時的一種特例。

2 區間二型模糊邏輯系統

從結構上考慮，一般認為區間二型模糊邏輯系統分為Mamdani型[3]和TSK(Takagi Sugeno Kang)型[19]。不失一般性，這里考慮一具有p個輸入x1∈X1,…,xp∈Xp和1個輸出y∈Y的Mamdani型區間二型模糊邏輯系統，其中,Xi(i=1,…,p)和Y分別為語言變量xi和y的論域，第l條模糊規則有如下形式：

推理過程如下：

對每條模糊規則，首先計算激發區間Fl(x′),當x=x′時，

(1)

(2)

其中,*也表示取小或乘積t-范運算。

(3)

(4)

3 WNT算法

3.1 牛頓-柯特斯求積公式

數值積分用一些離散節點上的函數值f(xi)的線性組合來近似估計定積分。

定義1(數值積分) 假設a=x0

w0f(x0)+w1f(x1)+…+wNf(xN)

(5)

滿足性質：

(6)

下面給出的復合梯形法則、復合辛普森(Simpson)法則和復合辛普森3/8法則分別以直線、二次多項式函數和三次多項式函數來估計被積函數f(x)。

(7)

若f在區間[a,b]上是二階連續可導的，則誤差項:

其中a<ζ

(8)

若f在[a,b]上是四階連續可導的，則誤差項:

其中a<ζ

(9)

若f在[a,b]上是四階連續可導的，則誤差項：

其中a<ζ

3.2 NT和CNT算法

類似于連續版本的KM CKM(Continous KM)[17]或EKM CEKM(Continous EKM)[16]算法，連續NT CNT(Continous NT)算法[6]可用來研究區間二型模糊邏輯系統降型和解模糊化 (或區間二型模糊集質心) 計算的理論性質,且該算法被證明為準確的質心降型算法。這里應指出，假設區間二型模糊邏輯系統的輸出集已知(通過模糊推理過程得出)，那么求質心降型即相當于求區間二型模糊集的質心。

(10)

CNT算法可計算區間二型模糊集質心為：

(11)

3.3 WNT算法

以3.1節和3.2節為基礎，本節提出一類新的NT算法，稱為加權NT算法—WNT算法，即:

(12)

其中，yWNT為質心輸出解模糊化值，wi為權值。

WNT可看成CNT的數值實現。NT算法在離散版本下的求和運算在連續版本下換成了求定積分運算，即在NT中離散節點xi的求和運算起到了相關函數積分的作用。根據式(6)為每個離散節點xi的隸屬函數賦予相應權重wi，則可更加準確地計算出輸出值，而NT算法只是在系數權重wi=1(i=1,2,…,N)時的WNT算法的1個特例。

Table 1 Weights assignment methods of WNT algorithms表1 WNT算法權重分配方法

在表1中，采用式(7)～式(9)按下列步驟分配除NT算法外其余3種WNT算法的權重：

(1) 用xi(i=1,…,N)，其中，x1=a，xN=b取代式(7)中的xi(i=0,1,…,m)，其中，x0=a，xm=b;式(8) 中的xi(i=0,1,…,2m)，其中，x0=a，x2m=b；和式(9)中的xi(i=0,1,…,3m)，其中，x0=a，x3m=b。

(2) 式(7)～式(9)中的系數(分別為h/2，h/3，3h/8)被式(11)中2個積分間的商運算抵消掉。

(3) 表1中分別賦予TWNT和SWNT的權重值為式(7)和式(8)括號中系數的1/2，賦予S3/8WNT的權重值為式(9)括號中系數的1/3。

(4) 對于SWNT和S3/8WNT，其采樣點的個數N不僅限于N=2n+1和N=3n+1,n為任意非負整數。

最后可總結出CNT和WNT在計算完成區間二型模糊邏輯系統的質心降型和解模糊化時具體聯系為：

(1) WNT算法是基于采樣數據xi(i=1,2,…,N)上的求和運算來求質心值。而CNT算法應用積分運算求質心值，可近似認為它們計算取得區間二型模糊集質心的準確值。理論上說，當采樣點個數N→+∞時，WNT算法的解趨于CNT算法的。

(2) 當增加采樣個數時，WNT算法會得到更準確的計算結果。

(3) WNT算法是以求和運算完成數值計算，而CNT算法是以求積分運算完成象征性的計算。可以把WNT算法看成運用數值積分方法的CNT算法的數值實現。

4 仿真

假設在進行降型和解模糊化過程前，所描述的區間二型模糊邏輯系統的最終輸出區間二型模糊集的足跡不確定性FOU(Footprint Of Uncertainty) 已通過模糊規則合并或加權和等模糊推理運算[21]取得。在第1個例子中，整個FOU由分段線性函數[16]所限定。在第2個例子中，FOU的上邊界是分段高斯隸屬函數，下邊界是分段線性函數[22,23]。在第3個例子中，FOU完全由高斯隸屬函數[16]組成。表2和圖2給出了3個例子所定義的FOU相關隸屬函數表達式及其圖形。

Table 2 FOU membership function expressions of three examples表2 3個例子的FOU隸屬函數表達式

Figure 2 FOU graphs of three examples圖2 3個例子的FOU圖

Figure 3 Computational results of example 1圖3 例1的計算結果

Figure 4 Computational results of example 2圖4 例2的計算結果

Figure 5 Computational results of example 3圖5 例3的計算結果

觀察圖3～圖5以及表3，可得出：

(1) 4種WNT算法的絕對誤差都收斂。在例1中，NT和TWNT算法獲得最小的絕對誤差和變化幅度，SWNT算法取得最大絕對誤差和變化幅度，而S3/8WNT算法得到較小的絕對誤差和變化幅度。在例2和例3中，本文提出的3種WNT

Table 3 Average of relative errors表3 相對誤差的平均值

算法的絕對誤差都小于NT算法的，且收斂速度也快于NT算法的。

(2)NT算法的最大平均相對誤差為0.062 920%，而WNT算法的最大平均相對誤差為0.002 766%。NT算法的總平均誤差為0.025 564%，而WNT算法的最大總平均誤差為0.001 543%。

(3) 從以上分析可知，恰當地選擇WNT算法，可取得優于NT算法的計算精度和誤差穩定性。

Figure 6 Comparisons of computation times for four types of algorithms圖6 4種算法的計算時間比較

為了取得更好的實時應用，下面研究上述算法的計算時間 (其取決于具體的軟件與硬件環境，計算結果是不可重復的)。仿真平臺為E5300@2.60 GHz和2.00 GB內存的雙核CPU的戴爾臺式機，Microsoft Windows XP Professional操作系統。在Matlab 2013a下編程，圖6所示為采樣值個數N=50∶50∶4000時的算法總計算時間。

總的來說，盡管NT算法的計算速度快于WNT算法，但TWNT算法與NT算法的計算速度幾乎相同。4種算法計算速度的大小關系為：NT>TWNT>SWNT>S3/8WNT。由于不涉及迭代過程，權重分配越簡單的算法計算速度越快。利用本文所提出的算法可研究區間二型模糊邏輯系統的降型及解模糊化。若只考慮計算準確度，從表3可知，3種WNT算法均強于NT算法，其中TWNT算法是最好的選擇。

最后特別指出，本文的研究只關注NT算法和WNT算法的理論表現。從仿真例子可得出，當使用較多個數的采樣點時，WNT算法與NT算法相比，在計算準確度上有一定的提高。盡管如此，倘若對計算準確度要求并不高，簡單的NT算法便可得出好的效果，WNT算法就無法體現其優勢了。

5 結束語

本文比較了離散版本和連續版本的NT算法，利用數值積分技術中3種加權賦值方法將NT算法擴展成WNT算法。當區間二型模糊邏輯系統采用質心降型時，系統的輸出集的FOU已確定，此時可用連續版本的降型算法完成降型過程。仿真例子中分析和說明了算法的計算準確度和計算時間。在取相同主變量采樣率時，與NT算法相比，WNT算法具有更小的絕對誤差，且TWNT算法與NT算法有幾乎相同的收斂速度。

在以后工作中，將基于本文和文獻[6,16,22-23]進一步研究基于降型算法設計區間或廣義二型模糊邏輯系統的質心降型和中心集降型[13,24-26]，基于優化算法[3,4,27-29]的區間或廣義二型模糊邏輯系統在預測和控制等領域中的應用。